九年级26章用函数观点看一元二次方程-（王富）

26 226 2 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 1 总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 表述何 时方程有两个不等的实根 两个相等的实数和没有实根 2 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 过程与方法 过程与方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体会方程与函数之间的联系 情感态度价值观情感态度价值观 通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数 讨论一元二次方程的根的情况 进一步体 会数形结合思想 教学重点和难点 教学重点和难点 重点重点 方程与函数之间的联系 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 难点难点 二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过程设计教学过程设计 一 问题的提出与解决 一 问题的提出与解决 问题 如图 以 40m s 的速度将小球沿与地面成 30 角的方向击出时 球的飞行路线 将是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高度 h 单位 m 与飞行时间 t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到 15m 如能 需要多少飞行时间 2 球的飞行高度能否达到 20m 如能 需要多少飞行时间 3 球的飞行高度能否达到 20 5m 为什么 4 球从飞出到落地要用多少时间 分析 由于球的飞行高度 h 与飞 行时间 t 的关系是二次函数 h 20t 5t2 所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式 得到关于 t 的一元二次方程 如果方程有 合乎实际的解 则说明球的飞行高度可以达到问题中 h 的值 否则 说明球的飞行高度不 能达到问题中 h 的值 解 1 解方程 15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 当球飞行 1s 和 3s 时 它的高度为 15m 2 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行 2s 时 它的高度为 20m 3 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 球的飞行高度达不到 20 5m 4 解方程 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行 0s 和 4s 时 它的高度为 0m 即 0s 时球从地面飞出 4s 时球落回地面 画出二次函数 h 20t 5t2的图象 观察图象 体会以上问题的答案 从上面可以看出 二次函数与一元二次方程关系密切 由学生小组讨论 总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系 例如 已知二次函数 y x2 4x 的值为 3 求自变量 x 的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即 x2 4x 3 0 反过来 解方程 x2 4x 3 0 又可以看作已知二次函 数 y x2 4 3 的值为 0 求自变量 x 的值 一般地 我们可以利用二次函数 y ax2 bx c 深入讨论一元二次方程 ax2 bx c 0 二 问题的讨论 二 问题的讨论 二次函数 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 0 的图象如图 26 2 2 所示 1 以上二次函数的图象与 x 轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 2 当 x 取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此 你能得出相应的一元二次方 程的根吗 先画出以上二次函数的图象 由图像学生展开讨论 在老师的引导下回答以上的问题 函数的图像 输入 a b c 的值 划出对应的函数的图像 观察图像 说出函数对应方程 的解 可以看出 1 抛物线 y x2 x 2 与 x 轴有两个公共点 它们的横坐标是 2 1 当 x 取公共 点的横坐标时 函数的值是 0 由此得出方程 x2 x 2 0 的根是 2 1 2 抛物线 y x2 6x 9 与 x 轴有一个公共点 这点的横坐标是 3 当 x 3 时 函 数的值是 0 由此得出方程 x2 6x 9 0 有两个相等的实数根 3 3 抛物线 y x2 x 1 与 x 轴没有公共点 由此可知 方程 x2 x 1 0 没有实数 根 总结 一般地 如果二次函数 y 的图像与 x 轴相交 那么交点的横坐标 2 axbxc 就是一元二次方程 0 的根 2 axbxc 三 归纳 三 归纳 一般地 从二次函数 y ax2 bx c 的图象可知 1 如果抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有公共点 公共点的横坐标是 x0 那么当 x x0时 函数的值是 0 因此 x x0就是方程 ax2 bx c 0 的一个根 2 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种 没有公共点 有一个公共点 有两个 公共点 这对应着一元二次方程根的三种情况 没有实数根 有两个相等的实数根 有两 个不等的实数根 由上面的结论 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根 由于作图或观察 可能存在误差 由图象求得的根 一般是近似的 四 例题 四 例题 例 利用函数图象求方程 x2 2x 2 0 的实数根 精确到 0 1 解 作 y x2 2x 2 的图象 图 26 2 3 它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 0 7