分离参数的材料

如 奇函数f x 在R上为减函数 若对任意的不等式 1 0 x 恒成立 则实数k的取值范围是 0 2 2 xxfkxf 显然结合题意 问题清晰的展现为恒成立 进而变为 1 0 x2 2 xxkx 1 0 x 恒成立 则 x xk 2 1 2 2 1 min x xk 4 设 其中 a 是实数 n 是任意给定的自然数且 n ann xf x x x 121 lg n 2 若当 时有意义 求 a 的取值范围 xf 1 x 分析与解 因为分母 n 是正数 要使得当有意义 分子 xf 1 x 就必须也是正数 并容易看出 可以将 a 分离出来 ann x x x 121 当时 有意义 故有 1 x xf xxx x x x nnn aann 1 1 21 0121 令 只要对在上的最大值 此不等式 xxx nnn x 1 1 21 x 1 成立即可 故我们可以利用函数的最值分离出参数 a 由时 有意义得 1 x xf 由指数函数单 0121 ann x x x xxx nnn a 1 1 21 调性知上式右边的函数的最大值是 xxx nnn x 1 1 21 故 n n nn 121 1 n 1 2 1 a n 1 2 1 8 已知定义在 R 上函数 f x 为奇函数 且在上是增函数 对于任意 求实 0 x R 数 m 范围 使 恒成立 0cos2432cos mmff f x 在 R 上为奇函数 且在上是增函数 f x 在上为增函数 0 又 0cos2432cos mmff 32cos f cos24mmf mmf4cos2 即mm4cos232cos 2cos3cos22 m 2 2cos 3 1 cos2 cos24 cos2 2cos3 2 m m cos2 2 cos2 cos2 cos2 2 cos2 2 cos2 4 令 2 m 4 3 1 cos tt t t 2 即 4 m 在上恒成立 即求在上的最小值 t t 2 3 1 t t ttg 2 3 1 t 2等号成立条件 t 即成立 t ttg 2 2 t 2 3 12 t 22 min tg 4 m4 m 的取值范围为 4 222222 4 14 1 分离变量的分离变量的推广推广 上述讨论的分离变量主要是针对两个变量进行分析 在实际解题过程中 有一部分题目 是关于多个变量的不等式恒成立 不等式存在解的问题 如何处理这种问题 是否有更一般 的分离变量法 下面通过两个例题对该问题进行探讨 例 4 已知函数 设若不等式对任意 1 f xx x xyk 2 2 2 k f x f y k 恒成立 求实数 0 x yk k 分析 这个问题是恒成立问题 不等式中有 3 个变量 由题意不难理解到 由于对左边函数的最值相互影响 因此 对该二元函数可以 2 min 2 2 k f x f y k x y 通过换元或者消元成为一元函数进行求解 由 22 1111 1 22 yxxyk f x f yxyxyxyxy xyxyxyxyxy 只需另 即求的最小值 2 0 4 k txy 22 1 2 0 4 kk g tt t t 原问题等价于恒成立 从 3 个变量转化为了两个变量的 22 2 12 2 0 24 kkk tt tk 恒成立问题 问题得以解决 例 5 函数的定义域为 其中为任意正实数 xfA 2 2 1 1 A xbb Aa bfx axa a b 且 ab 1 写出的单调区间 不必证明 并求函数的最小值 最大值 xfA xfA 2 若其中是正整数 对一切 2 1 1 22 12 22 1 kkIxkkIx kk k 正整数不等式都有解 求的取值范围 k 1 12 kk II fxfxm m 第一问结果 2 min 2 1 AA b fxfab a 2 max 1 AA b fxfa a 分析 第二问 一切 表明对恒成立 有解 表明对有解 不等式有四个变k 12 x x 量 两重含义 通过分析 有解是第一重 恒成立是第二重 1 考虑第一重 三个变量 而三个变量所在函数均是相互独立的 即 12 x x m 222222 12 12 12 22 1 1 1 1 1 1 2 xxbbbb f xxkkf xxkkg mm axaaxa 很明显 上述三个函数的最值相互不影响 由不等式有解得 左边和函数的最小值 右边的最大值 即 1 12max min kk II fxfxm 1 12max minminkk II fxfxm 22 22 1 m kk 2 考虑第二重 两个变量所在不等式恒成立 应用定理 1 1 即可 k m 通过上述两个例题的解析 我们不妨给出一个更广泛的定义 例 1 已知函数设在区间中至少有一个极值点 求133 23 xaxxxf xf 3 2 的取值范围 a 解法 1 利用方程根的分布知识解决 因为 所以 在区间中至少133 23 xaxxxf363 2 axxxf xf 3 2 有一个极值点 即在中至少有一个根 根据方程根的分布0363 2 axxxf 3 2 知识 有 或者 解 得 无解 