第二十四章圆知识点及典型例题

第二十四章第二十四章 圆圆 知识点 题型归纳知识点 题型归纳 实验中学实验中学 马贵荣马贵荣 1 一 圆的概念一 圆的概念 集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 补充 补充 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 也叫 中垂线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相 等的一条直线 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 选记选记 外离 无交点 dRr 外切 有一个交点 dRr 相交 有两个交点 RrdRr 内切 有一个交点 dRr 内含 无交点 dRr 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对 的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦 所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 六 圆心角定理六 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对 的弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个 结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD 七 圆周角定理七 圆周角定理 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的 圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的 弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边 上的中线等于斜边的一半的逆定理 八 圆内接四边形八 圆内接四边形 r d d C B A O O E DC B A O C D A B F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O E D C B A 第二十四章第二十四章 圆圆 知识点 题型归纳知识点 题型归纳 实验中学实验中学 马贵荣马贵荣 2 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 即 在 中 O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切 线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 切线长定理十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相 等 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 十一 圆幂定理十一 圆幂定理 选记选记 1 相交弦定理相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积 相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 3 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线 长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 4 割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 即 在 中 是割线 OPBPE PC PBPD PE 十二 两圆公共弦定理十二 两圆公共弦定理 选记选记 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的 公共弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 垂直平分 1 O 2 OAB 12 OO AB 十三 圆的公切线十三 圆的公切线 选记选记 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半 2 CO 2 CO 径之和 十四 圆内正多边形的计算十四 圆内正多边形的计算 选记选记 正多边形计算的解题思路 正多边形计算的解题思路 直角三角形等腰三角形正多边形 转化作垂线段转化连接 ODOAB 可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形 再用解直角三角形的知识进行求解 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 十五 扇形 圆柱 圆锥和弓形的相关计算公式十五 扇形 圆柱 圆锥和弓形的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 第二十四章第二十四章 圆圆 知识点 题型归纳知识点 题型归纳 实验中学实验中学 马贵荣马贵荣 3 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRlS 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 2 22rhr 2 圆柱的体积 2 Vr h 3 圆锥 1 侧面展开图 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h 4 弓形 1 弓形的定义 由弦及其所对的弧 包括劣弧 优弧 半圆 组成的图形叫做弓形 2 弓形的周长 弦长 弧长 3 弓形的面积 如图所示 每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积 从图中可以看出 只要把扇 形 OAmB 的面积和 AOB 的面积计算出来 就可以得到弓形 AmB 的面积 当弓形所含的弧是劣弧时 如图 1 所示 当弓形所含的弧是优弧时 如图 2 所示 当弓形所含的弧是半圆时 如图 3 所示 圆有关问题辅助线的常见作法圆有关问题辅助线的常见作法 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内切圆 内角平分线梦圆 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 还要作个内切圆 内角平分线梦圆 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 例题例题 1 基本概念基本概念 1 下面四个命题中正确的一个是 A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的 弦 C 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直 线必过这个圆的圆心 2 下列命题中 正确的是 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B 过弦的中点的直线必过圆心 C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心 D 弦的垂线平分弦所对的弧 例题例题 2 垂径定理 垂径定理 1 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 如果油的最大深度为 16cm 那么油面宽度 AB 是 cm 2 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后 如果油面宽度是 48cm 那么油的最大 深度为 cm 3 如图 已知在 中 弦 且 垂足为 于 OCDAB CDAB HABOE E 于 CDOF F 1 求证 四边形是正方形 OEHF 2 若 求圆心到弦和的距离 3 CH9 DHOABCD 4 已知 ABC 内接于 O AB AC 半径 OB 5cm 圆心 O 到 BC 的距离为 3cm 求 AB 的长 5 如图 F 是以 O 为圆心 BC 为直径的半圆上任意一点 A 是的中点 AD BC 于 D 求证 AD BF 2 1 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O 第二十四章第二十四章 圆圆 知识点 题型归纳知识点 题型归纳 实验中学实验中学 马贵荣马贵荣 4 例题例题 3 度数问题 度数问题 已知 在 中 弦 点到的距离等于的一半 求 的度数和Ocm12 ABOABABAOB 圆的半径 例题例题 4 平行问题 平行问题 在直径为 50cm 的 O 中 弦 AB 40cm 弦 CD 48cm 且 AB CD 求 AB 与 CD 之间 的距离 例题例题 5 同心圆问题 同心圆问题 如图 在两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 两点 设大 圆和小圆的半径分别为 求证 ba 22 baBDAD 例题例题 6 利用切线性质计算线段的长度 利用切线性质计算线段的长度 如图 已知 AB 是 O 的直径 P 为延长线上的一点 PC 切 O 于 C CD AB 于 D 又 PC 4 O 的半径为 3 求 OD 的长 例题例题 7 利用切线性质计算角的度数 利用切线性质计算角的度数 如图 已知 AB 是 O 的直径 CD 切 O 于 C AE CD 于 E BC 的延长线与 AE 的延长线交 于 F 且 AF BF 求 A 的度数 例题例题 8 利用切线性质证明角相等 利用切线性质证明角相等 如图 已知 AB 为 O 的直径 过 A 作弦 AC AD 并延长与过 B 的切线交于 M N 求证 MCN MDN 例题例题 9 利用切线性质证线段相等 利用切线性质证线段相等 如图 已知 AB 是 O 直径 CO AB CD 切 O 于 D AD 交 CO 于 E 求证 CD CE 第二十四章第二十