2014挑战中考数学压轴题_强化训练[1]好

目 录 第一部分 压轴题强化训练题 专题训练一 等腰三角形的存在性问题 专题训练二 相似三角形的存在性问题 专题训练三 直角三角形的存在性问题 专题训练四 平行四边形的存在性问题 专题训练五 梯形的存在性问题 专题训练六 面积的存在性问题 专题训练七 相切的存在性问题 专题训练八 线段和差最值的存在性问题 专题训练九 由比例线段产生的函数关系问题 专题训练十 由面积产生的函数关系问题 专题训练十一 代数计算及通过代数计算进行说理问题 专题训练十二 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第二部分 填空题选择题中的动态图形训练题 一 图形的平移 二 图形的翻折 三 图形的旋转 四 三角形 五 四边形 六 圆 七 函数的图象及性质 参考答案 挑战中考数学压轴题 强化训练篇 马学斌 编 这是一本训练题 这本训练题是 挑战中考数学压轴题 系列的第 三本 是供冲刺数学高分和满分的同学在最后一个阶段 训练用的 中考数学压轴题的灵魂是数形结合 数形结合的 精髓是函数 函数的核心是运动变化 中考数学压轴题 的共同特点是题目的情景都是动态的 不同的是在图形 运动变化的过程中 探究的内容不同 这些内容分为三 大类 第一类为函数图象中点的存在性问题 探究在函数的图象上是否存在符合 条件的点 第二类为图形运动中的函数关系问题 这部分压轴题的主要特征是在图形 运动变化的过程中 探求两个变量之间的函数关系 并根据实际情况探求函数 的定义域 第三类为图形运动中的计算说理问题 这部分压轴题的主要特征是先给出 一个图形进行研究 然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化 进而 进行证明 解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变 关系 通过计算进行说理 我们把这三大类的动态题目分为 12 个专题训练 每个专题训练由六个板 块组成 五年扫描 把这个专题训练近五年的 50 份样卷涉及到的地区介绍一 下 专题攻略 简单介绍这个专题的一般解题步骤和策略 针对训练 三 道题目是根据历年的中考压轴题改编的 三年真题 选择三道近三年的中考 题供同学们训练 两年模拟 选择两道近两年的中考模拟题供同学们训练 自编原创 是我们参考近十年的中考题 编制的一道训练题 在选择题和填空题中 也有一些动态图形的题目 我们把这些题目分为 7 个专题 提供给同学们训练 压轴题肯定是有难度的 因此我们在书的后半部分提供了详尽的解答过程 个别题目还提供了多种解法 这个解答过程 保持了 挑战中考数学压轴题 系列的优势和特点 用尽可能多的图形帮助同学们理解题意 专题训练一专题训练一 等腰三角形的存在性问题等腰三角形的存在性问题 典藏回顾 我们收集 解读近 5 年全国各地的中考数学压轴题 以全省 市 统一考试的北京 上海 重庆 山西 陕西 河南 河北 江西 安徽 海南和以市为单位统一考试的江苏 浙江 广东 山东 湖北 湖南 福建 四川 辽宁等地的试题为样本 分析各地考试压 轴题的常见类型 等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题 近五年上海 重庆和江苏 浙江 广东 湖北等省份的部分市考到过这个问题 也是上海各区模拟考试的热点 专题攻略 如果 ABC 是等腰三角形 那么存在 AB AC BA BC CA CB 三种情况 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆 已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线 解等腰三角形的存在性问题 有几何法和代数法 把几何法和代数法相结合 可以使 得解题又好又快 几何法一般分三步 分类 画图 计算 代数法一般也分三步 罗列三边长 分类列方程 解方程并检验 针对训练 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 D 在坐标为 3 4 点 P 是 x 轴正半轴上的 一个动点 如果 DOP 是等腰三角形 求点 P 的坐标 09 上海 24 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 动点 P 以 2 个单位 秒的速度从点 A 出发 沿 AC 向点 C 移动 同时动点 Q 以 1 个单位 秒的速度从点 C 出发 沿 CB 向点 B 移动 当 P Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动 