第二章-导数与微分教案

第二章第二章 导数与微分导数与微分 知知识识点 点 与与与与与与与与与与与与 与与与与与与与与与与与 与与 与与与与 与与与与与与 与与与与与与 与与与与与与与 与与与与与与与与与 与与与与与与与 与与与与与 与与与与与与与与与与 与与与与与与与 与与与与与 与与与与与 教学目的要求 教学目的要求 1 理解导数的概念 熟记导数符号 理解导数的几何意义 了解函数可导与连续的关系 2 熟记导数的基本公式 掌握导数的四则运算求导法则 掌握复合函数的求导法则 掌 握隐函数与对数法的求导方法 了解高阶导数的概念 掌握高阶导数的求导方法 3 理解微分的概念及其几何意义 熟记微分的基本公式与运算法则 教学重点 教学重点 1 导数的概念 2 导数的几何意义 3 导数的基本公式 4 四则运算求导法则 5 复合函数求导法则 6 隐函数的求导法则 7 一阶微分的形式不变性 教学教学难难点 点 1 导数的概念 2 复合函数的求导法则 3 隐函数的求导法则 4 微分的形式不变性 第一节 导数的概念 Ox y x c xfy Q y 0 x P xx 0 T R 教学内容教学内容 两个引例 导数的定义 导数的几何意义 函数可导与连续的关系 教学目的教学目的 使学生理解导数的定义 掌握导数的几何意义 会求曲线的切线方程与法 线方程 了解函数可导与连续的关系 教学重点教学重点 1 导数的定义 2 用导数的定义求函数在某点的导数 3 导数的几何意 义 教学难点教学难点 1 导数的定义 2 函数可导与连续的关系 教学时数教学时数 2学时 教学进程教学进程 一 两个引例一 两个引例 引例 1 自由落体运动的瞬时速度 提问 1 自由落体运动的位移公式 2 自由落体运动的瞬时速度公式 3 自由落体 运动的瞬时速度公式的推导过程 适当讨论 由学生回答可知自由落体运动的位移公式为 由于物体的位移 2 gt 2 1 t ss 是随时间 连续变化的 因此在很短的时间间隔内 从到 内 速度变化不stt 0 ttt 0 大 可以用平均速度作为时的瞬时速度的近似值 即 t t s tt s t s v 00 0 t t v 0 t v 0 t t s tt s t s v 00 t gt 2 1 tt g 2 1 2 0 2 0 2 0 tg 2 1 gt 显然 越小 与越接近 当无限变小时 平均速度就无限接近时的瞬t v 0 tvt 0 t 时速度 由此 令 如果平均速度的极限存在 就把它定义为物体在时刻的0 t t s 0 t 瞬时速度 即 0 tv t v 0 tg 2 1 gt lim 2 0 0t 0 gt 总结规律 对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得 t tstts t s tv tt limlim 00 00 0 引例 2 平面曲线的切线斜率 提问 1 什么叫做圆的切线 2 一般的平面曲线的切线怎么定义 适当讨论 定义 设点是曲线上的一个定点 在曲线上PCC 另取一点 作割线 当动点沿曲线向点QPQQC 移动时 割线绕点旋转 设其极限位置为 PPQPPT 则直线称为曲线在点的切线 如右图所示 PTCP 设曲线的方程是 记点的横坐标为 点的横坐标为C x fy P 0 xQ 可正可负 平行轴 设的倾角为 则的斜率为xx0 x PRxPQ PQ 显然 PR RQ tan x x f xx f PR RQ tan 00 当点沿曲线无限趋近于点时 这时 也趋近于的倾角 这时QCP 0 x PT 切线的斜率PT x x f xx f lim x y limtan 00 0 x0 x 综上两个引例的结论可知 虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同 但是它们可以用 相同的方法求得所需结果 由此引出导数的定义 二 导数的定义二 导数的定义 1 导数的定义 定义 设函数在点的某邻域内有定义 当自变量在点处有增量 x fy 0 xx 0 x 点仍在该邻域内 时 相应地函数有增量x xx0 x f xx fy 00 如果极限存在 则称函数在点处可导 并称此极限值为函数 x y lim 0 x x fy 0 x 在点处的导数 记作 也可记作 或 