直线与圆锥曲线测试题

1 直线与圆锥曲线测试题直线与圆锥曲线测试题 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 36 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 直线 l1 y x 1 l2 y x 2 与椭圆 C 3x2 6y2 8 的位置关系是 A l1 l2与 C 均相交 B l1与 C 相切 l2与 C 相交 C l1与 C 相交 l2与 C 相切 D l1 l2与均相离 2 原创题 直线 y x 1 被椭圆 x2 2y2 4 所截的弦的中点 M 则 M 与原点连线的斜率等于 A B C D 2 1 2 2 3 3 2 3 过椭圆 x2 2y2 4 的左焦点作倾斜角为的弦 AB 则弦 AB 的长为 3 A 7 6 B C D 6 716 7 7 16 4 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且 BFx 轴 直线AB交 y 轴于点P 若 2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 5 若直线 y x m 与曲线只有一个公共点 则 m 的取值范围是 2 1 y5x 4 A 2 m 2 B 2 m 255 C 2 m 2 或 m 5 D 2 m 2或 m 555 6 过点 P 3 2 和抛物线 只有一个公共点的直线有 条 23 2 xxy A 4 B 3 C 2 D 1 7 改编题 过原点的直线 与曲线 C 相交 若直线 被曲线 C 所截得的线段l1 3 2 2 y x l 长不大于 则直线 的倾斜角的最大值是 6l A B C D 5 6 2 2 3 3 4 8 若椭圆和圆为椭圆的半焦距 有四个 0 1 2 2 2 2 ba b y a x cc b yx 2 222 不同的交点 则椭圆的离心率的取值范围是 e A B C D 5 3 5 5 5 5 5 2 5 3 5 2 5 5 0 9 椭圆内有一点 P 3 2 过点 P 的弦恰好以 P 为中点 那么这弦所14494 22 yx 在直线的方程为 2 A B 01223 yx01232 yx C D 014494 yx014449 yx 10 经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线 交椭圆于 两点 设为 2 2 2 1 x y 45 lABO 坐标原点 则等于 OA OB A B C 或 D 3 1 3 1 3 3 1 3 11 改编题 已知椭圆 0 与双曲线有公共的 22 1 22 1 xy C ab ab 2 2 2 1 4 y Cx 焦点 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点 若 恰好将线 2 C 1 C A B 1 C 段三等分 则 AB A 长轴长 B 长轴长 C 短轴长 D 短轴长262 1322 2 12 改编题 已知两点 M 1 N 4 给出下列曲线方程 4x 2y 1 0 5 4 5 4 x2 y2 3 1 1 在曲线上存在点 P 满足 MP NP 的所有曲线方 2 2 2 x y 2 2 2 x y 程是 A B C D 二二 填空题 共填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 3 分共分共 12 分 把答案填在相应的位置上 分 把答案填在相应的位置上 13 改编题 已知 F1为椭圆 C y2 1 的左焦点 直线 l y x 1 与椭圆 C 交于 x2 2 A B 两点 那么 F1A F1B 的值为 14 如图 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 恰好是椭圆 a b 0 的右焦点 且 22 22 xy 1 ab 两曲线的公共点连线 AB 过 F 则椭圆的离心率是 15 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 3 16 设分别为椭圆的左 右焦点 点在椭圆上 若 则 12 F F 2 2 1 3 x y A B 12 5F AF B 点的坐标是 A 三三 解答题 本大题五个小题 共解答题 本大题五个小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 原创题 本小题 10 分 当过点 0 2 的直线和椭圆 有两个公共点 有 22 1 32 xy 一个公共点 没有公共点时 求k的取值范围 18 本小题 10 分 已知椭圆 过点 P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 22 1 164 xy 求此弦所在直线的方程 l 19 原创题 本小题 10 分 已知平面上任意一点 M x y 满足方程 2222 3 3 4xyxy 1 判断点 P 的轨迹 并说明原因 2 设过 0 2 的直线l与上述曲线交于 C D 两点 且以 CD 为直径的圆过原点 求直线l的方程 20 本小题 10 分 已知动点 P 与平面上两定点连线的斜率的积为定 2 0 2 0 AB 值 1 2 试求动点 P 的轨迹方程 C 设直线与曲线 C 交于 M N 两点 当 MN 时 求直线 l 的方程 1 kxyl 3 24 21 本小题 12 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C过点 