《等差数列前n项和公式》教学设计

等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 教学设计教学设计 一 设计理念一 设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展 让学生利用自己的原有认知 结构中相关的知识与经验 自主地在教师的引导下促进对新知识的建构 因为建构主义 学习理论认为 学习是学生积极主动地建构知识的过程 在教学过程中 根据教学内容 从介绍高斯的算法开始 探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项和的求法 通 过设计一些从简单到复杂 从特殊到一般的问题 层层铺垫 组织和启发学生获得公式 的推导思路 并且充分引导学生展开自主 合作 探究学习 通过生生互动和师生互动 等形式 让学生在问题解决中学会思考 学会学习 同时根据我校的特点 为了促进成 绩优秀学生的发展 还设计了选做题和探索题 进一步培养优秀生用函数观点分析 解 决问题的能力 达到了分层教学的目的 二 背景分析二 背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修 5 5 北师大 中第二章的第三节内 容 本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以及该求和公式的应 用 等差数列在现实生活中比较常见 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常 遇到的一类问题 同时 求数列前 n 项和也是数列研究的基本问题 通过对公式推导 可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法 三 学情分析三 学情分析 1 学生已掌握的理论知识角度 学生已经学习了等差数列的定义及通项公式 掌 握了等差数列的基本性质 有了一定的知识准备 2 学生了解数列求和历史角度 大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识 并且 知道此算法原理 但在高斯算法中数列 1 2 3 100 只是一个特殊的等差数列 对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知 3 学生的认知规律角度 本节课采取了循序渐进 层层深入的教学方式 以问题 解答的形式 通过探索 讨论 分析 归纳而获得知识 为学生积极思考 自主探究搭 建了理想的平台 让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围 四 教学目标四 教学目标 1 类比高斯算法 探求等差数列前项和公式 理解公式的推导方法 n 2 能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题 n 3 经历公式的推导过程 体会层层深入的探索方式 体验从特殊到一般 具体到抽象 的研究方法 学会观察 归纳 反思与逻辑推理的能力 4 通过生动具体的现实问题 激发学生探究的兴趣和欲望 树立学生求真的勇气和自 信心 增强学生学好数学的心理体验 产生热爱数学的情感 体验在学习中获得成功 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 1 1 教学重点 教学重点 等差数列前项和公式的推导和应用n 2 2 教学难点 教学难点 公式推导的思路 3 3 重难点解决的方法策略 重难点解决的方法策略 本课在设计上采用了从特殊到一般 从具体到抽象的教学 策略 利用分类讨论 类比归纳的思想 层层深入 通过学生自主探究 分析 整理出 推导公式的不同思路 同时 借助多媒体的直观演示 帮助学生理解 通过教师的点拨 引导 师生互动 讲练结合 突出重点 突破难点 六 教学过程设计六 教学过程设计 一 创设情景 提出问题 一 创设情景 提出问题 欣赏图片 泰姬陵 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是 17 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕 为纪念其爱妃所建 它宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为 世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶嵌 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形 图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有 100 层 奢靡之程度 可见一斑 问题问题 1 1 你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗 教师活动 教师活动 利用多媒体 展示泰姬陵的图片 并截取出三角形宝石图案 引导学生观察 宝石数目变化情况 学生活动 学生活动 欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题 1 活动预设 活动预设 1 能得到的信息 从上到下 宝石数目以 1 为公差依次递增 构成等差数列 2 需要解决的问题 100 层中究竟共有多少颗宝石 设计意图设计意图 1 教师先用多媒体展示彩图呈现的问题 使学生进入问题情境 激发学 生的兴趣 并使学生体会数学来源于生产生活 2 以问题的提出作为引入方式 使学生带着问题学习新课 更有目的性 二 探究等差数列前 二 探究等差数列前 n n 项和公式项和公式 教师活动 教师活动 指出此数列的求和方法在 1787 年已被高斯解决 让学生讲高斯故事 学生活动 学生活动 学生根据课前的搜集简介高斯 神速求和 的故事 小高斯上小学四年级时 一次数学老师布置了一道数学习题 把从 1 到 100 的自然数加起来 和是多少 年仅 10 岁的小高斯略一思索就得到答案 5050 这使老师非常吃惊 问题问题 1 1 高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢 教师活动 教师活动 指导学生快速找出规律 学生活动 学生活动 