x fy 0 x x f 0 0 xx y 0 xx dx dy 即 0 xx dx x df x f 0 x y lim 0 x x x f xx f lim 00 0 x 这时就称函数在点的导数存在 或称函数在点可导 如果极 x fy 0 x x fy 0 x 限不存在 则称函数在点不可导 x fy 0 x 2 由导数的定义求函数的导数 设函数 求该函数在处的导数的步骤 x fy 0 x 在处给定 0 x 0 x x 求增量 x f xx fy 00 算比值 x x f xx f x y 00 取极限 x y limy 0 x xx 0 例例 1 1 已知函数 求 2 xy 1 f 解解 在处给定1x0 0 x x 1 求增量 222 x x21 x1 1 f x1 fy 2 算比值x2 x x x2 x y 2 3 取极限 x y limy 0 x 2 x2 lim 0 x 因此 2 1 f 3 几点说明 1 函数在点处的导数也称为函数在点处对自变量的变化率 x fy 0 x x fy 0 x 2 当极限与存在时 分别称它们 x x f xx f lim 00 0 x x x f xx f lim 00 0 x 为的左导数与右导数 记为与 且存在当且仅当与 0 x x f 0 x f 0 x f 0 x f 0 都存在且相等 利用极限存在的充要条件理解 x f 0 3 函数在点处的导数 就是导函数在点处的函数值 x fy 0 x x f 0 x f 0 xx 即 通过例 1 中改变值的改变进行说明 x f 0 0 xx x f 0 x 4 如果函数在 内每一点处可导 则称函数在区间 内可 x fa bx x fa b 导 显然导数值也是的函数 我们称它为函数的导函数 今后在不会发 x f x x fy 生混淆的情况下 也简称导数 记作 或 即 x f y dx dy dx x df x f x x f xx f lim 0 x 讨论 函数的导数是什么 结论 2 xy x2 x 2 思考 函数的导数是什么 结论 Nn xy n 1nn nx x 拓展 函数的导数是什么 结论 R xy 1 x x 如 等 x2 1 x 2 1 x x 1 2 1 2 1 2 21 x 1 x1 x x 1 5 如果函数在 内可导 且在点右导数存在 在点右导数存在 则称 x fa bab 函数在闭区间 上可导 x fa b 三 导数的几何意义三 导数的几何意义 由引例 2 的分析可知导数的几何意义为 函数在点的导数 表示 x fy 0 xx x f 0 曲线在点 的切线的斜率 因此有 x fy 0 x x f 0 当函数在点处可导时 曲线在点 的切线方 x fy 0 xx x fy 0 x x f 0 程为 xx x fyy 000 曲线在点 的法线方程为 x fy 0 x x f 0 与与与 与与与 0 x fxx 0 x f xx x f 1 yy 00 00 0 0 如果在点连续且导数为无穷大 则曲线在点 的切线方程 x fy 0 x 0 x x f 0 为 法线方程为 0 xx 0 yy 例例 2 2 求曲线在点 1 1 处的切线和法线方程 xy 解解 因为 所以 于是曲线在点 1 1 处的切线 x2 1 x y 2 1 y 1x xy 方程为即 1x 2 1 1y 01y2x 曲线在点 1 1 处的法线方程为即xy 1x 21y 03yx2 四 可导与连续的关系四 可导与连续的关系 定理定理 如果函数在点处可导 则在点处必连续 x fy 0 x x f 0 x 注 如果函数在点处连续 在点处未必可导 x fy 0 x x f 0 x 例例 3 3 证明函数 在点连续 但不可导 yx0 x 证明 在处 因此 00 x yx0 0 x 0 x0 x limylim x 所以函数 在点连续 yx0 x 又 x x lim x y lim 0 x0 x 而1 x x lim x x lim x y lim 00 x00 x00 x 1 x x lim x x lim x y lim 00 x00 x00 x 因此 不存在 所以函数 在点不可导 x y lim 0 x yx0 x 注 出现尖点不可导 本堂本堂课课小小结结 主要内容 主要内容 两个引例 导数的定义 