在 P Q 两点移动过程中 当 PQC 为等 腰三角形时 求 t 的值 08 南汇 25 3 如图 直线 y 2x 2 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 点 P 是 x 轴正半轴上的一个动 点 直线 PQ 与直线 AB 垂直 交 y 轴于点 Q 如果 APQ 是等腰三角形 求点 P 的坐 标 三年真题 4 12 临沂 26 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰 三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 5 11 湖州 24 如图 1 已知正方形 OABC 的边长为 2 顶点 A C 分别在 x y 轴的正半 轴上 M 是 BC 的中点 P 0 m 是线段 OC 上一动点 C 点除外 直线 PM 交 AB 的延长 线于点 D 1 求点 D 的坐标 用含 m 的代数式表示 2 当 APD 是等腰三角形时 求 m 的值 3 设过 P M B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E 过点 O 作直线 ME 的垂线 垂 足为 H 如图 2 当点 P 从 O 向 C 运动时 点 H 也随之运动 请直接写出点 H 所经过的 路长 不必写解答过程 图 1 图 2 6 10 南通 27 如图 在矩形 ABCD 中 AB m m 是大于 0 的常数 BC 8 E 为线 段 BC 上的动点 不与 B C 重合 连结 DE 作 EF DE EF 与射线 BA 交于点 F 设 CE x BF y 1 求 y 关于 x 的函数关系式 2 若 m 8 求 x 为何值时 y 的值最大 最大值是多少 3 若 要使 DEF 为等腰三角形 m 的值应为多少 12 y m 两年模拟 7 2012 年福州市初中毕业班质量检查第 21 题 如图 在 ABC 中 AB AC 10 BC 16 DE 4 动线段 DE 端点 D 从点 B 开始 沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动 当端点 E 到达点 C 时运动停止 过点 E 作 EF AC 交 AB 于点 F 当点 E 与点 C 重合时 EF 与 CA 重合 联结 DF 设运动的时 间为 t 秒 t 0 1 直接写出用含 t 的代数式表示线段 BE EF 的长 2 在这个运动过程中 DEF 能否为等腰三角形 若能 请求出 t 的值 若不能 请说 明理由 3 设 M N 分别是 DF EF 的中点 求整个运动过程中 MN 所扫过的面积 8 宁波七中 2012 届保送生推荐考试第 26 题 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上 且 AB 3 BC 直线 y 经过点 C 交 y 轴于点 G 32323 x 1 点 C D 的坐标分别是 C D 2 求顶点在直线 y 上且经过点 C D 的抛物线的解 323 x 析式 3 将 2 中的抛物线沿直线 y 平移 平移后的抛 323 x 物线交 y 轴于点 F 顶点为点 E 顶点在 y 轴右侧 平移后是否 存在这样的抛物线 使 EFG 为等腰三角形 若存在 请求出此时抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 自编原创 9 如图 已知 ABC 中 AB AC 6 BC 8 点 D 是 BC 边上的一个动点 点 E 在 AC 边上 ADE B 设 BD 的长为 x CE 的长为 y 1 当 D 为 BC 的中点时 求 CE 的长 2 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 3 如果 ADE 为等腰三角形 求 x 的值 备用图 备用图 参考答案参考答案 1 因为 D 3 4 所以 OD 5 3 cos 5 DOP 如图 1 当 PD PO 时 作 PE OD 于 E 在 Rt OPE 中 所以 3 cos 5 OE DOP OP 5 2 OE 25 6 OO 此时点 P 的坐标为 25 0 6 如图 2 当 OP OD 5 时 点 P 的坐标为 5 0 如图 3 当 DO DP 时 点 D 在 OP 的垂直平分线上 此时点 P 的坐标为 6 0 第 1 题图 1 第 1 题图 2 第 1 题图 3 2 在 Rt ABC 中 因此 1086 2222 BCABAC 4 cos 5 ACB 在 PQC 中 CQ t CP 10 2t 第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3 如图 1 当时 解得 秒 CPCQ 102tt 10 3 t 如图 2 当时 过点 Q 作 QM AC 于 M 则 CM QPQC 1 5 2 PCt 在 Rt QMC 中 解得 秒 45 cos 5 CMt QCM CQt 25 9 t 如图 3 当时 过点 P 作 PN BC 于 N 则 CN PCPQ 11 22 QCt 在 Rt PNC 中 解得 秒 1 4 2 cos 5102 t CN PCN CPt 80 21 t 综上所述 当 t 为时 PQC 为等腰三角形 秒秒 秒 21 80 9 25 3 10 3 由 y 2x 2 得 A 1 0 B 0 2 所以 OA 1 OB 2 如图 由 AOB QOP 得 OP OQ OB OA 2 1 设点 Q 的坐标为 0 m 那么点 P 的坐标为 2m 0 因此 AP2 2m 1 2 AQ2 m2 1 PQ2 m2 2m 2 5m2 当 AP AQ 时 AP2 AQ2 解方程 2m 1 2 m2 1 得或 所以符合条0m 4 3 m 件的点 P 不存在 当 PA PQ 时 PA2 PQ2 解方程 2m 1 2 5m2 得 所25m 以 42 5 0 P 当 QA QP 时 QA2 QP2 解方程 m2 1 5m2 得 所以 1 2 m 1 0 P 第 3 题图 4 12 临沂 26 1 如图 过点 B 作 BC y 轴 垂足为 C 在 Rt OBC 中 BOC 30 OB 4 所以 BC 2 2 3OC 所以点 B 的坐标为 2 2 3 2 因为抛物线与 x 轴交于 O A 4 0 设抛物线的解析式为 y ax x 4 代入点 B 解得 2 2 3 2 32 6 a 3 6 a 所以抛物线的解析式为 2 332 3 4 663 yx xxx 3 抛物线的对称轴是直线 x 2 设点 P 的坐标为 2 y 当 OP OB 4 时 OP2 16 所以 4 y2 16 解得 2 3y 当 P 在时 B O P 三点共线 2 2 3 当 BP BO 4 时 BP2 16 所以 解得 22 4 2 3 16y 12 2 3yy 当 PB PO 时 PB2 PO2 所以 解得 2222 4 2 3 2yy 2 3y 综合 点 P 的坐标为 2 2 3 第 4 题图 5 11 湖州 24 1 因为 PC DB 所以 因此 1 CPPMMC BDDMMB PM DM CP BD 2 m 所以 AD 4 m 于是得到点 D 的坐标为 2 4 m 2 在 APD 中 22 4 ADm 22 4APm 222 2 44 2 PDPMm 当 AP AD 时 解得 如图 1 2 4 m 2 4m 3 2 m 当 PA PD 时 2 4m 2 44 2 m 解得 如图 2 或 不合题意 舍去 4 3 m 4m 当 DA DP 时 2 4 m 2 44 2 m 解得 如图 3 或 不合题意 舍去 2 3 m 2m 综上所述 当 APD 为等腰三角形时 m 的值为 或 3 2 4 3 2 3 第 5 题图 1 第 5 题图 2 第 5 题图 3 另解 第 2 题解等腰三角形的问题 其中 用几何说理的方法 计算更简单 如图 1 当 AP AD 时 AM 垂直平分 PD 那么 PCM MBA 所以 因此 1 2 PCMB CMBA 1 2 PC 3 2 m 如图 2 当 PA PD 时 P 在 AD 的垂直平分线上 所以 DA 2PO 因此 解得 42mm 4 3 m 3 点 H 所经过的路径长为 思路是这样的 5 4 如图 4 在 Rt OHM 中 斜边 OM 为定值 因此以 OM 为直径的 G 经过点 H 也就是说 点 H 在圆弧上运动 运动过的圆心角怎么确定呢 如图 5 P 与 O 重合时 是点 H 运动的 起点 COH 45 CGH 90 第 5 题图 4 第 5 题图 6 10 南通 27 1 因为 EDC 与 FEB 都是 DEC 的余角 所以 EDC FEB 又因为 C B 90 所以 DCE EBF 因此 即 DCEB CEBF 8mx xy 整理 得 y 关于 x 的函数关系为 2 18 yxx mm 2 如图 1 当 m 8 时 22 11 4 2 88 yxxx 因此当 x 4 时 y 取得最大值为 2 3 若 那么 整理 得 12 y m 2 1218 xx mmm 2 8120 xx 解得 x 2 或 x 6 要使 DEF 为等腰三角形 只存在 ED EF 的情况 因为 DCE EBF 所以 CE BF 即 x y 将 x y 2 代入 得 m 6 如图 2 