电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方

第一章习题解答第一章习题解答 1 1 给定三个矢量A B和C如下 23 xyz Aeee 4 yz Bee 52 xz Cee 求 1 A a 2 AB 3 A BA 4 AB 5 A在B上的分量 6 A C 7 A B CA 和 AB CA 8 ABC 和 AB C 解解 1 222 23 123 141414 12 3 xyz Axyz eee A aeee A 2 AB 23 4 xyzyz eeeee6453 xyz eee 3 A BA 23 xyz eee 4 yz eeA 11 4 由 cos AB 1111 1417238 A B A B A 得 1 cos AB 11 135 5 238 5 A在B上的分量 B A Acos AB 11 17 A B B A 6 A C 123 502 xyz eee 41310 xyz eee 7 由于 B C 041 502 xyz eee 8520 xyz eee AB 123 041 xyz eee 1014 xyz eee 所以 A B CA 23 xyz eeeA 8520 42 xyz eee AB CA 1014 xyz eeeA 52 42 xz ee 8 ABC 1014 502 xyz eee 2405 xyz eee AB C 123 8520 xyz eee 554411 xyz eee 1 2 三角形的三个顶点为 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 1 判断 123 PP P 是否为一直角三角形 2 求三角形的面积 解解 1 三个顶点 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 的位置矢量分别为 1 2 yz ree 2 43 xyz reee 3 625 xyz reee 则 1221 4 xz Rrree 2332 28 xyz Rrreee 3113 67 xyz Rrreee 由此可见 1223 4 28 0 xzxyz RReeeeeAA 故 123 PP P 为一直角三角形 2 三角形的面积 12231223 111 176917 13 222 S RRRR 1 3 求 3 1 4 P 点到 2 2 3 P 点的距离矢量R及R的方向 解解 34 Pxyz reee 223 Pxyz reee 则 53 P PPPxyz Rrreee 且 P P R 与x y z轴的夹角分别为 11 5 cos cos 32 31 35 xP P x P P e R R A 11 3 cos cos 120 47 35 yP P y P P eR R A 11 1 cos cos 99 73 35 zP P z P P e R R A 1 4 给定两矢量 234 xyz Aeee 和 456 xyz Beee 求它们之间的夹角和A在 B上的分量 解解 A与B之间的夹角为 11 31 cos cos 131 2977 AB A B A B A A在B上的分量为 31 3 532 77 B A B A B A 1 5 给定两矢量 234 xyz Aeee 和 64 xyz Beee 求 AB在 xyz Ceee 上的分量 解解 AB 234 641 xyz eee 132210 xyz eee 所以 AB在C上的分量为 C AB 25 14 43 3 A B C C A 1 6 6 证明 如果A BA A CA 和 AB A C 则 BC 解解 由 AB A C 则有 AABAA C 即 A B AA A BA C AA A CAAAA 由于A BA A CA 于是得到 A A BA A CAA 故 BC 1 7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积 那么便可以确定该未知矢量 设A为一已知矢量 p A XA 而 PAX p和P 已知 试求X 解解 由 PAX 有 p APAAXA X AA A XAA A XAAA 故得 p AAP X A AA 1 8 在圆柱坐标中 一点的位置由 2 4 3 3 定出 求该点在 1 直角坐标中的坐标 2 球坐标中的坐标 解解 1 在直角坐标系中 4cos 23 2x 4sin 23 2 3y 3z 故该点的直角坐标为 2 2 3 3 2 在球坐标系中 22 435r 1 tan 4 3 53 1 23120 故该点的球坐标为 5 53 1 120 1 9 用球坐标表示的场 2 25 r r Ee 1 求在直角坐标中点 3 4 5 处的 E 和 x E 2 求在直角坐标中点 3 4 5 处E与矢量 22 xyz Beee 构成的夹角 解解 1 在直角坐标中点 3 4 5 处 2222 3 4 5 50r 故 2 251 2 r r Ee 133 2 cos 2205 2 xxrx E e EEA 2 在直角坐标中点 3 4 5 处 345 xyz reee 所以 23 345 2525 10 2 xyz rr eee r E 故E与B构成的夹角为 11 19 10 2 cos cos 153 6 3 2 EB E B E B A A 1 10 球坐标中两个点 111 r 和 222 r 定出两个位置矢量 1 R 和 2 R 证明 1 R 和 2 R 间夹角的余弦为 121212 coscoscossinsincos 解解 由 111111111 sincossinsincos xyz rrr Reee 222222222 sincossinsincos xyz rrr Reee 得到 12 12 cos R R R R A 1122112212 