2 3 1 且离心率 2 1 e 求椭圆方程 若直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点M N 且线段MN的垂 直平分线过定点 0 8 1 G 求k的取值范围 4 挑战能力 1 改编题 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两 点 AB 12 P 为 C 的准线上的一点 则 ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 2 改编题 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶点为A P为双曲线上的一 个动点 不是顶点 从点A引双曲线的两条渐近线的平行线 与直线OP分别交于 Q R两点 其中O为坐标原点 则 2 OP与 OQOR 的大小关系为 A 2 OPOQOR B 2 OPOQOR C 2 OPOQOR D 不确定 3 椭圆 与直线交于 两点 且 其 1 2 2 2 2 b y a x ab 01 yxPQOQOP 中为坐标原点 O 1 求的值 22 11 ba 2 若椭圆的离心率满足 求椭圆长轴的取值范围e 3 3 e 2 2 直线与圆锥曲线测试题答案直线与圆锥曲线测试题答案 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 36 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 答案 C 解析 因为 得 所以 l1与 C 相交 22 1 368 yx xy 2 912200 xx 因为 得 l2与 C 相切 22 2 368 yx xy 2 9241600 xx 2 答案 B 解析 由 得中点坐标 22 1 24 yx xy 2 12 4 3420 3 xxxx 所以 答案为 B 12 000 21 1 233 xx xyx 1 2 OM k 3 答案 5 解析 AB 的直线方程为 联立方程 得3 2 yx 22 36 24 yx xy 所以 2 1212 12 28 712 280 77 xxxxx x 22 121212 2 1212 2 1 3 2 4 12 232 2 77 16 7 ABxxyyxx xxx x 4 答案 D 解析 对于椭圆 因为 2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 5 答案 D 解析 将曲线方程化为 y 0 22 xy 1 205 则该曲线表示椭圆位于 x 轴的上半部分 22 xy 1 205 将方程 y x m 与联立得 22 xy 1 205 5x2 8mx 4m2 20 0 令 64m2 20 4m2 20 0 解得 m 5 于是得如图所示直线 l1 y x 5 又可求得直线 l2 y x 2 l3 y x 2 55 依题意 直线 y x m 应介于直线 l2与 l3之间或就为直线 l1 2 m 2或 m 5 55 6 6 答案 D 解析 抛物线 如图 点 P 3 2 在抛物线的内部 23 2 xxy 根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点 可知过 点 P 3 2 和抛物线 只有一个公共点的直线有一条 故选择 D23 2 xxy 7 答案 D 解析 设直线 的方程为 由得 所以弦长等lykx 2 2 1 3 x y ykx 22 31 30kx 于 即 222 12 2 12 116 1 31 kxxkk k tan1tan1 或 所以 所以答案为 D 4 3 4 8 答案 A 解析 由题意 圆的半径应满足 变形两边平方 得ac b b 2 5 3 55 e 9 答案 B 解析 设直线与椭圆的交点坐标为 代入椭圆方程 1122 A x yB xy 14494 22 yx 22 11 22 22 49144 49144 xy xy 得 2222 121212121212 4 9 04 9 0 xxyyxxxxyyyy 所以直线的方程 2 4 2 39 2 20 3 ABAB kk 2 2 3 3 yx 即01232 yx 10 答案 B 解析 不妨设直线 的方程为 则 故选 B l1yx 0 1 A 41 33 B 1 3 0OA OB 11 答案 C 解析 由双曲线 1 知渐近线方程为 又 椭圆与双曲线有公共焦 4 2 2 y x xy2 7 点 椭圆方程可化为 联立直线与椭圆 22x b 22 5 yb 22 5 bb xy2 方程消得 又 将线段 AB 三等分 y 205 5 2 22 2 b bb x 1 C 解之得 所以短轴长为 3 2 205 5 221 2 22 2 a b bb 2 1 2 b2 12 答案 D 解析 P 满足 MP NP 即 P 是 MN 的中垂线上的点 P 点存在即中垂线与曲线有交 点 MN 的中垂线方程为 2x y 3 0 与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足 MP NP 直线 4x 2y 1 0 与 2x y 3 0 平行 故排除 A C 又由 0 有唯一交点 P 满足 MP NP 故选 D 2 2 230 1 2 xy x y 二二 填空题 共填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 3 分共分共 12 分 把答案填在相应的位置上 分 把答案填在相应的位置上 13 答案 