12 y m 将 x y 6 代入 得 m 2 如图 3 12 y m 第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 3 7 1 4BEt 5 4 8 EFt 2 DEF 中 DEF C 是确定的 如图 1 当 DE DF 时 即 解得 DEEF ABBC 5 4 4 8 1016 t 156 25 t 如图 2 当 ED EF 时 解得 5 4 4 8 t 12 5 t 如图 3 当 FD FE 时 即 解得 即 D 与 B 重合 FEAC DEBC 5 4 10 8 416 t 0t 第 7 题图 1 第 7 题图 2 第 7 题图 3 3 MN 是 FDE 的中位线 MN DE MN 2 MN 扫过的形状是平行四边形 如图 4 运动结束 N 在 AC 的中点 N 到 BC 的距离为 3 如图 5 运动开始 D 与 B 重合 M 到 BC 的距离为 3 4 所以平行四边形的高为 面积为 39 3 44 99 2 42 第 7 题图 4 第 7 题图 5 8 1 4 2 3 C 1 2 3 D 2 顶点 E 在 AB 的垂直平分线上 横坐标为 代入直线 y 5 2 323 x 得 3 2 y 设抛物线的解析式为 代入点 可得 2 53 22 ya x 4 2 3 C 2 3 3 a 所以物线的解析式为 2 2 353 322 yx 3 由顶点 E 在直线 y 上 可知点 G 的坐标为 直线与 y 轴正半323 x 0 2 3 轴的夹角为 30 即 EGF 30 设点 E 的坐标为 那么 EG 2m 平移后的抛物线为 32 3 mm 所以点 F 的坐标为 2 2 3 32 3 3 yxmm 2 2 3 0 32 3 3 mm 如图 1 当 GE GF 时 yF yG GE 2m 所以 2 2 3 32 3 mmm 解得 m 0 或 m 0 时顶点 E 在 y 轴上 不符合题意 3 3 2 此时抛物线的解析式为 2 2 337 3 3 3 322 yx 如图 2 当 EF EG 时 FG 所以 解得 m 0 或 2 3 E x 2 2 3 32 3 3 mmm 3 2 此时抛物线的解析式为 2 2 333 322 yx 当顶点 E 在 y 轴右侧时 FEG 为钝角 因此不存在 FE FG 的情况 第 8 题图 1 第 8 题图 2 9 1 当 D 为 BC 的中点时 AD BC DE AC CE 8 3 2 如图 1 由于 ADC ADE 1 ADC B 2 ADE B 所以 1 2 又因为 AB AC 所以 C B 所以 DCE ABD 因此 即 DCCE ABBD 8 6 xy x 整理 得 x 的取值范围是 0 x 8 2 14 63 yxx 3 如图 1 当 DA DE 时 DCE ABD 因此 DC AB 8 x 6 解得 x 2 如图 2 当 AD AE 时 D 与 B 重合 E 与 C 重合 此时 x 0 如图 3 当 EA ED 时 DAE ADE B C 所以 DAC ABC 因此 解得 86 68 x 7 2 x 第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3 专题训练四专题训练四 平行四边形的存在性问题平行四边形的存在性问题 典藏回顾 平行四边形的存在性问题是中考数学的热点问题 近五年上海 山西 河南 江西和 以市为单位统一考试的江苏 浙江 山东 湖北 福建 四川等省份的部分市考到过这个 问题 也是上海各区模拟考试的热点 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步 第一步寻找分类标准 第二步画图 第三步计算 难点在于寻找分类标准 分类标准寻找的恰当 可以使得解的个数不重复不遗漏 也 可以使计算又好又快 如果已知三个定点 探寻平行四边形的第四个顶点 符合条件的有 3 个点 以已知三 个定点为三角形的顶点 过每个点画对边的平行线 三条直线两两相交 产生 3 个交点 如果已知两个定点 一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 灵活运用向量和中心对称的性质 可以使得解题简便 针对训练 1 如图 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 顶点为 P 若以 A C P M 为顶点的四边形是平行四边形 求点 M 的 坐标 11 金山 24 2 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 M 在这条抛物线上 点 P 在 y 轴上 如果以点 P