导数的几何意义 函数可导与连续的关系 两个引例 导数的定义 导数的几何意义 函数可导与连续的关系 重点 重点 1 1 导数的定义 导数的定义 2 2 用导数的定义求函数在某点的导数 用导数的定义求函数在某点的导数 3 3 导数的几何意义 导数的几何意义 难难点 点 1 1 导数的定义 导数的定义 2 2 函数可导与连续的关系 函数可导与连续的关系 x y o xy 第二节 导数的基本公式与运算法则 教学内容教学内容 导数的基本公式 四则运算求导法则 求导法则应用举例 教学目的教学目的 使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用 教学重点教学重点 1 导数的基本公式 2 四则运算求导法则 教学难点教学难点 公式的应用 教学时数教学时数 2学时 教学进程教学进程 一 导数的基本公式一 导数的基本公式 提问 1 导数可以由哪一个极限式子表示 2 根据导数的定义求函数的导数有哪几步 3 导函数与函数在某点导数之间有什么关系 例例 1 求函数且的导数 0 log axy a 1 a 解解 x x xx x xxx x y y a x aa xx log lim log log limlim 000 x a x a x x x x xx x 1 00 1 loglimlog 1 lim xx x x a x x 1 0 1 limlog ax e x a ln 1 log 1 由此得到 ax x a ln 1 log 特别 x x 1 ln 1 罗列导数基本公式 为任意常数 为实数 0 CC 1 xx 特别 1 0 ln aaaaa xxxx ee 特别 1 0 ln 1 log aa ax x a x x 1 ln xxcos sin xxsin cos x x x 2 2 sec cos 1 tan x x x 2 2 csc sin 1 cot xxxtansec sec xxxcotcsc csc 2 1 1 arcsin x x 2 1 1 arccos x x 2 1 1 arctan x x 2 1 1 cot x xarc 注 要求学生默记约 5 分钟 2 分析部分基本公式特征 课堂练习 在下列空格处填上适当的函数使等式成立 1 答案 0 2 答案 x x2 1 3 答案 0 2 4 答案 ln x x 1 5 答案 0 2 ln 6 答案 1 2 x 3 2 x 7 答案 2 1 x 2ln 2 1 x 二 导数的四则运算法则二 导数的四则运算法则 定理定理 设函数与在点处可导 则它们的和 差 函数 xuu xvv x 在处也可导 且 也就是说 两个可导函数代 xvxu x xvxu xvxu 数和的导数等于各个函数导数的代数和 推广推广 有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和 即 21 xuxuxu n 21 xuxuxu n 例例 2 2 已知 求 xxxfsin 2 x f 解解 xf sin 2 xx sin 2 xxxxcos2 例例 3 3 已知 求及 xexf x arctan x f 0 f 解解 xf arctan xe x arctan xe x 2 1 1 x e x 0 f 011 01 1 2 0 e 定理定理 设函数与在点处可导 则它们的积函数在处 xuu xvv x xvxu x 也可导 且 xvxuxvxuxvxu 此结论也可以推广到有限个函数的积的情形 如推广到三个函数乘积的情况为 xwxvxuxwxvxuxwxvxuxwxvxu 推论推论 为常数 xuCxCu C 例例 4 4 已知 求 xxyln 2 y 解解 lnln ln 222 xxxxxxy x xxx 1 ln2 2 xxx ln2 例 5 已知 求 xxyarctan y 解解 arctanarctan arctan xxxxxxy 2 12 arctan x x x x 例例 6 6 已知 求 2tan3 xxey x y 解解 2 tantan 3 xxxxey x xxxe x2 sectan3 定理定理 设函数与在点处可导 且 则它们的商函数 xuu xvv x0 xv 在处也可导 且 xv xu x 2 