sincossincossinsinsinsincoscos 121211212 sinsin coscossinsin coscos 121212 sinsincos coscos 1 11 一球面S的半径为5 球心在原点上 计算 3sin d r S eSA A 的值 解解 3sin d 3sin d rrr SS S eSeeAA AA 2 22 00 d3sin5 sind75 1 12 在由 5r 0z 和4z 围成的圆柱形区域 对矢量 2 2 rz rz Aee 验证散度定 理 解解 在圆柱坐标系中 2 1 2 32rrzr rrz AA 所以 425 000 ddd 32 d1200zrrr AA 又 2 d 2 ddd rzrrzz SS rzSSS ASeeeeeAA AA 4 25 2 2 0 00 0 55d d2 4 d d1200zrr 故有 d1200 AAd S ASA A 1 13 求 1 矢量 222223 24 xyz xx yx y z Aeee 的散度 2 求 A A 对中心在原点 的一个单位立方体的积分 3 求A对此立方体表面的积分 验证散度定理 解解 1 222223 2222 24 2272 xx yx y z xx yx y z xyz AA 2 A A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 2 2222 1 21 21 2 1 d 2272 d dd 24 xx yx y zxy z AA 3 A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 11 d dd dd 22 S y zy z ASA A 1 21 21 21 2 2222 1 21 21 21 2 11 2 d d2 d d 22 xx zxx z 1 21 21 21 2 223223 1 21 21 21 2 111 24 d d24 d d 2224 x yx yx yx y 故有 1 d 24 AAd S ASA A 1 14 计算矢量r对一个球心在原点 半径为a的球表面的积分 并求 r A对球体积的积 分 解解 2 23 00 dddsind4 r SS Saaa rSr eAA AA 又在球坐标系中 2 2 1 3r r rr r A 所以 2 23 0 0 0 d3sind dd4 a rra r A 1 15 求矢量 22 xyz xxy z Aeee 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合 再求 A对此回路所包围的曲面积分 验证斯托 克斯定理 解解 2222 2 0000 ddd2 d0d8 C xxxxyy AlA A 又 22 22 xyz xz yzx xyz xxy z eee Aee 所以 2 2 0 0 d 22 d d8 xzz S yzxxy ASeeeAA 故有 d8 C AlA A d S ASA 1 16 求矢量 2 xy xxy Aee 沿圆周 222 xya 的线积分 再计算 A对此圆面积的 积分 解解 2 ddd CC xxxyy AlA AA 2 4 2422 0 cos sincossin d 4 a aa d d y x zz SS A A S xy ASeeAA 2 4 222 0 0 dsind d 4 a S a ySrrr 1 17 证明 1 3 RA 2 R0 3 A RAA 其中 xyz xyz Reee A为一常矢量 解解 1 3 xyz xyz RA 2 xyz xyz xyy eee R0 3 设 xxyyzz AAA Aeee 则 xyz A xA yA z A RA 故 xxyzyxyz A xA yA zA xA yA z xy A ReeA zxyz A xA yA z z e xxyyzz AAA eeeA 1 18 一径向矢量场 rf r Fe 表示 如果 0 FA 那么函数 f r 会有什么特点呢 解解 在圆柱坐标系中 由 1 d 0 d rf r rr FA 可得到 C f r r C为任意常数 在球坐标系中 由 2 2 1 d 0 d r f r rr FA 可得到 2 C f r r 1 19 给定矢量函数 xy yx Eee 试求从点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 的线积分 d E lA 1 沿抛物线 2 xy 2 沿连接该两点的直线 这个E是保守场吗 解解 1 ddd xy CC ExEy ElAdd C yxxy 2 22 1 d 2 2dyyyy 2 2 1 6d14yy 2 连接点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 直线方程为 28 12 xx yy 即 640 xy 故 2 1 dddd 64 64 d xy CC ExEyyyyy ElA 2 1 124 d14yy 由此可见积分与路径无关 故是保守场 1 20 求标量函数 2 x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数 此方向由单位矢量 345 505050 xyz eee 定出 求 2 3 1 点的方向导数值 解解 222 xyz x yzx yzx yz xyz eee 22 2 xyz xyzx zx y eee 故沿方向 345 505050 lxyz eeee 的方向导数为 22 645 505050 l xyzx zx y l e A 点 2 3 1 处沿 l e 的方向导数值为 361660112 50505050l 1 21 试采用与推导直角坐标中 y xz A AA xyz AA 