汕头市2018年一模理科数学试题及答案

2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 1 页 共 6 页 绝密绝密 启用前试卷类型 启用前试卷类型 A 2018年汕头市普通高考第一次模拟考试 理科数学 本试题卷共 5 页 23 题 含选考题 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 写在试题卷 草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效 3 填空题和解答题的作答 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效 4 选考题的作答 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 答案写在答题卡上对应的答题区 域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知集合 则 1 0Ax x 2 50Bx xx R AB A B C D 0 1 1 5 0 5 2 若实数满足 为虚数单位 则a 1 2 i ai i a A B C D 11 2 2 3 甲 乙两人参加 社会主义核心价值观 知识竞赛 甲 乙两人能荣获一等奖的概率分别为 2 3 和 3 4 且两人是否获得一等奖相互独立 则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是 A 3 4 B 2 3 C 5 7 D 5 12 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 2 页 共 6 页 4 若 则的值为 1 sin 63 2 cos 2 3 A B C D 1 3 7 9 1 3 7 9 5 上海浦东新区 2008 年生产总值约 3151 亿元人民币 如果从此浦东新区生产总值的年增长率为 10 5 求浦东新区最早哪一年的生产总值超过 8000 亿元人民币 某同学为解答这个问题设计了一个程序 框图 如图 1 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了 则此框图中因被污染而看 不到的内容的数学运算式应是 A aab B aa b C naab D n aa b 图 1 图 2 6 汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 如图 2 描述了甲 乙 丙三辆汽车在不 同速度下的燃油效率情况 下列叙述中正确的是 A 消耗 1 升汽油 乙车最多可行驶 5 千米 B 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油最多 C 甲车以 80 千米 小时的速度行驶 1 小时 消耗 10 升汽油 D 某城市机动车最高限速 80 千米 小时 相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 7 平行四边形ABCD中 点在边上 则MA MB 的最2AB 1AD 1AB AD MCD 大值为 A 2B C 0D 3 1 21 O 丙 丙 丙 km h丙 丙 丙 丙 丙 丙 km L丙 丙 丙 丙 丙 丙 丙 80 40 10 15 5 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 3 页 共 6 页 8 函数 sin 0 2 f xx 在区间 4 2 内是增函数 则 A 1 4 f B f x的周期为 2 C 的最大值为 4D 3 0 4 f 9 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上 若三棱锥ABCD O2 BCAB22 AC DABC 体积的最大值为 2 则球O的表面积为 A B C D 8 9 25 39 121 10 已知双曲线的右焦点为 右顶点为 过作的垂线与双 22 22 1 xy ab 0 0 ba 0 F cAFAF 曲线交于 两点 过 分别作 的垂线 两垂线交于点 若到直线的BCBCACABDDBC 距离小于 则双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ac A B 11 1 00 1 C D 22 2 00 2 11 如图 3 画出的是某四棱锥的三视图 网格纸上小正方形 的边长为 1 则该几何体的体积为 A 15B 16 C 50 3 D 53 3 12 已知 f x g x都是定义域为R的连续函数 已知 g x满足 当0 x 时 0g x 恒成立 Rx 都有 g xgx f x满足 Rx 都有 3 3 f xf x 当 3 3 x 时 3 3f xxx 若关于x的不等式 2 g 2 f xg aa 对 33 2 3 2 3 22 x 恒成立 则a的取值范围是 A RB 13 313 3 2424 C 0 1 D 0 1 图 3 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 4 页 共 6 页 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本题共4小题 每小题5分 13 5 1 2 xax x 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 14 已知椭圆的左右焦点是 设是椭圆上一点 在上的投 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 FP 12 FF 1 FP 影的大小恰好为 且它们的夹角为 则椭圆的离心率为 1 FP 6 e 15 若平面区域夹在两条平行直线之间 则当这两条平行直线间的距离最短时 它们 30 230 230 xy xy xy 的斜率是 16 在中 且 边上的中线长为 则的面积是ABC 6 A 2 1 sincos 22 C B BC7ABC 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列的前项和为 且 n an n S 1 2a nN 1 1 1 nn nSnSn n 1 求证 数列为等差数列 并求数列的通项公式 n S n n a 2 设 1 3 1 nn nn ba 求数列的前项和 n bn n T 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 5 页 共 6 页 18 本小题满分 12 分 如图 4 多面体中 面为正方形 二面角ABCDEFABCD2AB 3AE 5DE 的余弦值为 且 EADC 5 5 EFBD 1 证明 平面平面 ABCD EDC 2 求平面与平面所成锐二面角的余弦值 AEFEDC 19 本小题满分 12 分 某厂生产不同规格的一种产品 根据检测标准 其合格产品的质量 y g与尺寸 x mm 之间近似满 足关系式 b c 为大于 0 的常数 按照某项指标测定 当产品质量与尺寸的比在区间 b yc x 9 7 e e 内时为优等品 现随机抽取 6 件合格产品 测得数据如下 尺寸 x mm 384858687888 质量 y g 16 818 820 722 42425 5 质量与尺寸的比 y x 0 4420 3920 3570 3290 3080 290 1 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件 记 为取到优等品的件数 试求随机变量 的分布 列和期望 2 根据测得数据作了初步处理 得相关统计量的值如下表 6 1 lnln ii i xy 6 1 ln i i x 6 1 ln i i y 6 2 1 ln i i x 75 324 618 3101 