xv xvxuxvxu xv xu 推论推论 1 2 xv xv xv 0 xv 例例 7 7 已知 求 x x y ln y 解解 222 ln1 ln 1 ln ln x x x x x x x xxxx y 例例 8 8 设 求 xytan y 解解 x xxxx x x y 2 cos cossincos sin cos sin x xx xxxx 2 22 sec cos 1 cos sinsincoscos 即 x x x 2 2 sec cos 1 tan 例例 9 9 设 求 xysec y 解解 x xy cos 1 sec xx x x x x sectan cos sin cos cos 22 即 xxxtansec sec 例例 1010 求的导数 x x y sin1 sin1 解解 x x y sin1 sin1 2 sin1 cos sin1 sin1 cos x xxxx 2 sin1 cos2 x x 例例 1111 求的导数 xx x yarcsin5 1 1 解解 2 2 1 1 5arcsin5 1 1 x xx x x y 2 2 1 5 arcsin5 1 1 x x x x 例例 1212 求的导数 x xx y 52 3 解解 因为 所以 1 2 1 2 52 xxxy 2 2 3 52 xxxy 例例 1313 求的导数 xx xx ey xx cossin cossin 2 22 解解 因为 所以 xx xx ey xx cossin cossin 2 22 xxeey x22 cscsec2ln 2 说明 四则运算的求导法则除了直接应用公式外 有时需要将表达适当变形后再应用公式 课堂练习 1 推导公式与 x x x 2 2 csc sin 1 cot xxxcotcsc csc 2 求下列函数的导数 答案 xxyln 3 22 ln3xxxy 答案 xy x cot2 xxy xx2 csc2cot2ln2 答案 xxxylncos 3 xxxxxxxxycoslnsinlncos3 232 答案 x x y sin 2 sincos x xxx y 答案 2 2 1 1 x x y 22 1 4 x x y 本堂本堂课课小小结结 主要内容 主要内容 导导数的基本公式 四数的基本公式 四则则运算的求运算的求导导法法则则 重点 重点 1 1 导导数的基本公式 数的基本公式 2 四四则则运算的求运算的求导导法法则则及其及其应应用 用 难难点 点 1 1 四四则则运算求法运算求法则则的的应应用用 作作业业 第三节 复合函数与隐函数的求导法则 教学内容教学内容 复合函数的求导法则 隐函数的求导法则 对数法求导 教学目的教学目的 使学生掌握复合函数与隐函数的求导法则 会熟练地求复合函数与隐函数 的导数 会用对数法求导 教学重点教学重点 1 复合函数的求导法则 2 隐函数求导法则 教学难点教学难点 1 复合函数的求导法则 2 隐函数求导法则 教学时数教学时数 3学时 教学进程教学进程 一 复合函数的求导法则一 复合函数的求导法则 引入 引例引例 1 1 设 求 xy2sin y 解法一解法一 y scosincosn si2 cossin2 2 sinxxxxxxx xxx2cos2 sin cos2 22 解法二解法二 可看作是由与构成的复合函数 通过提问写出xy2sin uysin xu2 复合函数的分解 因此 xux uyy xuxu2cos22cos 2 sin 引例引例 2 2 设 求 2 13 xy y 解法一解法一 y 618 169 13 22 xxxx 解法二解法二 可看作是由与构成的复合函数 通过提问写 2 13 xy 2 uy 13 xu 出复合函数的分解 因此 xux uyy 13 2 xu618 13 66 xxu 分析 上面两个引例虽然所求导数的函数不同 但他们具有共同点 解法一是应用我 们已学的四则运算求导法则 而解法二是通过复合函数分解以后进行求导 并且两个解法 的结果是相同的 由此我们联想是否复合函数都可以用解法二的方法进行求导 我们的回 答是肯定的 下面给出复合函数求导法则 定理定理 设函数由与复合而成 如果函数在 xfy ufy xu xu 点处可导 函数在对应点处可导 