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 z r A A rA rrrz AA 解解 在圆柱坐标中 取小体积元如题 1 21 图所示 矢量场A沿 r e 方向穿出该六面体的表 面的通量为 d dd d zzzz rrrrrr zz ArrrArr rr rr A rrzrA rzz 1 rr rArA rz rrr 同理 d dd d rr zzrr zz rzrz ArzArz A rzA rzr z AA rz r d dd d rrrr zzzzzz rr ArrArr zz A rzzA rz r rz zz AA r rz zz r r z o x y r z z 题 1 21 图 因此 矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 1 rz rz A rAA rrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 lim rz A rAA rrrz A 1 22 方程 222 222 xyz u abc 给出一椭球族 求椭球表面上任意点的单位法向矢量 解解 由于 222 222 xyz xyz u abc eee 222 222 2 xyz u abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222 222222 xyz uxyzxyz abcabcu neee 1 23 现有三个矢量A B C为 sincoscoscossin r Aeee 22 sincos2sin rz zzrz Beee 22 32 2 xyz yxxz Ceee 1 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示 哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示 2 求出这些矢量的源分布 解解 1 在球坐标系中 2 2 111 sin sinsin r A r AA rrrr AA 2 2 111 sincos sincoscos sin sinsin r rrrr 2cos2sincoscos sincos0 sinsinrrrr 2 sin 1 sin sin r r rr rr ArArA eee A 2 sin 1 0 sin sincoscoscossinsin r rr rr rr eee 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示 也可以由一个矢量函数的旋度表示 在圆柱坐标系中 11 z r B B rB rrrz B A 22 11 sin cos 2sin rzzrz rrrz 22 sinsin 2 sin2 sin zz rr rr 22 11 0 sincos2sin rzrz rz rr rrzrrz BrBBzrzrz eeeeee B 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示 直角在坐标系中 y xz C CC xyz C A 22 32 2 0yxxz xyz 22 26 322 xyz z xy xyz yxxz eee Ce 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示 2 这些矢量的源分布为 0 AA 0 A 2 sinr B A 0 B 0 CA 26 z xy Ce 1 24 利用直角坐标 证明 fff AAAAAA 解解 在直角坐标中 y xz xyz A AAfff fffAAA xyzxyz AAAA y xz xyz A AAfff fAfAfA xxyyzz xyz fAfAfAf xyz AA 1 25 证明 AHHAAHAAA 解解 根据 算子的微分运算性质 有 AH AHAHAHAAA 式中 A 表示只对矢量A作微分运算 H 表示只对矢量H作微分运算 由 a b cc abAA 可得 AA AHHAHAAAA 同理 HH AHAHAHAAA 故有 AHHAAHAAA 1 26 利用直角坐标 证明 fff GGG 解解 在直角坐标中 yy xxzz xyz GG GGGG ff yzzxxy Geee f G xzyyxzzyx ffffff GGGGGG yzzxxy eee 所以 ff GG y z xzy G Gff GfGf yyzz e xz yxz GGff GfGf zzxx e y x zyx G Gff GfGf xxyy e y z x fG fG yz e xz y fGfG zx e y x z fG fG xy e f G 1 27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 0u 及 0 AA 试证明之 解解 1 对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S 由斯托克斯定理有 dddd0 SCCC u uulu l SlAA AAA 由于曲面S是任意的 故有 0u 2 对于任意闭合曲面S为边界的体积 由散度定理有 12 d d d d SSS AASASASAAAA A 其中 1 S 和 2 S 如题 1 27 图所示 由斯托克斯定理 有 11 dd SC ASAlAA A 22 dd SC ASAlAA A 由题 1 27 图可知 1 C 和 2 C 是方向相反的同一回路 则有 12 dd CC AlAlAA AA 所以得到 1222 ddddd0 CCCC AAlAlAlAlAAAAA AAAA 由于体积 是任意的 