7.4数学归纳法

践行十五字教学策略之路 理论联系实际 抽象到具体 上海中医药大学附属浦江高级中学数学组张园园 一 背景分析 有效教学的理念源于 20 世纪上半叶西方的教学科学化运动 在美国实 用主义哲学和行为主义心理学影响的教学效能核定运动后 引起了世界各国 教育学者的关注 所谓 有效教学 在 教 的方面 就是要不断改进教的方 式 解决课堂教学中存在的低效甚至无效的教学行为 在 学 的方面 就是 要让学生愿学 会学 学会 把课堂变成学生的课堂 发挥学生的主体性 能够切实实现课堂成为学生探究知识的家园 展示才华的舞台 需要借助 15 字教学策略 明目标 重基础 抓规范 盯个体 求效益来实现教学环 节 在十五字方针中第一步也是最重要的一步就是明目标 明目标就如船 只在航行时的指路明灯 教师在课堂上就如学生学习的掌舵者 只有教师 掌握好整体的方向才能引领学生走向正确的方向 明目标就需要教师在备 课时思索目标是什么 需要达到什么程度 如何才能使学生明白及掌握 二 实践过程探究 2 1 实践思索 抽象到具体的转化 2 1 1 明目标 确定重难点 本节课课题为 7 4 数学归纳法 此课题纯属概念课 较为抽象 重 在学生的理解 数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法 它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程 是证明与正整数 有关问题的有力工具 本节课是数学归纳法第一课时 主要是让学生了解 数学归纳法原理 并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题 通 过明确目标之后确定本节课的重难点为数学归纳法中递推思想的理解 2 1 2 明目标 确定教学引入环节 明确重难点之后在教学引入环节 通过 问诊法 教学环节中问题的 设置来引入 第一个问题 通过之前学生做题时留下的疑问思考当时利用仅有的学 习方法得出的结论是否可靠 从而引出学习数学归纳法这节课的目的是为 了什么 可以在接下来的学习中遇到较难求通项公式时 可以利用举特例 的方法先归纳 猜想再利用数学归纳法的证明方法证明结果可靠即可 第二个问题 不可靠又该如何解决 从而引出本节课的第一个知识点 完全归纳法与不完全归纳法也就是本节课需要解决的问题 利用学生刚刚 结束的操作考抽签环节来吸引学生的兴趣 猜箱子里球的颜色 首先给学 生抽签观察每个球的颜色 接着提问如何确定箱子里所有球的颜色 学生 会回答 打开箱子一个个验证 接着再问 数量有限时我们可以进行一一 验证 如果箱子就像哆啦 A 梦的口袋一样即无限时又该如何确定箱子里球 的颜色呢 如果仅凭前几个结果猜测之后的是否可靠呢 不可靠又该如何 解决呢 当遇到无穷问题时学生就会陷入困境 同时让学生对比这两种归 纳的方法各自的优缺点 第一种归纳法一一验证准确可靠但是过程复杂 第二种步骤简单但是结果不一定可靠 这时进行第三个问题的引入及提问 第三个问题 如何来解决无穷问题中步骤可以尽可能简单又能得到可 靠的结果呢 生活当中有没有类似的游戏呢 可以利用简单的步骤就可以 将全部的推翻呢 这时学生就会回答曾经玩过的多米诺骨牌 接下来通过 抖音上的小视频播放 让学生明白数学当中的一些结论来自于生活 同时 引出第四个问题 第四个问题 多米诺骨牌如何被全部推倒 通过学生观看视频 学生 会回答 首先把第一块推倒 接着第二块 第三块 第四块 一直可以推 倒到无穷 同时再问学生从第二块 第三块 第四块 这么说下去也是无 穷的情况 能否简单概括呢 这时有的学生会说取变量 引导学生说出取 变量也就是在概括相同的 一般的情况 也就是任意相邻的两块 第一块 倒下 接着导致第二块倒下 这个也是多米诺骨牌游戏的精髓也是在证明 数学归纳法中的精髓所在 后一个能被推倒是建立在前一个已经被推倒的 前提之下 第五个问题 第一块不倒行不行 显然不行 没有第一步后边的就相 当于空中楼阁 相邻两块第二块是如何被推倒的 相邻两块都被推倒是因 为前一个已经倒下的基础上推倒的第二块 第二块是在前一块的前提之下 也就是在接下来的证明过程中必须用到前一块已经倒下的前提条件 而且 必须保证对任意的 也就是将无穷全部总结归纳出来 