则复合函数点处可导 且x ufy u xfy x 或 dx du du dy dx dy xux uyy 即 复合函数关于自变量的导数 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量 的导数 该法则可以推广到有多个中间变量的情形 例如 ufy vu 均是可导函数 则复合函数可导 且 xv xfy dx dv dv du du dy dx dy 例例 1 1 设 求 xycosln dx dy 解解 可看作是由与构成的复合函数 因此xycosln uyln xucos dx du du dy dx dy x x x x u xutan cos sin sin 1 cos ln 例例 2 2 设 求 2 1xy dx dy 解解 可看作是由与构成的复合函数 因此 2 1xy uy 2 1xu dx du du dy dx dy 2 2 1 2 2 1 1 x x x u xu 注 如果计算熟练 可以不设中间变量 直接求复合函数的导数 如例 2 的另一种解 法 以后复合函数求导我们常用下面的方法 另解另解 dx dy 22 2 2 112 2 1 12 1 x x x x x x 课堂练习 1 答案 xy2cos xy2sin2 2 答案 x ey cot x xey cot2 csc 3 答案 2 tanln x y xycsc 4 答案 12 sin 3 xy 12cos 12 sin6 2 xxy 例例 3 3 求函数的导数 2sin 2 eey x 解解 2sin 2 eey x 2sin x e sin 2sin 2 xe x cos 22sin 2 xxe x2sin cos2 2 xxe x 例例 4 4 设 求 xarcxy 1cottan 2 y 解解 1cot tan 2 xarcxy 1cot tan2 xarcx 1 1 1 1 tantan2 2 x x xx 1 12 1 2 1 sectan2 2 x xx xx xx xx 1 2 2 1 sectan2 2 课堂练习 1 答案 xxy4cossin 3 xxxy4sin4cossin3 2 2 答案 xey x 2tan 3 xexey xx 2sec22tan3 233 3 答案 1ln 2 xxy 1 1 2 x y 二 隐函数的导数二 隐函数的导数 1 隐函数的概念 通过图象分析表达式与中与的对应关系 可 2 9xy 0 9 22 yyxxy 以看出都是关于的相同函数 但表现的形式不同 yx 把因变量写成自变量的显式表达式 这样的函数称作显函数 y x xfy 把一个由二元方程所确定的函数称为隐函数 0 yxF xfy 2 介绍隐函数的求导法则的原因 不是任何隐函数都可以转化为显函数 有些隐函数转化为显函数后求导反而更复杂 有些显函数转化为隐函数后求导更简捷 3 隐函数的求导法则 把由所确定的隐函数代入原方程 得到恒等式0 yxF xfy 0 xyxF 在等式两端对求导 把其中的看作中间变量 运用复合函数求导法 得到一个含的xy y 方程 解出 即为所求隐函数的导数 y y 例例 5 5 求由方程所确定的隐函数的导数 0 9 22 yyx xyy y 解解 对方程两端同时关于求导 得9 22 yxx022 yyx 于是得 y x y 例例 6 6 求由方程所确定的隐函数的导数 0 xy exyey y 解解 对方程两端同时关于求导 得0 xy exye x 于是得0 xy eyxyye xe ey y y y 例例 7 7 求曲线在点处的切线方程 xyyx34 33 1 1 解解 对方程两端同时关于求导 得xyyx34 33 x 于是得yxyyyx 33123 22 2 2 4yx yx y 因而切线的斜率为 3 2 1 41 1 1 2 2 1 1 yk 与 与 所以切线方程为 即 1 3 2 1 xy0132 yx 课堂练习 求下列隐函数的导数 1 答案 1cossin xy y x y cos sin 2 答案 0 exye y y ex y y 3 答案 ln yxy 1 1 yx y 三 取对数求导法 三 取对数求导法 由于有些显函数直接求导比较复杂甚至无法用显函数的求导方法 我们可以对其两边 