二用数学归纳法证明不等式

第四节第四节 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式 第二讲 导学案用数学归纳法证明不等式 第二讲 导学案 1 知识回顾知识回顾 关于正整数n的命题 相当于多米诺骨牌 我们可以采用下面方法来证明其正确性 10 验证 n取 时命题 即n n 时命题成立 归纳奠基 归纳奠基 20 假设当 时命题成立 证明当 n k 1 时命题 归纳递推 归纳递推 30 由 10 20知 对于一切 n n 的自然数 n 命题 结论 结论 要诀要诀 递推基础 归纳假设 结论写明 二 二 新知探究新知探究 探究 用数学归纳法证明不等式sinsinnn Nn 例例 1 证明贝努力 证明贝努力 Bernoulli 不等式 不等式 如果 x 是实数 且且 x 1 且 x 0 n N n 2 求证 1 x n 1 nx 例例 2 证明 如果 n n为正整数 个正数 12 n a aa 的乘积 12 1 n a aa 那么它们的和 12n aaan 三 三 巩固训练巩固训练 1 证明 222 1111 12 2 23 nN n nn 2 当2n 时 求证 111 1 23 n n 四四 课后作业与训练课后作业与训练 1 1 已知 f n 2n 7 3n 9 存在自然数 m 使得对任意 n N 都能使 m 整除 f n 则最大的 m 的 值为 A 30B 26C 36D 6 2 2 观察下列式子 22222 131151117 1 1 1 222332344 则可归纳出 3 求证 1115 2 1236 nnN nnn 4 4 已知 111 1 23 n SnN n 用数学归纳法证明 2 1 2 2 n n SnnN 5 5 求证 用数学归纳法证明 2 22 n nnN 参考答案参考答案 1 关于正整数n的命题 相当于多米诺骨牌 我们可以采用下面方法来证明其正确性 10 验证 n取第一个值时命题成立 即n n 时命题成立 归纳奠基 归纳奠基 20 假设当 n k 时命题成立 证明当 n k 1 时命题也成立 归纳递推 归纳递推 30 由 10 20知 对于一切 n n 的自然数 n 命题都成立 结论 结论 要诀要诀 递推基础不可少不可少 归纳假设要用到要用到 结论写明莫忘掉莫忘掉 探究探究 当1n 时 上式左边sin 右边 不等式成立 设当 1 nk k 时 不等式成立 即有sinsinkk 那么 当1nk 时 sin 1 k 例例 1 1 证明 1 当 n 2 时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 2 时不等式成立 2 假设 n k k 2 时 不等式成立 即 1 x k 1 kx 当 n k 1 时 因为 x 1 所以 1 x 0 于是 左边 1 x k 1 右边 1 k 1 x 因为 kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当 n k 1 时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立 例例 2 2 证明 当1n 时 有 1 1a 命题成立 设当nk 1 k 时 命题成立 即若k个正数 12 k a aa 的乘积 12 1 k a aa 那么它们的和 12k aaak 那么当1nk 时 已知1k 个正数 121 kk a aaa 满足 121 1 kk a aa a 若1k 个正数 121 kk a aaa 都相等 则它们都是 1 其和为1k 命题成立 若这1k 个正数 121 kk a aaa 不全相等 则其中必有大于 1 的数 也有小于 1 的数 否则与 121 1 kk a aa a 矛盾 不妨设 12 1 1aa 课堂练习课堂练习 1 1证 1 当n 1 时 左边 2 15 1 24 右边 13 2 22 由于 53 42 故不等式成立 2 假设 n k 2 kN k 时命题成立 即 222 1111 12 23kk 则当 n k 1 时 22222 111111 12 23 1 1 kkkk 2 11111111 222 2 1 1 11kkkk kkkkk 即当n k 1 时 命题成立 由 1 2 原不等式对一切 2 nN n 都成立 2 2 1 1 当时 左式右式n 21 1 2 1 2 2 172 当时 不等式成立n2 假设当时 不等式成立 即22nk 111 1 23 k k 则当时 nk 1 11111 1 2311 k kkk 右 右右 右 1 111 1 111 k kk kk k kkk 右 右右 右 当时 不等式成立 nk1 由 可知 对一切 且 不等式都成立 122nNn 课后作业与训练课后作业与训练 1 1 解析 f 1 36 f 2 108 3 36 f 3 360 10 36 f 1 f 2 f 3 能被 36 整除 猜想 f n 能被 36 整除 证明 n 1 2 时 由上得证 设 n k k 2 时 f k 2k 7 3k 9 能被 36 整除 则 n k 1 时 f k 1 f k 2k 9 3k 1 2k 7 3k 6k 27 3k 2k 7 3k 4k 20 3k 36 k 5 3k 2 k 2 f k 1 能被 36 整除 f 1 不能被大于 36 的数整除 所求最大的 m 值等于 36 答案 答案 C C 2 2 解析 11 112 11 1 1 2 3 2 1 1 22 即 12 122 12 1 11 1 1 3 5 3 1 2 1 1 2222 即 1 12 1 1 3 1 2 1 1 222 n n n 归纳为 n N 1 12 1 1 3 1 2 1 1 222 n n n 答案 n N 1 2 1 2 345 2 1 3 333 2 1 3725 3 2 33333333 383594510555 n a a a a aaaa an 3 解析同理 猜想 7 3 答案 8 3 9 3 10 3 5 3 n 3 证明 1 当 n 2 时 右边 11115 34566 不等式成立 2 假设当 2 nk kkN 时命题成立 即 1115 1236kkk 则当 1nk 时 111111 1 1 1 2331323 1 1111111 1233132331 51111 63132331 51111 63333331 5115 3 63316 kkkkkk kkkkkkk kkkk kkkk kk 所以则当 1nk 时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切 2 nnN 均成立 4 4 证明 1 当 n 2 时 2 2 111132 111 234122 S 命题成立 2 假设当 2 nk kkN 时命题成立 即 2 111 11 2322 k k k S 则当 1nk 时 1 1 2 111111 1 23221222 k kkkk S 1111 1 111111 11 2212222222 111 1211 22222 kkkkkk k k kk kkk 所以则当 1nk 时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切 2 nnN 均成立 5 5 证明 1 当 n 1 时 12 221 不等式成立 当 n 2 时 22 222 不等式成立 当 n 3 时 32 223 不等式成立 2 假设当 3 nk