故有 0 AA 二章习题解答二章习题解答 2 1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为 4 32 3 00 4 9 U dx 式中阴极板位于 0 x 阳极板位 于x d 极间电压为 0 U 如果 0 40VU 1cmd 横截面 2 10cmS 求 1 0 x 和x d 区域内的总电荷量Q 2 2xd 和x d 区域内的总电荷量 Q 解解 1 4 32 3 00 0 4 d d 9 d QU dxSx 11 00 4 4 72 10C 3 U S d 2 4 32 3 00 2 4 d d 9 d d QU dxSx 11 00 3 41 1 0 97 10C 32 U S d 2 2 一个体密度为 73 2 32 10C m 的质子束 通过1000V的电压加速后形成等速的 质子束 质子束内的电荷均匀分布 束直径为2mm 束外没有电荷分布 试求电流密度和电 流 解解 质子的质量 27 1 7 10kgm 电量 19 1 6 10Cq 由 2 1 2 mvqU 得 6 21 37 10vmqU m s 故 0 318Jv 2 A m 26 2 10IJd A 2 3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷 球体以匀角速度 绕一个直径 旋转 求球内的电流密度 解解 以球心为坐标原点 转轴 一直径 为z轴 设球内任一点P的位置矢量为r 且 r与z轴的夹角为 则P点的线速度为 sinr vre 球内的电荷体密度为 3 43 Q a 1 n 1 C 2 C 2 S 1 S 2 n 题 1 27 图 故 33 3 sinsin 434 QQ rr aa Jvee 2 4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q 同样以匀角速度 绕一个直径旋转 求球表 面的面电流密度 解解 以球心为坐标原点 转轴 一直径 为z轴 设球面上任一点P的位置矢量为r 且 r与z轴的夹角为 则P点的线速度为 sina vre 球面的上电荷面密度为 2 4 Q a 故 2 sinsin 44 S QQ a aa Jvee 2 5 两点电荷 1 8Cq 位于z轴上4z 处 2 4Cq 位于y轴上 4y 处 求 4 0 0 处的电场强度 解解 电荷 1 q 在 4 0 0 处产生的电场为 11 13 3 00 1 442 4 4 2 xz q eerr E rr 电荷 2 q 在 4 0 0 处产生的电场为 22 23 3 00 2 44 1 4 4 2 xy q ee rr E rr 故 4 0 0 处的电场为 12 0 2 32 2 xyz eee EEE 2 6 一个半圆环上均匀分布线电荷 l 求垂直于圆平面的轴线上z a 处的电场强度 0 0 aE 设半圆环的半径也为a 如题 2 6 图所示 解解 半圆环上的电荷元 dd ll la 在轴线上z a 处的电场强度为 3 0 dd 4 2 la a rr E 0 cossin d 8 2 zxy l a eee 在半圆环上对上式积分 得到轴线上z a 处的电场强度为 0 0 da EE 2 20 cossin d 8 2 l zxy a eee 0 2 8 2 lzx a ee 2 7 三根长度均为L 均匀带电荷密度分别为 1 l 2l 和 a z x y l d l P dE r r 题 2 6 图 3l 地线电荷构成等边三角形 设 1 l 2 2 l 3 2 l 计算三角形中心处的电场强度 解解 建立题 2 7 图所示的坐标系 三角形中心到各边的距离为 3 tan30 26 L dL 则 11 1 00 3 cos30cos150 42 ll yy dL Eee 21 2 00 33 cos30sin30 3 28 ll xyxy LL Eeeee 31 3 00 33 cos30sin30 3 28 ll xyxy LL Eeeee 故等边三角形中心处的电场强度为 123 EEEE 111 000 333 3 3 288 lll yxyxy LLL eeeee 1 0 3 4 l y L e 2 8 点电荷 q 位于 0 0 a 处 另 点电荷 2q 位于 0 0 a 处 空间有没有电场强 度 0 E 的点 解解 电荷 q 在 x y z 处产生的电场为 1 222 3 2 0 4 xyz xayz q xayz eee E 电荷 2q 在 x y z 处产生的电场为 2 222 3 2 0 2 4 xyz xayz q xayz eee E x y z 处的电场则为 12 EEE 令 0 E 则有 222 3 2 xyz xayz xayz eee 222 3 2 2 xyz xayz xayz eee 由上式两端对应分量相等 可得到 222 3 2222 3 2 2 xaxayzxaxayz 222 3 2222 3 2 2 y xayzy xayz 222 3 2222 3 2 2 z xayzz xayz 当 0y 或 0z 时 将式 或式 代入式 得 0a 所以 当 0y 或 0z 时无 解 当 0y 且 0z 时 由式 有 33 2 xa xaxa xa 解得 32 2 xa 2l 1 l 3l x y o 1 E 3 E 2 E 题 2 7 图 但 32 2xaa 不合题意 故仅在 3 2 2 0 0 aa 处电场强度 0 E 2 9 一个很薄的无限大导电带电面 电荷面密度为 证明 垂直于平面的z轴上 0 zz 处的电场强度E中 有一半是有平面上半径为 0 3z 的圆内的电荷产生的 解解 半径为r 电荷线密度为 d l r 的带电细圆环在z轴上 0 zz 处的电场强度为 0 22 3 2 00 d d 2 z r zr rz Ee 