M A B 为顶点的四边形是平行四 边形 求点 M 的坐标 11 普陀 24 3 将抛物线 c1 沿 x 轴翻折 得到抛物线 c2 如图所示 2 33yx 现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度 平移后得到新抛物线的顶点为 M 与 x 轴的交点从 左到右依次为 A B 将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度 平移后得到新抛物线的顶点 为 N 与 x 轴的交点从左到右依次为 D E 在平移过程中 是否存在以点 A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形 若存在 请求出此时 m 的值 若不存在 请说明理 由 11 江西 24 三年真题 4 11 上海 24 已知平面直角坐标系 xOy 如图 一次函数的图像与 y 轴交 3 3 4 yx 于点 A 点 M 在正比例函数的图像上 且 3 2 yx MO MA 二次函数 y x2 bx c 的图像经过点 A M 1 求线段 AM 的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点 B 在 y 轴上 且位于点 A 下方 点 C 在上述 二次函数的图像上 点 D 在一次函数的图像上 3 3 4 yx 且四边形 ABCD 是菱形 求点 C 的坐标 5 12 福州 21 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开 始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 每秒 2 个单位长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 联结 PQ 点 P Q 分 别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动的时间 为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形 PDBQ 为菱形 若存在 求出 t 的值 若不存在 说明理 由 并探究如何改变点 Q 的速度 匀速运动 使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形 求点 Q 的速度 3 如图 2 在整个运动过程中 求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长 图 1 图 2 6 11 成都 28 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 ABC 的 A B 两个顶点在 x 轴上 顶 点 C 在 y 轴的负半轴上 已知 OA OB 1 5 OB OC ABC 的面积 S ABC 15 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过 A B C 三点 1 求此抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点 过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 F 过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G 再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H 得到矩 形 EFGH 则在点 E 的运动过程中 当矩形 EFGH 为正方形时 求出该正方形的边长 3 在抛物线上是否存在异于 B C 的点 M 使 MBC 中 BC 边上的高为 若存在 7 2 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 两年模拟 7 2012 年从化市初三综合测试 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx 3a 经过 A 1 0 B 0 3 两点 与 x 轴 交于另一点 C 顶点为 D 1 求该抛物线的解析式及点 C D 的坐标 2 经过点 B D 两点的直线与 x 轴交于点 E 若点 F 是抛物线上一点 以 A B E F 为顶点的四边形是平行四边形 求点 F 的坐标 3 如图 2 P 2 3 是抛物线上的点 Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点 