8 2 3 解析 设点 A x1 y1 B x2 y2 则由 Error 消去 y 整理得 3x2 4x 0 解得 x1 0 x2 易得点 A 0 1 4 3 B 又点 F1 1 0 因此 F1A F1B 4 3 1 312 1 2 7 3 2 1 3 2 8 2 3 14 答案 12 解析 由题意可知 AB 即是抛物线的通径 AB 2p A p 又 p 2 c A c 2c 将 A 点代入椭圆方程中得 4a2c2 b2 a2 c2 p 2 22 22 c4c 1 ab b4 b2 2ac 而 2ac a2 c2 即 c2 2ac a2 0 e2 2e 1 0 解得 e 1 e 1 舍去 22 15 答案 3 2 解析 设 AB 直线的方程为 y x b 与 y x2 3 联立 得 x2 x b 3 0 1 4 b 3 0 x1 x2 1 x1x2 b 3 AB 的中点 C b 在 x y 0 上 1 2 1 2 8 即 b 0 解得 b 1 符合 0 1 2 1 2 弦长 AB 1 11 423 2 g 16 答案 0 1 或 0 1 解析 设直线的反向延长线与椭圆交于点 又 由椭圆的对AF1 B BFAF 21 5 称性可得 设 11 5FBAF 11 y xA 22 y x B 又 11 63 2 32 F Ax 12 63 2 32 FBx 12 12 63 263 2 3232 25 2 xx xx 解之得 点 A 的坐标为 0 1 x 0 1 或 0 1 三三 解答题 本大题五个小题 共解答题 本大题五个小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解析 当直线的斜率不存在时 显然直线与曲线有两个公共点 所以 设直线方程为 2ykx 由 22 2 236 ykx xy 得 22 23 2 6xkx 即 22 23 1260kxkx 222 14424 23 7248kkk 当 2 72480k 即 66 33 kk 或时 直线和曲线有两个公共点 当 2 72480k 即 66 33 kk 或时 直线和曲线有一个公共点 当 2 72480k 即 66 33 k 时 直线和曲线没有公共点 18 解析 解法一 设所求直线的方程为 y 1 k x 2 代入椭圆方程并整理 得 2222 41 8 2 4 21 160kxkk xk 直线与椭圆的交点设为 则 1122 A x yB xy 2 12 2 8 2 41 kk xx k 因为 P 为弦 AB 的中点 所以 解得 2 12 2 4 2 2 241 xxkk k 1 2 k 9 因此所求直线的方程为 x 2y 4 0 解法 2 设直线与椭圆的交点为 1122 A x yB xy 因为 P 为弦 AB 的中点 所以 1212 4 2xxyy 又因为 A B 在椭圆上 所以 22 11 22 22 416 416 xy xy 两式相减 得即 2222 1212 4 0 xxyy 12 1212 12 4 0 yy xxyy xx 所以 1212 1212 11 4 22 AB yyxx k xxyy 即 因此所求直线的方程为即 x 2y 4 0 1 1 2 2 yx 19 解析 1 方程表示 M x y 到两定点 2222 3 3 4xyxy 的距离之和为 4 根据椭圆的定义 可知动点M的轨迹为椭圆 其中 3 0 3 0 2a 3c 则 22 1bac 所以动点 M 的轨迹方程为 2 2 1 4 x y 2 当直线l的斜率不存在时 不满足题意 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为2ykx 设 11 C xy 22 D xy 0OC OD 1212 0 x xy y 11 2ykx 22 2ykx 2 121212 2 4y yk xxk xx 2 1212 1 2 40kx xk xx 由方程组 2 2 1 4 2 x y ykx 得 22 1416120kxkx 则 12 2 16 14 k xx k 12 2 12 14 xx k 代入 得 2 22 1216 1240 1414 k kk kk 即 2 4k 解得 2k 或2k 所以 直线l的方程是22yx 或 22yx 20 解析 设点 P x y 则依题意有 1 222 yy xx 整理得 由于 2x 所以求得的曲线 C 的方程为 2 2 1 2 2 x yx 1 2 2 2 y x 由解得x1 0 x2 分别为 0 4 21 1 1 2 22 2 2 kxxky kxy y x 得消去 21 2 21 4 xx k k 10 M N的横坐标 由 2 3 4 21 4 1 1 2 2 21 2 k k kxxkMN 1 k解得 所以直线l的方程x y 1 0或x y 1 0 21 解析 离心率 2 1 e 即 1 2 2 13 1 44 b a 22 43ba 又椭圆过点 2 3 1 则 1 式代入上式 解得 椭圆方程 22 19 1 4ab 2 4a 2 3b 为 22 1 43 xy 设 弦 MN 的中点 A 1122 M x yN xy 00 xy 由得 22 3412 ykxm xy 222 34 84120kxmkxm 直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点 即 1 2222 644 34 412 0m kkm 22 43mk 由韦达定理得 2 1212 22 8412 3434 mkm xxx x kk 则 2 000 222 443 343434 mkmkm xykxmm kkk