0 3 2 ff 0 3 0 2 32 01236 2 f f a a 3 5 4 5 a 因此的取值范围是 a 3 5 4 5 观察导函数的特点 可知它过定点 且的两根363 2 axxxf 3 0 0 xf 之积为 1 所以 当的根一个过点或点时 两一个根分别为 0 xf 0 2 0 3 3 1 2 1 显然不在内 3 2 思路 2 利用变量分离思想解决 若导函数在内没有零点 则有以下两种情况 3 2 在内恒成立即在内恒成0363 2 axxxf 3 2 1 2 1 2 1 2 x x x x a 3 2 立 易知当时 所以 此时有 3 2 x 3 5 1 2 1 4 5 x x 4 5 a 在内恒成立即在内恒成0363 2 axxxf 3 2 1 2 1 2 1 2 x x x x a 3 2 立 易知当时 所以 此时有 3 2 x 3 5 1 2 1 4 5 x x 3 5 a 所以 当在区间中有极值点 即或者 xf 3 2 0363 2 axxxf 在内恒成立时 有或者 0363 2 axxxf 3 2 5 3 a 5 4 a 从而 当在区间中至少有一个极值点时 的取值范围是 xf 3 2 a 3 5 4 5 点评 这种解法中 把分离出来以后 转化成了求或者a 1 2 1 2 1 2 x x x x a 在内恒成立的问题 也是学生熟悉的函数基本题型 遇上一 1 2 1 2 1 2 x x x x a 3 2 种解法比较 显得更为简捷 有效率 思路 3 分离变量 建立函数 求给定范围内的函数的值域 解 函数在区间中有极值点 等价于方程在 xf 3 2 0363 2 axxxf 中至少有一个根 转化成函数 要求的取值范围即是要求该 3 2 2 1 2 3 2 x ax x a 函数的值域即可 当时 因此的取值范围是 2 3 x 2 15 5 24 3 x a x a 3 5 4 5 2010 年全国 文科 已知函数 42 32 31 4f xaxaxx 当时 求的极值 1 6 a f x 若在 1 1 上是增函数 求 的取值范围 f xa 解 省略请参考高考答案 因为 2 4 1 331 fxxaxax 所以当时 为增函数当且仅当 1 1 x f x 0fx 即恒大于等于 0 2 4 1 331 xaxax 恒小于等于 010 x 2 331axax 即 分离参变量 2 3310axax a 得 2 2 11 11 3 3 24 a xx x 易知时 的最大值为 2 最小值为 1 1 x 2 11 24 xx 1 4 即 maxmin f xaf x 41 36 a 亦即 的取值范围是a 4 1 3 6 2010 年全国 文科 已知函数 32 331f xxaxx 设 求的单调区间 2a f x 若在区间 2 3 中至少有一个极值点 求 的取值范围 f xa 解 可参见高考标准答案 因为 2 363fxxax 若在中至少有一个极值点 f x 2 3 x 当且仅当方程至少有一个实数根 0fx 所以由分离变量a得 11 2 ax x 由于是对 2 3630 xax 1 xx x 钩函数易知时 总是单调递增 maxmin xax 时 2 3 x x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 f x a 的取值范围是 5 5 3 4 例 4 已知函数的导函数为 3 31f xxax fx 3g xfxax 1 若对一切恒成立 求实数的取值范围 60 x gx 2x a 2 若对满足的一切的值 都有 求实数的取值范围 01a a 0g x x 解 解 1 1 22 33 333fxxag xxaax 6gxxa 即对一切恒成立即对一切恒成立 2 660 xax 2x 6 6ax x 2x 记 则在上恒成立 在上恒大于 0 6 6h xx x 2x ah x 2 6 6h x x 2x 在上单调递增 6 6h xx x 2x min 2 15h xh 15a 2 2 即对一切恒成立 2 333g xxaax 01a 若 则不满足 3x 2 333240g xxaax x 若 则对一切恒成立3x 2 33 3 x a x 01a 2 331 10 33 x x x 若 则对一切恒成立3x 2 33 3 x a x 01a 2 2 33 0330 3 x x x 11x x 综上所述 1 0 3 x 8 设函数是定义在上的增函数 如果不等式对于任 2 1 2 faxxfa 意恒成立 求实数的取值范围 0 1 x a 8 分析 本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意 2 12axxa 恒成立 从而转化为二次函数区间最值求解 0 1 x 解 是增函数对于任意恒成立 f x 2 1 2 faxxfa 0 1 x 对于任意恒成立 2 12axxa 0 1 x 对于任意恒成立 2 10 xaxa 0 1 x 令 所以原问题 2 1g xxaxa 0 1 