取对数转化为隐函数后再求导 为了求导方便一般采用自然对数 例例 8 8 设 求 x xy y 解解 先对两端同时取自然对数 得 x xy xxylnln 两端同时对求导 得 x x xxy y 1 ln1 1 于是得 ln1 ln1 xxxyy x 例例 9 9 设 求 3 2 2 1 1 xx x y y 解解 对两端取自然对数 得 3 2 2 1 1 xx x y 2ln 3 1 1ln 3 1 1ln 3 2 ln xxxy 两端同时对求导 得 x 2 3 1 1 3 1 1 3 21 xxx y y 即 2 3 1 1 3 1 1 3 2 xxx yy 2 3 1 1 3 1 1 3 2 2 1 1 3 2 xxxxx x 思考 具有什么特征的显函数用取对数法求导较方便 本堂本堂课课小小结结 主要内容 主要内容 复合函数的求导法则 隐函数的求导法则 对数法求导 复合函数的求导法则 隐函数的求导法则 对数法求导 重点 重点 1 1 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 2 2 隐函数求导法则 隐函数求导法则 难难点 点 1 1 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 2 2 隐函数求导法则 隐函数求导法则 作作业业 第四节 高阶导数 教学内容教学内容 高阶导数的概念 表示符号及其求法 教学目的教学目的 使学生理解高阶导数的概念 掌握高阶导数的表示符号及其求法 教学重点教学重点 高阶导数的求法 教学难点教学难点 1 阶导数的求法 隐函数的高阶导数 n 教学时数教学时数 0 5学时 教学进程教学进程 一 高阶导数的概念一 高阶导数的概念 讨论 在变速直线运动中已知物体的位移函数 怎样求物体的加速度 ts 经讨论后得出结论求加速度可以对求两次导数得到 象这样的问题在实际中会经 ts 常遇到 需要多次对一个函数求导数 我们把连续两次或两次以上对某一个函数求导数 所得的结果 称为这个函数的高阶导数高阶导数 如果函数的导数仍是的可导函数 则称的导数为 xfy xfy x x f 的二阶导数 记作 或 xf y x f 2 2 dx yd 2 2 dx fd 类似地 可以定义函数的三阶 四阶 阶导数 它们分别记作 xfy n 或 等等 二阶及二阶以上的导数统称为高高 y 4 y n y 3 3 dx yd 4 4 dx yd n n dx yd 阶导数阶导数 二 高阶导数的求法二 高阶导数的求法 对函数求高阶导数 只需用前面学过的求导方法 对函数多次接连地求导 xfy 即得所求高阶导数 例例 1 1 设函数 求 264 2 xxy y 解解 68 264 2 xxxy 8 68 xy 例例 2 2 设函数 求 3 xey x 0 y 解解 2 3xey x xey x 6 6 x ey 所以 561 0 y 例 例 3 3 设 求 为正整数 n xy n yn 解解 1 nn nxxy 21 1 nn xnnnxy 32 2 1 1 nn xnnnxnny 由此推得 ny n 例例 4 4 设 求 xysin n n dx yd 解解 2 sin cos sin xxx dx dy 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 2 xxx dx yd 2 3 sin 2 2 cos 2 2 sin 3 3 xxx dx yd 由此推得 2 sin n x dx yd n n 例例 5 5 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 1 2 2 2 2 b y a x y y 解解 对方程两边同时求导 得1 2 2 2 2 b y a x x 0 22 22 b yy a x 于是得 ya xb y 2 2 对上式的两端同时关于求导 得 x 24 2222 ya yxbayba y 将代入 得 ya xb y 2 2 34 22222 2 2 2 2 2 ya xbyab y ya xb xy a b y 因为 将代入 得1 2 2 2 2 b y a x 222222 baxbya 32 4 ya b y 说明 