矩阵知识点归纳

第 1 页 共 4 页 矩阵知识点归纳矩阵知识点归纳 一一 二阶矩阵与变换二阶矩阵与变换 1 线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系 xOy 中 由Error 其中 a b c d 是常数 构成的变换称为线性变 换 由四个数 a b c d 排成的正方形数表称为二阶矩阵 其中 a b c d 称为矩 a b c d 阵的元素 矩阵通常用大写字母 A B C 或 aij 表示 其中 i j 分别为元素 aij所在的行 和列 2 矩阵的乘法 行矩阵 a11a12 与列矩阵的乘法规则为 a11a12 a11b11 a12b21 二阶矩阵 b11 b21 b11 b21 与列矩阵的乘法规则为 矩阵乘法满足结合律 不满足交换律和消 a b c d x y a b c d x y ax by cx dy 去律 3 几种常见的线性变换 1 恒等变换矩阵 M 1 0 0 1 2 旋转变换 R 对应的矩阵是 M cos sin sin cos 3 反射变换要看关于哪条直线对称 例如若关于 x 轴对称 则变换对应矩阵为 M1 若关于 y 轴对称 则变换对应矩阵为 M2 若关于坐标原点对称 则变 1 0 0 1 1 0 0 1 换对应矩阵 M3 1 0 0 1 4 伸压变换对应的二阶矩阵 M 表示将每个点的横坐标变为原来的 k1倍 纵 k1 0 0 k2 坐标变为原来的 k2倍 k1 k2均为非零常数 5 投影变换要看投影在什么直线上 例如关于 x 轴的投影变换的矩阵为 M 1 0 0 0 6 切变变换要看沿什么方向平移 若沿 x 轴平移 ky 个单位 则对应矩阵 M 1 k 0 1 若沿 y 轴平移 kx 个单位 则对应矩阵 M 其中 k 为非零常数 1 0 k 1 4 线性变换的基本性质 设向量 规定实数 与向量 的乘积 设向量 规定 x y x y x1 y1 x2 y2 向量 与 的和 x1 x2 y1 y2 1 设 M 是一个二阶矩阵 是平面上的任意两个向量 是一个任意实数 则 M M M M M 2 二阶矩阵对应的变换 线性变换 把平面上的直线变成直线 或一点 二二 矩阵的逆矩阵 特征值与特征向量矩阵的逆矩阵 特征值与特征向量 1 矩阵的逆矩阵 1 一般地 设 是一个线性变换 如果存在线性变换 使得 I 则称变换 可逆 并且称 是 的逆变换 第 2 页 共 4 页 2 设 A 是一个二阶矩阵 如果存在二阶矩阵 B 使得 BA AB E 则称矩阵 A 可逆 或称矩阵 A 是可逆矩阵 并且称 B 是 A 的逆矩阵 3 性质 1 设 A 是一个二阶矩阵 如果 A 是可逆的 则 A 的逆矩阵是唯一的 A 的逆 矩阵记为 A 1 4 性质 2 设 A B 是二阶矩阵 如果 A B 都可逆 则 AB 也可逆 且 AB 1 B 1A 1 5 已知 A B C 为二阶矩阵 且 AB AC 若矩阵 A 存在逆矩阵 则 B C 6 对于二阶可逆矩阵 A ad bc 0 它的逆矩阵为 A 1 a b c d d ad bc b ad bc c ad bc a ad bc 2 二阶行列式与方程组的解 对于关于 x y 的二元一次方程组Error 我们把称为二阶行列式 它的运算结果是 a b c d 一个数值 或多项式 记为 det A ad bc a b c d 若将方程组中行列式记为 D 记为 Dx 记为 Dy 则当 D 0 时 方程 a b c d m b n d a m c n 组的解为Error 3 二阶矩阵的特征值和特征向量 1 特征值与特征向量的概念 设 A 是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个非零向量 使得 A 那么 称为 A 的一个特征值 称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量 2 特征多项式 设 是二阶矩阵 A 的一个特征值 它的一个特征向量为 则 A a b c d x y x y x y 即Error 也即Error 定义 设 A 是一个二阶矩阵 R 我们把行列式 f a b c d 2 a d ad bc 称为 A 的特征多项式 a b c d 3 矩阵的特征值与特征向量的求法 如果 是二阶矩阵 A 的特征值 则 一定是二阶矩阵 A 的特征多项式的一个根 即 f 0 此时 将 代入二元一次方程组 就可得到一组非零解 于是非零向量即 x0 y0 x0 y0 为 A 的属于 的一个特征向量 所有变换矩阵所有变换矩阵 单位矩阵 点的变换为 10 01 M x yx y 伸压变换矩阵 将原来图形横坐标扩大为原来倍 纵坐标不变 0 01 k M 1k k 第 3 页 共 4 页 将原来图形横坐标缩小为原来倍 纵坐标不01k k 变 点的变换为 x ykx y 将原来图形纵坐标扩大为原来倍 横坐标不变 10 0 M k 1k k 将原来图形纵坐标缩小为原来倍 横坐标不01k k 变 点的变换为 x yx ky 反射变换 点的变换为 变换前后关于轴对称 10 01 M x yxy x 点的变换为 变换前后关于轴对称 10 01 M x yx y y 点的变换为 变换前后关于原点对称 10 01 M x yxy 点的变换为 变换前后关于直线对称 01 10 M x yy x yx 旋转变换 逆时针 顺时针 cossin sincos M 0 90 01 10 M 0 90 01 10 M 旋转变化矩阵还可以设为 ab M ba 投影变换 将坐标平面上的点垂直投影到轴上 10 00 M x 点的变换为 0 x yx 将坐标平面上的点垂直投影到轴上 00 01 M y 第 4 页 共 4 页 点的变换为 0 x yy 将坐标平面上的点垂直于轴方向投影到上 10 10 M xyx 点的变换为 x yx x 将坐标平面上的点平行于轴方向投影到上 01 01 M xyx 点的变换为 x yy y 将坐标平面上的点垂直于方向投影到上 11 22