故整个导电带电面在z轴上 0 zz 处的电场强度为 00 22 3 222 1 2 000000 0 d1 2 2 2 zzz r zrz rzrz Eeee 而半径为 0 3z 的圆内的电荷产生在z轴上 0 zz 处的电场强度为 0 0 3 3 00 22 3 222 1 2 000000 0 d11 2 2 42 z z zzz r zrz rzrz EeeeE 2 10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转 如题 2 10 图所示 求球心处的磁感应强度B 解解 球面上的电荷面密度为 2 4 Q a 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时 球面上位置矢量 ra re 点处的电流面密度为 Szra Jv ree sinsin 4 Q a a ee 将球面划分为无数个宽度为d dla 的细圆环 则球面上任一个宽度为d dla 细圆环 的电流为 ddsind 4 S Q IJl 细圆环的半径为 sinba 圆环平面到球心的距离 cosda 利用电流圆环的轴线上的磁 场公式 则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 2 0 22 3 2 d d 2 z bI bd Be 23 0 22223 2 sind 8 sincos z Qa aa e 3 0 sind 8 z Q a e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 00 0 sin d 86 zz QQ aa Bee 2 11 两个半径为b 同轴的相同线圈 各有N匝 相互隔开距离为d 如题 2 11 图所示 电流I以相同的方向流过这两个线圈 1 求这两个线圈中心点处的磁感应强度 xx B Be 2 证明 在中点处d d x Bx等于零 3 求出b与d之间的关系 使中点处 22 ddxBx 也等于零 a Q b z o Id 题 2 10 图 解解 1 由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2 0 22 3 2 2 z Ia az Be 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2 0 223 2 4 x NIb bd Be 2 两线圈的电流在其轴线上x 0 dx 处的磁感应强度为 22 00 22 3 222 3 2 2 2 x NIbNIb bxbdx Be 所以 22 00 22 5 222 5 2 d33 d2 2 x BNIb xNIb dx xbxbdx 故在中点 2dx 处 有 22 00 225 2225 2 d3232 0 d2 4 2 4 x BNIb dNIb d xbdbd 3 2222 00 2227 222 5 2 d153 d2 2 x BNIb xNIb xbxbx 222 00 22 7 222 5 2 15 3 2 2 NIb dxNIb bdxbdx 令 0 d d 2 2 2 dx x x B 有 0 4 1 4 45 25222722 2 dbdb d 即 445 222 dbd 故解得 bd 2 12 一条扁平的直导体带 宽为 a2 中心线与z轴重合 通过的电流为I 证明在第一 象限内的磁感应强度为 0 4 x I B a 02 1 ln 4 y Ir B ar 式中 1 r 和2 r 如题 2 12 图所 示 解解 将导体带划分为无数个宽度为 x d 的细条带 每一 细条带的电流 x a I I d 2 d 由安培环路定理 可得位于 x 处的细条带的电流 Id 在点 yxP 处的磁场为 00 dd d 24 IIx B RaR 0 22 1 2 d 4 Ix a xxy 则 0 22 d ddsin 4 x Iyx BB a xxy 0 22 d ddcos 4 y I xxx BB a xxy 所以 a a I x y 2 r 1 r yxP dB R 1 2 题 2 12 图 b I b I d 题 2 11 图 x 1 p 2 p x y z 1 2 r 题 2 13 图 0 22 d 4 a x a Iyx B a xxy 0 arctan 4 a a Ixx ay 0 arctanarctan 4 Iaxax ayy 0 arctanarctan 4 Ixaxa ayy 0 21 4 I a 0 4 I a 0 22 d 4 a y a I xxx B a xxy 22 0 ln 8 a a I xxy a 22 0 22 ln 8 Ixay axay 02 1 ln 4 Ir ar 2 13 如题 2 13 图所示 有一个电矩为 1 p 的电偶极子 位于坐标原点上 另一个电矩为 2 p 的电偶极子 位于矢径为r的某一点上 试证明两偶极子之间相互作用力为 12 1212 4 0 3 sinsincos2coscos 4 r p p F r 式中 11 r p 22 r p 是两个平面 1 r p 和 2 r p 间的夹角 并问两个偶极子在怎 样的相对取向下这个力值最大 解解 电偶极子 1 p 在矢径为r的点上产生的电场为 11 1 53 0 3 1 4rr p r rp E A 所以 1 p 与 2 p 之间的相互作用能为 1212 21 53 0 3 1 4 e W rr p rp rp p p E AAA A 因为 11 r p 22 r p 则 111 cosp r p r A 222 cosp r p r A 又因为 是两个平面 1 r p 和 2 r p 间的夹角 所以有 2 121212 sinsincosr p p rprpA 另一方面 利用矢量恒等式可得 