不能漏掉任何一种 情况 保证过程的严谨性 在新课引入环节中通过了明确本节课的目标 设置了环环相扣的五个 问题 将抽象的过程一个个剖析解读 剖成利于学生接受的又跟生活具体 相关的小游戏中去 将抽象的数学概念转化成生活中具体的形象的游戏 2 1 3 明目标 确定新课讲解环节 通过之前的新课引入 学生基本已经对数量无穷时如何解决问题 有 了一个大致的思路与方向 接下来利用刚才游戏推倒过程总结出的步骤进 行类比推倒数学归纳法的步骤 本节课在之后的用途是用来证明与正整数有关问题时 对归纳猜想进 行最后的证明 只要学生能够掌握证明方法就可以 而证明步骤也是有明 确步骤的 但是如果只是教会学生步骤的话就会产生机械化的记忆 并没 有达到真正的效果 同时 本节课也是较为抽象的 为何步骤会是如此呢 学生也会产生疑问 产生疑问不理解的基础上也是不利于学生接下来的学 习与解题的 所以针对这个问题 在明确本节课目标的基础上寻求利于学 生接受的方法 所以本节课在讲的过程中 处理数学归纳法证明过程时将 抽象的数学概念融合生活中具体的游戏 将具体的生活联系起来 既能够 方便学生理解过程 又避免了机械化的记忆 在以后的学习中哪怕忘记了 步骤是什么 只要根据当时的推倒过程及研究办法 依然是可以达到解题 1 1 第一张骨牌被推 第一张骨牌被推 倒 倒 2 2 任一块骨牌倒下 任一块骨牌倒下 相邻的后一项也倒下 相邻的后一项也倒下 1 1 证明当 证明当时命题成立时命题成立 1 n 2 2 假设当 假设当时命题成立 时命题成立 kn 证明当证明当时命题也成立 时命题也成立 1 kn 的效果 而最后的类比 依托于新课引入的问题 并没有只是流于形式 类比之后更加清晰证明步骤 2 1 4 明目标 确定课堂练习环节 通过前边的分析过程发现 在证明过程中容易出现两种错误 1 在证 明时时不依托于的证明过程 也就是没有理解后一块被推倒是1 knkn 因为前一块把它推倒的 2 要利用的证明条件必须发现时与 kn kn 时的关系 基于学生出现的两种问题 设定习题如下 1 kn 1 用数学归纳法证明 2 21 1 1 1 1 n n a aaaanN a 在验证 n 1 成立时 左边计算所得的结果是 A B C D 1a 2 1aa 23 1aaa 2 已知 则等于 111 1231 f n nnn 1f k A B 1 311 f k k 1 32 f k k C 1111 3233341 f k kkkk D 11 341 f k kk 2 2 实践过程 经过上述的实践思索过程 将本节课的教学设计设计如下 学情分析 学生在学习本节课之前已经简单学习过归纳推理 以及一些 简单的数学证明方法 但学生只是停留在认知阶段 对问题本质没有作更 进一步的研究 特别是在做数列相关题目求通项公式容易利用猜想归纳的 做法 没有办法进行证明 而数学归纳法正为此提供了一种途径 高一 7 学生作为学校特色班 已初步具有了发现和探究问题的能力 这位本 节课学习数学归纳法奠定了一定的基础 但是本节课课程内容较为抽象 而学生在抽象问题中存在一些理解不清晰的问题 教材分析 数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法 它 将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程 是证明与正整数有 关问题的有力工具 本节课是数学归纳法第一课时 主要是让学生了解数 学归纳法原理 并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题 教学目标 1 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数 学命题 2 体会由猜想到证明的数学方法 3 通过对数学归纳法的学习 进一步感受数学来源于生活 并形成严谨的科学 态度和勤于思考 善于观察的学习习惯 教学重难点 重点 1 理解数学归纳法的基本原理 2 掌握数学归纳法证明命题的一般步骤 3 进一步培养严格推理的习惯 难点 数学归纳法中递推思想的理解 教 学 过 程 教学内容教师活动学生活动设计意图 遗留病症遗留病症 从练习册上曾经通过猜想归纳出的结论 