泛函分析 证明题40个

1 泛函分析泛函分析 证明题 证明题 40 个 个 1 设是一个度量空间 证明 若当时 且 XXxn nxxn yxn 则 yx 2 设是两个赋范线性空间 是的线性子空间到中的线性算子 YX TX TDY 证明 若在中某一点处连续 则在上连续 T TD 0 xT TD 3 设是 H 空间上的可列规范正交系 令 n eM XXx kk exC 证明 收敛的充要条件是收敛 Nk 1k kke C 1 2 k k C 4 设是 H 空间上的两个自伴算子 证明 为自伴算子的充要条件 21 T TX 21T T 为 1221 TTTT 5 设是线性空间 是一个给定的数 令 证明 是线X Xx xTx T 性算子 6 设 令 证明 baCX Xtytx max tytxyxd bta 是一个度量空间 dX 7 设是一个内积空间 且 令 证明 成立XXx xxx Xyx 2 2222 yxyxyx 8 设 是定义在上的二元连续函数 baCX tsk baba Xtx 令 证明 是有界线性算子 b a dttxtsktTx T 9 设是内积空间的一个规范正交系 令 证 n eM XXx nn exC 明 若将展开成级数 其中是数 时 只有当时 x 1n nne n nn C 取最小值 1n nnC x 10 设为复 H 空间上的有界线性算子 证明 若为自伴算子 那么TXT 其中为实数集 Xx RxTx R 11 设 令 证明 baX 0 ba Xyx yxyxd 2 是可分度量空间 dX 12 设 令 证明 是连续线性 baCX Xtx dttxtTx b a T 算子 13 设是任一维线性空间 证明 与线性同构 XnX n R 14 设是一个内积空间 证明 有 XXyx yyyxyx 2 15 设为复 H 空间上的有界线性算子 且 是实数 证TXXx xTx 明 是自伴算子 T 16 设是一个度量空间 令 证明 dXXyx 1 yxd yxd yx 也是上的一个度量空间 XX 17 设 且有 证明 存在唯RX Xyx yxyxd xTx 2 1 一的 使 Xx xTx 18 设是内积空间的闭线性子空间 且 证明 中必有非零元素 MXXM M 19 在线性空间中 令 证明 是一 n R 21n xxxxL k nk xx 1 max n R 个赋范线性空间 20 设为复内积空间上的有界线性算子 证明 的充要条件是成TX0 TXx 立 0 xTx 21 设是一个度量空间 是中的两个点列 且 X nn yxXxxn 证明 yxn n nyxdyxd nn 22 设 令 证明 是上的线性算 baCX Xtx ttxtTx TX 子 23 设是一个赋范线性空间 令 证明 若X 0 xfXxxfN 在上连续 则是一个闭集 fX fN 24 设是一个内积空间 证明 若 则XXyx yx 222 yxyx 25 设为复 H 空间上的有界线性算子 证明 为正常算子的充要条TXT 3 件为 成立 Xx TxxT 26 设是一个度量空间 是中的任一收敛点列 证明 为X n xX n x 中的有界点列 X 27 设是度量空间 且 B 在 A 中稠密 证明 以及XXBA Ax 使 0 By yxd 28 设 令 证明 是到中 baCX Xtx dttxtTx b a TX 1 R 的一个连续映射 29 设是一个赋范线性空间 令 证明 XXyx yxyxd 是一个度量空间 dX 30 设是复 H 空间上的有界线性算子 令 证TX 2 TT A i TT B 2 明 均为上的自伴算子 BA X 31 设是一个度量空间 是中的一个收敛点列 证明 是一X n xX n x 个柯西点列 32 在线性空间中 令 证明 baC baCtx max txtx bta 是一个赋范线性空间 baC 33 设是两个赋范线性空间 证明 是有界算YX YXBBA BA 子 34 设是一个维内积空间 是的一个正交系 证明 Xn 21n eeeML X 是的一个线性无关子集 MX 35 设是复 H 空间上的有界线性算子 是的笛卡尔分解 TXiBAT T 证明 为正常算子的充要条件是 TBAAB 36 设是度量空间中的闭集 证明 有一列开集满足 BX n ABAn 且有 2 1 L nBA n n I 1 37 设 令 证明 是线性 baCX baCtx tx dt d tDx D 算子 4 38 设为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子 TX TDY 证明 TDx xTTx 39 设是实线性空间 令 证明 XXx xxx Xyx yxyx 40 设是 H 空间上的两个酉算子 证明 也是酉算子 vu Xuv 34 设是希尔伯特空间的两个酉算子 那么 当