1212 rprprprpAA 2 112 r pr p rpAA 2 1212 r p pr pr pAAA 因此 121212 2 1 r p prprpr pr pAAAA 1212 sinsincosp p 1212 coscosp p 于是得到 e W 12 3 0 4 p p r 12 sinsincos 12 2coscos 故两偶极子之间的相互作用力为 e rq const W F r 12 0 4 p p 12 sinsincos 12 2coscos 3 d1 dr r 12 4 0 3 4 p p r 12 sinsincos 12 2coscos 由上式可见 当 12 0 时 即两个偶极子共线时 相互作用力值最大 2 14 两平行无限长直线电流 1 I 和 2 I 相距为d 求每根导线单位长度受到的安培力 m F 解解 无限长直线电流 1 I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r Be 直线电流 2 I 每单位长度受到的安培力为 1 0 1 2 122112 0 d 2 mz I I Iz d FeBe 式中 12 e 是由电流 1 I 指向电流 2 I 的单位矢量 同理可得 直线电流 1 I 每单位长度受到的安培力为 0 1 2 211212 2 mm I I d FFe 2 15 一根通电流 1 I 的无限长直导线和一个通电流 2 I 的圆环在同一平面上 圆心与导线的 距离为d 如题 2 15 图所示 证明 两电流间相互作用的安培力为 0 1 2 sec 1 m FI I 这里 是圆环在直线最接近圆环的点所张的角 解解 无限长直线电流 1 I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r Be 圆环上的电流元 22 dIl 受到的安培力为 0 1 2 2212 ddd 2 my I I I x FlBle 由题 2 15 图可知 2 d sincos d xz a lee cosxda 所以 2 01 2 0 sincos d 2 cos mzx aI I da Fee 2 01 2 0 cos d 2 cos x aI I da e 01 2 0 1 2 22 22 sec1 2 xx aI Id I I aa da ee 2 16 证明在不均匀的电场中 某一电偶极子 p 绕坐标原点所受到的力矩为 rpEpEA 解解 如题 2 16 图所示 设 dq pl d1 l 则电偶极子 p 绕坐标原点所受到的力矩为 2211 qq TrE rrE r dddd 2222 qq llll rE rrE r z x d 1 I 22 dIl a o 题 2 15 图 dddd d 22222 q q llll rE rE rlE rE r 当d 1l 时 有 dd 22 ll E rE rE r dd 22 ll E rE rE r 故得到 d d qq TrlE rlE r rpEpEA 三章习题解答三章习题解答 3 1 真空中半径为a的一个球面 球的两极点处分别设置点电荷q和 q 试计算球赤道 平面上电通密度的通量 如题 3 1 图所示 解解 由点电荷q和 q 共同产生的电通密度为 33 4 q RR RR D 22 3 222 3 2 4 rzrz rzarzaq rzarza eeee 则球赤道平面上电通密度的通量 0 dd z z SS S DSD eAA 22 3 222 3 2 0 2d 4 a qaa rr rara 22 1 2 0 1 1 0 293 2 a qa qq ra 3 2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 a r 的球体原子模型 其球体内均匀分布有总 电荷量为 Ze 的电子云 在球心有一正电荷Ze Z是原子序数 e是质子电荷量 通过实验 得到球体内的电通量密度表达式为 0 23 1 4 r a Zer rr De 试证明之 r 1 r 2 r q q dl z y o x 题 2 16 图 q q a 赤道平面 题 3 1 图 解解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze r De 原子内电子云的电荷体密度为 33 3 434 aa ZeZe rr 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3 2 23 43 44 rr a rZe r rr Dee 故原子内总的电通量密度为 12 23 1 4 r a Zer rr DDDe 3 3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中 体密度为 3 0C m 两圆柱 面半径分别为a和b 轴线相距为c abc 如题 3 3 图 a 所示 求空间各部分的电场 解解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布 不能直接用高斯定律求解 但可把半径为 a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0 的两种电荷分布 这样在半径为b的整个圆柱 体内具有体密度为 0 的均匀电荷分布 而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为 0 的均 匀电荷分布 如题 3 3 图 b 所示 空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加 在 br 区域中 由高斯定律 0 d S q ESA A 可求得大 小圆柱中的正 负电荷在点P产 生的电场分别为 22 