求隐函数的二阶导数 只需要在用隐函数求导方法求出隐函数的一阶导数后 继续 y 用隐函数求导方法对求导即可 此时需注意与都是的函数 xy y x 本堂本堂课课小小结结 主要内容主要内容 高阶导数的概念 表示符号及其求法 高阶导数的概念 表示符号及其求法 重点 重点 高阶导数的求法 高阶导数的求法 难难点 点 1 阶导数的求法 隐函数的高阶导数 阶导数的求法 隐函数的高阶导数 n 作作业业 第五节 函数的微分 教学内容教学内容 微分的概念 微分的几何意义 可导与可微的关系 微分的基本公式与运 算法则 一阶函数微分的形式不变性 教学目的教学目的 使学生理解函数微分的概念及其几何意义 了解函数可导与可微之间的关 系 掌握微分的基本公式与运算法则 理解一阶函数微分的形式不变性 教学重点教学重点 1 微分的概念 2 微分的基本公式与运算法则 3 一阶函数微分的形式 不变性 教学难点教学难点 1 微分的概念 2 可导与可微的关系 3 一阶函数微分的形式不变性 教学时数教学时数 2学时 教学进程教学进程 一 微分的概念及其几何意义一 微分的概念及其几何意义 1 微分的概念 引例 一个正方形金属薄片受热膨胀 其边长由变到 如图所示 面积 0 xxx0 相应地有一个改变量 S 2 0 2 0 2 0 x xx2x xx S 分析 含有两项 第一项是的线性函S xx2 0 x 数 图中斜线部分 第二项是当时比 2 x 0 x 高阶的无穷小量 因此 当很小时 面积的改x x S 变量可以近似地用来代替 S xx2 0 一般地 对于函数 当自变量在有 x fy x 0 x 一个改变量时 函数相应的改变量为 x x f xx fy 00 如果可以表示成两部分 第一部分是的线性函数 与无关 第二部y xA x Ax 分是的高阶无穷小 当时 我们将函数增量的线性主部定义为函数 x o x 0 x y 的微分 定义定义 设函数在某区间内有定义 及均在这区间内 如果函数 x fy 0 x 0 xx 在点处的增量可以表示为其中 x f 0 x y x f xx f 00 x oxAy 与无关 是的高阶无穷小 则称函数在点处是可微的 称Ax x o x x fy 0 x 为函数在处的微分 记作 即 xA x fy 0 x 0 xx dy 0 xx dy xA 说明 1 如果在点处可微 则有 x fy 0 x x oxAy 于是 所以 x x o A x y x f 0 x y lim 0 x A x x o Alim 0 x 即函数在点处可导 且 x fy 0 x x fA 0 x x fdy 0 xx 0 2 在中 因此对于任何 这个函数的微分是 所以函数的xy 1 dx dy xxx x 增量与微分相等 即 因此 因而有 因此 x dx dx x fdy 0 xx 0 x f dx dy 0 xx 0 导数我们也称之为微商 3 如果若函数在点处可导 则有根据极限与无穷小量 x fy 0 x x f x y lim 0 0 x 的关系可知 其中是当的无穷小量 于是 x f x y 0 0 x 因为 则有 因此函数xx x fy 0 0 x x lim 0 x x oxAy 在点处可微 且 由 1 与 3 可得以下定理 x fy 0 xdx x fx x fdy 00 xx 0 定理定理 如果函数在点处可微 则函数在点处可导 且 x fy 0 x x fy 0 x 反之 如果若函数在点处可导 则在点处可微 x fA 0 x fy 0 x x fy 0 x 例例 1 1 求函数在处的微分 2 xy 3x 解解 由 得 x2y 632y 3x dx6dy 3x 4 由微分的概念可知 此关系是微分用于近似计算的根据 0 xx dyy 5 如果函数在某区间内每一点都可微 则称是该区间内的可微函数 x fy x f 函数在任意点的微分记为或 即 x fxdy x dfdx x fdy 例例 2 2 设函数 求 与 xsiny dy x dy 1 0 x xdy 解解 xdxcosdxydy 2 x dy dxcos dx 1 0 x xdy 1 0 例例 3 3 求函数的微分 x xey dy 解解 dxe x1 dx xee dx xe dxydy xxxx 2 微分的几何意义 在函数的图象上取两点与 