求 APQ 的最大面积和此时 Q 点的坐标 图 1 图 2 8 2012 年高安市九年级模拟考试 已知抛物线 的顶点为 A 与 x 轴的交点为 B C 点 B 在点 C 的左 2 2 ya xb 0 ab 侧 1 直接写出抛物线对称轴方程 2 若抛物线经过原点 且 ABC 为直角三角形 求 a b 的值 3 若 D 为抛物线对称轴上一点 则以 A B C D 为顶点的四边形能否为正方形 若 能 请求出 a b 满足的关系式 若不能 说明理由 自编原创 9 如图 已知双曲线与直线 AB 交于 A B 两点 与直线 CD 交于 C D 两点 6 y x 1 求证四边形 ACBD 是平行四边形 2 四边形 ACBD 可能是矩形吗 可能是正方形吗 3 如果点 A 的横坐标为 3 点 C 的横坐标为 m m 0 四边形 ACBD 的面积为 S 求 S 与 m 的之间的关系式 参考答案参考答案 1 由 y x2 2x 3 x 3 x 1 x 1 2 4 得 A 3 0 B 1 0 C 0 3 P 1 4 如图 过 PAC 的三个顶点 分别作对边的平行线 三条直线两两相交的三个交点就是要 求的点 M 因为 AM1 PC AM1 PC 那么沿 PC 方向平移点 A 可以得到点 M1 因为点 P 1 4 先向下平移 1 个单位 再向右平移 1 个单位可以与点 C 0 3 重合 所以 点 A 3 0 先向下平移 1 个单位 再向右平移 1 个单位就得到点 M1 2 1 因为 AM2 CP AM2 CP 那么沿 CP 方向平移点 A 可以得到点 M2 因为点 C 0 3 先向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位可以与点 P 1 4 重合 所以 点 A 3 0 先向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位就得到点 M2 4 1 因为 PM3 AC PM3 AC 那么沿 AC 方向平移点 P 可以得到点 M3 因为点 A 3 0 先向右平移 3 个单位 再向上平移 3 个单位可以与点 C 0 3 重合 所以 点 P 1 4 先向右平移 3 个单位 再向上平移 3 个单位就得到点 M3 2 7 第 1 题图 2 由 y x2 2x 3 x 1 x 3 得 A 1 0 B 3 0 如图 1 当 AB 是平行四边形的对角线时 PM 与 AB 互相平分 因此点 M 与点 P 关 于 AB 的中点 1 0 对称 所以点 M 的横坐标为 2 当 x 2 时 y x2 2x 3 3 此时点 M 的坐标为 2 3 如图 2 图 3 当 AB 是平行四边形的边时 PM AB PM AB 4 所以点 M 的横坐标为 4 或 4 如图 2 当 x 4 时 y x2 2x 3 5 此时点 M 的坐标为 4 5 如图 3 当 x 4 时 y x2 2x 3 21 此时点 M 的坐标为 4 21 第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3 3 抛物线 c1 与 x 轴的两个交点为 1 0 1 0 顶点为 2 33yx 0 3 抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后 顶点 M 的坐标为 与 x 轴的两个交点 3 m 为 AB 2 1 0 Am 1 0 Bm 抛物线 c2在平移的过程中 与抛物线 c1关于原点对称 所以四边形 AMEN 是平行四 边形 如果以点四边形 AMEN 是矩形 那么 AE MN 所以 OA OM 而 OM2 m2 3 所以 1 m 2 m2 3 解得 m 1 如图 第 3 题图 另解 探求矩形 ANEM 也可以用几何说理的方法 在等腰三角形 ABM 中 因为 AB 2 AB 边上的高为 所以 ABM 是等边三角形 3 同理 DEN 是等边三角形 当四边形 ANEM 是矩形时 B D 两点重合 因为起始位置时 BD 2 所以平移的距离 m 1 4 1 当 x 0 时 所以点 A 的坐标为 0 3 OA 3 3 33 4 yx 如图 1 因为 MO MA 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上 点 M 的纵坐标为 3 2 将代入 得 x 1 所以点 M 的坐标为 因此 3 2 y 3 2 yx 3 1 2 13 2 AM 2 因为抛物线 y x2 bx c 经过 A 0 3 M 所以 3 1 2 3 3 1 2 c bc 解得 所以二次函数的解析式为 5 2 b 3c 2 5 3 2 yxx 3 如图 