高斯算法解决 1 2 3 50 51 98 99 100 活动预设 活动预设 高斯算法 1 100 101 2 99 101 50 51 101 所以原式 50 1 101 5050 问题问题 2 2 在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质 教师活动 教师活动 引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据 学生活动 学生活动 利用高斯算法计算答案 并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列 项的何种性质 活动预设 活动预设 构造数列 则有性质 1299100 1 2 99 100aaaa 等差数列中 若 则 n amnpq mnpq aaaa 设计意图设计意图 高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列 角标和相等 对应的项和相等 的特征 为等差数列前项和公式的推导的 倒序相加法 做好铺垫 开启了更深入 n 更细致的研究大门 问题问题 3 3 你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题 方法 倒序相加法方法 倒序相加法 借助几何图形之直观性 把这个 借助几何图形之直观性 把这个 全等三角形全等三角形 倒置 与原图补倒置 与原图补 成平行四边形 成平行四边形 由此引入倒序相加法 教师活动 教师活动 12321nnnn Saaaaaa 12321nnnn Saaaaaa 1213223121 2 nnnnnnn Saaaaaaaaaaaa 由性质 若 则 可得 mnpq mnpq aaaa 等差数列前项和公式 1 1 2 2 n nnn n aa Sn aaS n 设计意图设计意图 1 数学问题的解决讲究最优化原则 因此引导让学生体会到数学方法的 多样性 但需要寻求高效率的方法 2 倒序相加求和法是数列求和常用方法之一 方法比公式本身更为重要 也为以后 数列求和的学习做好铺垫 三 公式理解和深化 三 公式理解和深化 公式一 1 2 nn n Saa 问题问题 1 1 此公式中有哪些变量 已知哪些量可求另外量 教师活动 教师活动 引导学生找出变量 学生活动 学生活动 观察公式 找出变量 活动预设 活动预设 此公式中 共有四个变量 可知三求一 1 nn Sn a a 设计意图设计意图 让学生从变量上理解公式 从形式上初步了解如何由已知探求未知 在头 脑中初步建构公式的适用情况 问题问题 2 2 此公式还可进行怎样的变形 教师活动 教师活动 引导学生从下手对公式进行变形 投影学生的变形过程 n a 学生活动 学生活动 尝试对公式进行变形 活动预设 活动预设 公式二 1 1 2 n n n Snad 设计意图设计意图 1 让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁 运用旧知巩固新知 利用旧 知得出新知 2 体会知识之间的整体性和关联性 感受运用旧知推导新知的成功和喜悦 问题问题 3 3 观察 对比公式一 二 你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选 教师活动 教师活动 引导学生从两个公式中的变量进行总结 学生活动 学生活动 总结出两公式的区别及适用情况 活动预设 活动预设 1 在两个公式 五个变量中 可知三求二 1 nn a n d a S 2 若已知 优先选用公式一 若已知 优先选用公式二 n ad 设计意图设计意图 通过两公式的对比研究 可进一步加深学生对公式的记忆 公式一 二的 区别可提高学生的做题速度和质量 再一次体现了数学的简洁美和精准性 四 公式应用 反馈评价 四 公式应用 反馈评价 课堂练习之课堂练习之 争分夺秒争分夺秒 五个元素五个元素 a a1 1 a an n n n d d S Sn n 知知 三三 求求 二二 你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗 你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗 变式训练 变式训练 例例 2 2 等差数列 等差数列 1010 6 6 2 2 2 2 前多少项和是前多少项和是 54 54 解 解 a a1 1 10 d 6 10 d 6 10 4 10 4 10n n n 1 10n n n 1 2 2 4 54 4 54 解得解得 n 9n 9 n 3 n 3 舍舍 前前 9 9 项的和是项的和是 5454 1n nn1 1 a14 5d0 7a32 2 d3a20S65a 1 n n n 已已知知 求求S S 已已 例例 在在等等差差数数 知知 求求 列列中中 和和 ndsaa nn 999 54 20 1 1 求 变式训练 求等差数列变式训练 求等差数列 1313 1515 1717 81 81 的各项和的各项和 例例 3 3 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前 1010 项的和是项的和是 310310 前 前 2020 项的和是项的和是 12201220 由此可以确定求其 由此可以确定求其 前前 n n 项和的公式吗 项和的公式吗 教师活动 教师活动 分析解决问题 组织学生交流 讨论 再进行公式的应用 设计意图设计意图 透过此题 培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解 六 布置作业六 布置作业 1 课本 P46习题 2 3 第 1 题 1 3 七 板书设计七 板书设计 八 教学反思八 教学反思 等差数列前 n 项和 的推导不只一种方法 本节课是通过介绍高斯的算法 探究 这种方法如何推广到一般等差数列的求和 该方法反映了等差数列的本质 可以进一步 促进学生对等差数列性质的理解 而且该推导过程体现了人类研究 解决问题的一般思 一 等差数列前 n 项和 12nn Saaa 二 公式的推导 方法 倒序相加法 三 深化公式 公式 1 公式 2 变形 主板书 四 课堂练习 副板书 辅助性板书 3 3 等差数列前 n 项和 2 1 46 3 2 n n Snnn n 1020 310 1220SS 又 1 1 2