00 1 2 00 22 r bb rr r Ee 22 00 1 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 22 11 22 0 2 ba rr rr EEE 在 br 且 ar 区域中 同理可求得大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 2 2 00 22 r r r r Ee 22 2 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 2 0 22 2 0 2 a r r EEEr 在 ar 的空腔区域中 大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 题 3 3 图 a a b c 0 题 3 3 图 b a b c 0 a b c 0 a b c 0 2 00 3 00 22 r r r r Ee 2 00 3 00 22 r r r r Ee 点P处总的电场为 00 33 00 22 EEErrc 3 4 半径为a的球中充满密度 r 的体电荷 已知电位移分布为 32 54 2 r rArra D aAa ra r 其中A为常数 试求电荷密度 r 解 由 DA 有 2 2 1 d d r rr D rr DA 故在r a 区域 2322 00 2 1 d 54 d rrrArrAr rr 在r a 区域 54 2 0 22 1 d 0 d aAa rr rrr 3 5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为Q为的体 电荷 球壳上又另充有电荷量Q 已知球内部的电场为 4 r r a Ee 设球内介质为真空 计 算 1 球内的电荷分布 2 球壳外表面的电荷面密度 解解 1 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2 00 2 1 d d r E rr EA 43 2 00 244 1 d 6 d rr r rraa 2 球体内的总电量Q为 3 22 00 4 0 d64d4 a r Qrra a 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q 而且在球壳外表面上还要感应电荷Q 所以 球壳外表面上的总电荷为 2Q 故球壳外表面上的电荷面密度为 0 2 2 2 4 Q a 3 6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a 和r b ba 圆柱表面分别带有密度为 1 和 2 的面电荷 1 计算各处的电位移 0 D 2 欲使r b 区域内 0 0 D 则 1 和 2 应 具有什么关系 解解 1 由高斯定理 0 d S q DSA A 当r a 时 有 01 0 D 当a rb 时 有 021 22rDa 则 1 02r a r De 当b r 时 有 0312 222rDab 则 12 03r ab r De 2 令 12 03 0 r ab r De 则得到 1 2 b a 3 7 计算在电场强度 xy yx Eee 的电场中把带电量为 2C 的点电荷从点 1 2 1 1 P 移到点 2 8 2 1 P 时电场所做的功 1 沿曲线 2 2xy 2 沿连接该两点的 直线 解解 1 dddd xy CCC Wqq ExEy FlElAA 2 22 1 ddd 2 2d C q yxxyq yyyy 2 26 1 6d1428 10 qyyqJ 2 连接点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 直线方程为 28 12 xx yy 即 640 xy 故W 2 1 ddd 64 64 d C q yxxyq yyyy 2 6 1 124 d1428 10 qyyqJ 3 8 长度为L的细导线带有均匀电荷 其电荷线密度为 0l 1 计算线电荷平分面上任 意点的电位 2 利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E 并用 E 核 对 解解 1 建立如题 3 8 图所示坐标系 根据电位的积分表达式 线电荷平分面上任意点 P的电位为 2 0 22 2 0 d 0 4 L l L z r rz 2 22 0 2 0 ln 4 L l L zrz 2 2 0 2 2 0 2 2 ln 4 2 2 l rLL rLL 2 2 0 0 2 2 ln 2 l rLL r 2 根据对称性 可得两个对称线电荷元 z l d 0 在点P的电场为 0 22 0 d ddcos 2 l rrr z E rz Eee 0 22 3 2 0 d 2 l r r z rz e 故长为L的线电荷在点P的电场为 2 0 223 2 00 d d 2 L l r r z rz EEe 2 0 22 0 0 2 L l r z r rz e 0 2 2 0 4 2 l r L r rL e 2L 2L P z r o 0l 题 3 8 图 由 E 求E 有 2 2 0 0 2 2 ln 2 l LrL r E 2 2 0 0 d ln2 2 ln 2d l r LrLr r e 0 22 22 0 1 2 2 2 2 l r r r LrLrL e 0 2 2 0 4 2 l r L r rL e 3 9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 0 2 l r r Ee 试用定义式 d P r r r ElA 求其电 位函数 其中 P r 为电位参考点 解解 000 ddlnln 222 PP P rr r lllP