x fy y x P 00 如右图所示 并分别过点与 yy xx P 00 P 点作平行与轴与轴的直线 它们相交于 从图 P xyQ 中可以得到 再过点作曲线xPQ yPQ P 的切线与交于 设的倾角为 则PTQ P RPT 0 xx0 dyx x ftanPQQR 所以函数在点的微分的几何意义是曲线在点处切线 x fy 0 xdx x fdy 0 x fy 纵坐标的改变量 y x P 00 讲授方法 边提问 边作图 边分析 二 微分的基本公式与运算法则二 微分的基本公式与运算法则 根据函数的导数与微分之间的关系 我们可以得到微分的基本公式与运算法则 1 基本初等函数的微分公式 为常数 0dC C 为实数 dxx x d 1 特别 adxlna a d xx dxe e d xx 特别 1a 0a dx alnx 1 x logd a dx x 1 x lnd xdxcos x sind xdxsin x cosd xdxsec x tand 2 xdxcsc x cotd 2 xdxtanxsec x secd xdxcotxcsc x cscd dx x1 1 x arcsind 2 dx x1 1 x arccosd 2 dx x1 1 x arctand 2 dx x1 1 xcotarc d 2 2 函数的微分的四则运算法则 1 dvdu vu d 2 特别 为常数 udvvdu uv d Cdu Cu d C 3 0v v udvvdu v u d 2 3 复合函数的微分法则 设函数与复合而成的函数为 则复合函数的微分为 u fy x u x fy dyy dxf ux dx 其实 因而有 dx x du dydu u f 说明 上式表示 不论是自变量还是中间变量 函数的微分形式总是u u fy 这个性质叫做一阶微分形式的不变性 dydu u f 例例 4 4 设 求 2 x 1 x3y 2 dy 解解 2d x 1 d x3 d2 x 1 x3ddy 22 dx x 1 x6dx x 1 xdx6 22 例例 5 5 设 求 xlnxy dy 解 x lndx x xdln xlnx ddy dx x2 2xln dx x x dx x2 xln 例例 6 6 设 求 x xtan y dy 解解 2 2 2 x dx xtanxsecx x xdxtan x tanxd dy 例例 7 7 设 求 xarcsiny dy 解解 xd x1 1 x arcsinddy dx xx2 1 dx x1x2 1 2 例例 8 8 设 求 xln2xy 2 dy 解解 22 2 ln 2lndyd xxdxdx 1 22 ln 2 ln xdxdx x 1 2 ln xdxdx xx 例例 9 9 设 求 1x2sin x2 ey dy 解解 1x2sin x de e ddy 2 1x2sin x 1x2sin x 22 1x2sin ddx e 2 1x2sin x2 dx 1x2cos 2xdx2 e 1x2sin x2 dx 1x2cos x e2 1x2sin x2 例例 1010 设 求 x3cosey x2 dy 解解 22 cos3 cos3 xx dyxd eedx 3 3sin 2 3cos 22 xxdexdex xx xdxexdxe xx 3sin33cos2 22 dxxxe x 3sin33cos2 2 例例 1111 求方程确定的隐函数的微分及导数 222 ayxy2x x fy dy dx dy 解解 对方程两端求微分 得 a d yxy2x d 222 应用微分的运算法则 得0 y d xy2 d x d 22 0ydy2 xdyydx 2xdx2 化简 得dy xy dx yx 于是 所求微分为dx xy xy dy 所求导数为 xy xy dx dy 本堂本堂课课小小结结 主要内容 主要内容 微分的概念 微分的几何意义 可导与可微的关系 微分的基本公式与运算法微分的概念 微分的几何意义 可导与可微的关系 微分的基本公式与运算法 则 一阶函数微分的形式不变性 则 一阶函数微分的形式不变性 重点 重点 1 1 微分的概念 微分的概念 2 2 微分的基本公式与运算法则 微分的基本公式与运算法则 3 3 一阶函