思考这个结论是 否可靠 一 一 新课引入新课引入 问题 1 结论是否可靠 问题 2 盒子里的球都是红色吗 有限无穷时情况怎么确 定 答 完全归纳 结果可靠 不完全归纳 结果不一定可靠 问题 3 有没有办法来解决不完全归纳法存在的问题呢 播放多米诺骨牌的视频 问题 4 怎样才能让多米诺骨牌全部被推倒呢 需具备什 么条件呢 一 第一张牌倒下 二 任意相邻的两张牌 前一张倒下 一定导致后一张倒下 问题 5 第一块骨牌不倒行不行 相邻两块第二块是如何 倒下的 二 新课讲解二 新课讲解 数学归纳法定义 一般地 证明一个与正整数 n 有关的命题 可按下列步骤 引发学生思考 有限时可以确 定可靠的结果 那么无限时怎 么才能确定呢 教师提问 师生通过类比 多米诺骨牌全 部被推倒的原 理证明遗留问 题 教师讲解 学生分组讨 论问题 学生听讲 通过之前问 题引发学生 思考 通过问题的 回答与思考 引入课题启 发学生 概念学生理 1 证明当 n 取第一个值 n0 例如 n0 1 2 时命题 0 nN 成 立 2 假设当 n k k N k n0 时命题成立 证明当 n k 1 时命题也成立 由 1 2 得出结论 三 课堂练习三 课堂练习 例 1 用数学归纳法证明 2 135 21nn 练习巩固 1 用数学归纳法证明 2 21 1 1 1 1 n n a aaaanN a 在验证 n 1 成立时 左边计算所得的结果是 A 1 B 1a C D 2 1aa 23 1aaa 2 已知 则 111 1231 f n nnn 等于 1f k A B 1 311 f k k 1 32 f k k C 1111 3233341 f k kkkk D 11 341 f k kk 四 课堂小结四 课堂小结 数学归纳法的步骤 教师巡视指导两位学生上 台板书 其 他学生通过 类比发现自 己也存在的 问题 解运用 对比发现问 题 五 布置作业五 布置作业完成课后作业 7 4 2 3 实践反思 听从学生的心声 感觉还算成功的是 板书字体规整设计合理 教学结构设计较合理 通顺 开篇利用做过的习题来提问当时利用有限的方法做出来的结果是否可靠 同时 引出数学归纳法及其作用 利用多米诺骨牌的推倒过程猜想归纳数学归纳法的 证明过程 将抽象的证明过程具体到实际生活中的现象去 利用学生接受 学 生对比做题 发现问题所在 教师教的目的是为了学生的学 最后的主体仍然是学生 学生能够掌握本节 课及其思想才是一节好课 而在刚开始引入时 讲的过多留给学生思考的时间 不多 而为了赶进度在刚开始进程也较快 没有考虑到大部分学生是否懂是否 接受就开始了下一环节 而应该多启发等等学生留下思考时间 上课有时担心会因为知识点讲的太多 变得太多学生容易混淆 其实反而 学习的过程就是由清晰到混沌再到清晰 这个混沌的过程就是学生吸收再 接纳的过程是会思考的过程 这一阶段的转化才是转化成学生自己的东西 所以在今后的课堂中更要注意对细节问题的处理 抠内容 抠细节 重升 华 忌蜻蜓点水 由细节之处明白知识间联系 才能做到举一反三 融会 贯通 灵活运用 但是细节多了之后就要注意逻辑关系的梳理 层层递进 层层剥落 有主线有分支 学生才不至于多而混 而教师细节之后的付出 更是需要教师做到多看 多听 多思 三 实践感悟 做到明目标就需要教师 1 在备课时 明教学基本要求总体目标 单 元目标和学生总体发展目标 明课本三维目标和学生发展目标 围绕目标 进行教学重点 难点 2 上课时 根据预设三维目标 牢牢抓住每一个环 节的小目标组织教学 含教师活动与学生活动 为本节课三维目标的实现 打好基础 根据目标和课堂生成的实际问题 不断调整 注重每一部分和 小结部分的反思目标的达成情况 3 在设置作业情况时 围绕学科教学基 本要求 三维目标和学生实际精心设计 精选练习与作业 巩固教学目标 4 辅导时 根据目标的达成情况进行针对性辅导 评价时对目标达成情况 进行及时评价 根据教学目标要求进行命题 从抽象上升到具体是辩证逻辑的重要方法之一 抽象指事物某一方面的本 质规定在思维中的反映 具体指思维对事物各方面的本质规定的完整的反映 科学的认识不仅要求把感性的具体事实作为科学抽象的依据和前提 从具体到 抽象 而且要求从抽象再上升到理性的具体 使对客观事物 抽象