r rr r rrr rr ElA 由于是无限长的线电荷 不能将 P r 选为无穷远点 3 10 一点电荷 q 位于 0 0 a 另一点电荷 2q 位于 0 0 a 求空间的零电位面 解解 两个点电荷 q 和 2q 在空间产生的电位 222222 0 12 4 qq x y z xayzxayz 令 0 x y z 则有 222222 12 0 xayzxayz 即 222222 4 xayzxayz 故得 2222 54 33 xayza 由此可见 零电位面是一个以点 5 0 0 3 a 为球心 4 3 a 为半径的球面 3 11 证明习题 3 2 的电位表达式为 2 0 13 422 aa Zer r rrr 解解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze r De 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3 2 22 43 44 a rr rZe rr Dee 所以原子外的电场为零 故原子内电位为 23 00 11 d d 4 aa rr arr Zer rD rr rr 2 0 13 422 aa Zer rrr 3 12 电场中有一半径为a的圆柱体 已知柱内外的电位函数分别为 2 0 cos rra a rA rra r 1 求圆柱内 外的电场强度 2 这个圆柱是什么材料制成的 表面有电荷分布吗 试求之 解解 1 由 E 可得到 ra 时 0 E ra 时 E 22 cos cos r aa A rA r rrrr ee 22 22 1 cos 1 sin r aa AA rr ee 2 该圆柱体为等位体 所以是由导体制成的 其表面有电荷分布 电荷面密度为 000 2cos r r ar a A n Ee EAA 3 13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2 0 1 sin sin hz kxly e 其中 222 hkl 2 cos sin n rnAn 圆柱坐标 3 cos n rn 圆柱坐标 4 cosr 球坐标 5 2 cosr 球坐标 解解 1 在直角坐标系中 222 2 222 xyz 而 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly ekkxly e xx 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly elkxly e yy 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly ehkxly e zz 故 2222 sin sin 0 hz klhkxly e 2 在圆柱坐标系中 22 2 222 1 r r rrrz 而 11 cos sin n rrrnAn rrrrrr 22 cos sin n n rnAn 2 22 22 1 cos sin n n rnAn r 22 22 cos sin 0 n rnAn zz 故 2 0 3 22 11 cos cos nn rrrnn rn rrrrrr 2 22 22 1 cos n n rn r 22 22 cos 0 n rn zz 故 2 0 4 在球坐标系中 2 22 22222 111 sin sinsin r rrrrr 而 22 22 112 cos cosrrr rrrrrrr 22 11 sin sin cos sinsin r rr 2 2 12 sin cos sin r rr 22 222222 11 cos 0 sinsin r rr 故 2 0 5 222 222 112 cos cosrrr rrrrrrr 2 22 11 sin sin cos sinsin r rr 22 24 12 sin cos sin r rr 22 2 222222 11 cos 0 sinsin r rr 故 2 0 3 14 已知 0 y 的空间中没有电荷 下列几个函数中哪些是可能的电位的解 1 cosh y ex 2 xe y cos 3 2 cos sin y exx 4 zyxsinsinsin 解解 1 222 222 cosh cosh cosh yyy exexex xyz 2cosh0 y ex 所以函数 xe y cosh 不是 0 y 空间中的电位的解 2 222 222 cos cos cos yyy exexex xyz coscos0 yy exex 所以函数 xe y cos 是 0 y 空间中可能的电位的解 3 222 222 222 cos sin cos sin cos sin yyy exxexxexx xyz 22 4cos sin2cos sin0 yy exxexx 所以函数 xxe y sincos 2 不是 0 y 空间中的电位的解 4 222 222 sin sinsin sin sinsin sin sinsin xyzxyzxyz xyz 3sin sinsin0 xyz 所以函数 zyxsinsinsin 不是 0 y 空间中的电位的解 3 15 中心位于原点 边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为 0 xyz Pxyz Peee 1 计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度 2 证明总的束缚电荷为零 解解 1 0 3 P P PA 220 22 Px Lxx L LL xP n Pe PAA 220 22 PxLxxL LL xP n Pe PAA 同理 0 22222 PPPP LLLLL yy