2 设四边形 ABCD 为菱形 过点 A 作 AE CD 垂足为 E 在 Rt ADE 中 设 AE 4m DE 3m 那么 AD 5m 因此点 C 的坐标可以表示为 4m 3 2m 将点 C 4m 3 2m 代入 得 2 5 3 2 yxx 2 3216103mmm 解得或者 m 0 舍去 1 2 m 因此点 C 的坐标为 2 2 第 4 题图 1 第 4 题图 2 5 1 QB 8 2t PD 4 3 t 2 当点 Q 的速度为每秒 2 个单位长度时 四边形 PDBQ 不可能为菱形 说理如下 在 Rt ABC 中 AC 6 BC 8 所以 AB 10 已知 PD BC 当 PQ AB 时 四边形 PDBQ 为平行四边形 所以 即 解得 CQCP CBCA 26 86 tt 12 5 t 此时在 Rt CPQ 中 24 5 CQ 245 6 sin54 CQ PQ CPQ 所以 2416 8 55 BQCBCQ 6BDPQ 因此 BQ BD 所以四边形 PDBQ 不是菱形 如图 1 作 ABC 的平分线交 CA 于 P 过点 P 作 PQ AB 交 BC 于 Q 那么四边形 PDBQ 是菱形 过点 P 作 PE AB 垂足为 E 那么 BE BC 8 在 Rt APE 中 所以 23 cos 5 AE A APt 10 3 t 当 PQ AB 时 即 解得 CQCP CBCA 10 6 3 86 CQ 32 9 CQ 所以点 Q 的运动速度为 第 5 题图 1 321016 9315 3 以 C 为原点建立直角坐标系 如图 2 当 t 0 时 PQ 的中点就是 AC 的中点 E 3 0 如图 3 当 t 4 时 PQ 的中点就是 PB 的中点 F 1 4 直线 EF 的解析式是 y 2x 6 如图 4 PQ 的中点 M 的坐标可以表示为 t 经验证 点 M t 在直 6 2 t 6 2 t 线 EF 上 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长 EF 2 5 第 5 题图 2 第 5 题图 3 第 5 题图 4 另解 第 3 题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数 当 t 2 时 PQ 的中点为 2 2 设点 M 的运动路径的解析式为 y ax2 bx c 代入 E 3 0 F 1 4 和 2 2 得 解得 a 0 b 2 c 6 930 4 422 abc abc abc 所以点 M 的运动路径的解析式为 y 2x 6 6 1 设 OA 的长为 m 那么 OB OC 5m 由 ABC 的面积 S ABC 15 得 m 5 所以点 A B C 的坐标分别为 1 0 5 0 0 5 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 5 代入点 C 0 5 得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x 1 x 5 x2 4 x 5 2 抛物线的对称轴为直线 x 2 设点 E 在对称轴右侧 坐标为 x x2 4 x 5 如图 1 当 E 在 x 轴上方时 EF 2 x 2 EH x2 4 x 5 解方程 2 x 2 x2 4 x 5 得或 舍去 310 x 310 x 此时正方形的边长为 22 10 如图 2 当 E 在 x 轴下方时 EF 2 x 2 EH x2 4 x 5 解方程 2 x 2 x2 4 x 5 得或 舍去 110 x 110 x 此时正方形的边长为 2 10 第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 3 3 如图 3 因为点 B C 的坐标分别为 5 0 0 5 所以 BC 与 x 轴正半轴的夹角为 45 过点 B 作 BM BC 且使得 BM 7 2 过点 M 作 x 轴的垂线 垂足为 N 那么 BMN 是等腰直角三角形 在 Rt BMN 中 斜边 BM 所以 BN MN 7 7 2 因此点 M 的坐标为 2 7 或 12 7 经检验 点 2 7 在抛物线 y x 1 x 5 上 点 12 7 不在这条抛物线上 所以点 M 的坐标是 2 7 另解 第 3 题也可以这样思考 设抛物线上存在点 M 设点 M 的坐标为 x x2 4 x 5 由于 BMN 是等腰直角三角形 BN MN 所以 5 x x2 4 x 5 解得 x 2 或 x 5 与点 B 重合 舍去 所以点 M 的坐标是 2 7 这种解法不需要分情况讨论点 M 的位置 这是因为 当 M 在点 B 的右侧时 方程为 x 5 x2 4