x min 0g x 又即 min 0 0 20 2 2 2 ga a g xga a 2 min 1 0 1 20 4 2 2 aa a g xaa a 易求得 1a 例例 1 1 已知函数的导函数为 3 31f xxax fx 3g xfxax 1 1 若对一切恒成立 求实数的取值范围 60 x gx 2x a 2 2 若对满足的一切的值 都有 求实数的取值范围 01a a 0g x x 解 解 1 1 22 33 333fxxag xxaax 6gxxa 即对一切恒成立 2 660 xax 2x 学生回答 学生回答 解法 1 即对一切恒成立 6 6ax x 2x 记在上恒成立 6 6h xx x 2x 有在上恒大于 0 2 6 6h x x 2x 即在上单调递增 6 6h xx x 2x min 2 15h xh 15a 可能的陷阱 学生会回答用基本不等式去解决 利用基本不等式解决时要注意适用的条 件 一正 二定 三相等 四检验 会发现取不到等号 另解 另解 由几何画析给出的图象 知在上为增函数 所以及 6 6h xx x h x2x min 2 15h xh 15a 变式变式 1 1 若对一切恒成立 求实数的取值范围 60 x gx 0 x a 解 即对一切恒成立 6 6ax x 0 x 记当且仅当即时 于 66 6 2 6 12xx xx 6 6x x 1x max 12h x 12a 另解 另解 由几何画析给出的图象 知在上为增函数 6 6h xx x h x 1 在上为减函数 所以及 h x 1 0 max 1 12h xh 12a 变式变式 2 2 若对一切恒成立 求实数的取值范围 60 x gx xR a 解 若则恒成立 0 x 2 6660 xax aR 若同变式 1 0 x 12a 若则 0 x 6 612x x 12a 综上所述 12 12 a 学生思考回答 若有错误由学生纠正 在下结论时 也许学生会回答将以上三种情 学生思考回答 若有错误由学生纠正 在下结论时 也许学生会回答将以上三种情 况用集合并起来 这里要重点指出 应该是用集合交起来 况用集合并起来 这里要重点指出 应该是用集合交起来 3 3 即对一切恒成立 2 333g xxaax 01a 同变式 2 的解法 若 则不满足 3x 2 333240g xxaax x 若 则对一切恒成立3x 2 33 3 x a x 01a 2 331 10 33 x x x 若 则对一切恒成立3x 2 33 3 x a x 01a 2 2 33 0330 3 x x x 11x x 综上所述 1 0 3 x 另解 另解 可以用改换变量的方法去考虑 这样会更加简便 即把 看作关于 a 的一次函数 这样就得 2 333g xxaax 2 3 33h ax ax 出 11 0 0 1 0 1 1 030 3 x h x hx 已知函数 若对任意的都有 32 24f xxxx 2 7g xxax 0 x 求实数的取值范围 fxg x a 解 解 即 fxg x 22 3417xxxax 2 248axxx 若 则恒成立 0 x 08 aR 若 则 0 x 8 24ax x 88 242 2412xx xx 又12a 综上所述 12a 一一 与二次函数的性质 单调性 不等式等相联系与二次函数的性质 单调性 不等式等相联系 求解策略 求解策略 利用利用 要使要使成立 只需使函数的最小值成立 只需使函数的最小值恒成立即可 恒成立即可 axf axf min 要使要使成立 只需使函数的最大值成立 只需使函数的最大值恒成立即可恒成立即可 axf axf max 这也是近两年高考考查和应用最多的一种 例例 1 05 湖北理 已知向量 若在区间 1 1 a 2 x1 xax 1tbaxf 上是增函数 求 的取值范围 t 解析 解析 由向量的数量积定义 xf 2 xx 11 xt 3 x 2 xtxt x f 2 3x x2t 若在区间 1 1 上是增函数 则有 0 xf x f 在 1 1 上恒成立 t 2 3xx2 若令 3 xg 2 3xx2 3 1 x 2 3 1 在区间 1 1 上 5 故在区间 1 1 上使 恒成立 max xg 1 gt xg 只需 即可 即 5 t 1 gt 即 的取值范围是 5 t 点评 点评 本题除了用导数反映单调性 还借助了二次函数的性质求出最值 且要注意边界值 的取舍 例例 2 使不等式 对任意的实数都成立 求实数的取值范围 4 x 2 2xa 2xa 解析 解析 注意到不等式的次数较高 应想到构造函数 求导 令 则如果原不等式对任意的实数都成立等价于 xf 4 x 2 2xx min xfa 2 又 4 令 0 解得 0 或 1 x f 3 4xx4 2 x1 x x f xx 的符号及的单调性如下 x f xf x 0 0 0 1 1 1 x f 0 0 xf 无 极 值 极 小 值 因为在 R 上的极值只有一个 故此极小值即为最小值 即 1 xf min xf 1 f 1 即 3 mi