4 根据所给统计量 求y关于x的回归方程 已知优等品的收益 单位 千元 与的关系为 则当优等品的尺寸z x y20 32zyx x 为何值时 收益的预报值最大 精确到 0 1 z 附 对于样本 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式 ii vu 1 2 in ub va 图 4 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 6 页 共 6 页 分别为 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii vv uuvunvu b vvvnv aubv 2 7182e 20 本小题满分 12 分 已知抛物线的焦点为 直线l交于两点 2 2 0 C xpy p FCBA 1 若直线l过焦点 过点B作x轴的垂线 交直线OA于点 求证 点的轨迹为的FMMC 准线 2 若直线 的斜率为 是否存在抛物线 使得且的面积为 若存l1C2 OAOB kk OAB 16 在 求的方程 若不存在 说明理由 C 21 本小题满分 12 分 已知函数 其中 2 lnf xxx 22 2xaxa 0 a 1 设是的导函数 讨论的单调性 xg xf xg 2 证明 存在 使得恒成立 且在区间内有唯一解 1 0 a0 xf0 xf 1 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑 都没涂黑的视为选做第 22 题 22 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 以坐标原点O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为4cos 1 求曲线 1 C的极坐标方程 2 射线 0 3 与曲线 1 C 2 C分别交于A B两点 异于原点O 定点 2 0M 求 MAB 的面积 23 本小题满分 10 分 选修选修 4 5 不等式选讲不等式选讲 已知函数2 axxf 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 7 页 共 6 页 1 若1 a 求不等式032 xxf的解集 2 关于的不等式3 xxf有解 求实数a的取值范围 x 2018年汕头市普通高考第一次模拟考试 理科数学 参考答案及评分标准 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 题号题号 123456789101112 答案答案ABD B BDACDBCD 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本题共4小题 每小题5分 题号题号 13141516 答案答案40 31 或2 1 2 3 说明 15 题只答一个数不给分 即得 0 分 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 1 法一 nN 2 1 1 nn nSnSnn 1 1 1 nn SS nn 2 分 又 11 2 11 Sa 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 8 页 共 6 页 数列 n S n 是首项为 2 公差为 1 的等差数列 3 分 2 1 1 n S nn n 即 2 n Snn 4 分 当2n 时 1 2 nnn aSSn 当1n 时 1 2a nN 2 n an 6 分 法二法二 1 1 1 nn nSnSn n Q Q 1 1 nnn n SSSn n 即 1 1 nn naSn n 故 21 1 1 2 nn naSnn 得 211 1 2 1 nnn nanaan 化简得 2 分 21 2 nn aa 又由 可知 即 21 2aS 21 2aa 是首项为 2 公差为 2 的等差数列 3 分 n a 4 分 1 1 22 n aann 5 分 22 1 2 n nn Sn n 1 n S n n 1 1 1 1 1 1 nn SS nn nn Q Q 是首项为 2 公差为 1 的等差数列 6 分 n S n 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 9 页 共 6 页 2 法一 解 由 得 1 3 1 2 nn n bn 设数列 1 3 n 的前n项和为 n A 则 1 331 1 32 nn n A 7 分 记 1 2 n n cn 数列 n c的前n项和为 n B 当2 nk kN 时 212 2 21 42 kk cckk 则 2 2 k Bk 当21 nkkN 时 2122 242 kkk BBckkk 1 21 2 n nnk BkN n nk 11 分 323 21 2 321 2 2 n n n n nk TkN n nk 12 分 法二法二 由 1 知 1 3 1 2 nn n bn 设 23 1 2 1 4 1 6 1 2 n n An 则 2341 1 2 1 4 1 6 1 2 n n An 得 8 分 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 nn n An 1 1 1 2 1 2 1 1 1 21 1 n n n n n 1 21 1 2 n n n A 10 分 又 11 分 0121 1 13 1 3333 31 132 n nn n B 12 分 1 1 21 3 1 2 nn nnn SBAn 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 10 页 共 6 页 法三法三 由 1 知 由 1 知 1 3 1 2 nn n bn 8 分 1 1 2 1 21 21 2 nn nnn Q Q 23 1 2 1 22 1 23 1 2 n n An L L 1 13 35 57 1 21 21 2 n nn 10 分 1 1 21 1 2 n n 又 11 分 0121 1 13 1 3333 31 132 n nn n B 12 分 1 1 21 3 1 2 nn nnn SBAn 18 本小题满分 12 分 1 证明 2AD 3AE 5DE 由勾股定理得 ADDE 1 分 又正方形ABCD中ADDC 2 分 且DEDCD AD 面EDC 3 分EDCDC面 DE AD 面ABCD 平面ABCD 平面EDC 4 分 注 第 1 只有一种证明方法 必须前面两个线线垂直ADDE 和ADDC 都出现 下面的 3 4 分才能给分 只写一个 本题只给 1 分 上面一个垂直各占 1 分 2 解 由 知EDC 是二面角EADC 的平面角 5 分 作OECD 于O 则cos1ODDEEDC 2OE 由平面ABCD 平面EDC 平面ABCD 平面EDCCD OE 面EDC得 OE 面ABCD 6 分 第 第 6 6 分给在分给在 OE 2OE 2 上 如果后面上 如果后面 E E 的坐标写对 也可给这的坐标写对 也可给这 1 1 分 分 如图 建立空间直角坐标系 则 2 1 0 A 2 1 0 B 0 1 0 D 0 0 2 E 2 1 2 AE 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 11 页 共 6 页 EF的一个方向向量 2 2 0 DB 7 分 设面AEF的一个法向量 nx y z 则 220 220 n AExyz n DBxy 8 分 取2x 得 9 分 3 2 2 n 注 其他法向量坐标可按比例正确给 比如 注 其他法向量坐标可按比例正确给 比如之类 也是正确的 之类 也是正确的 2 3 1 1 又面EDC一个法向量为 1 0 0 m 10 分 2 17 cos 17 n m n m nm 11 分 设面AEF与面EDC所成二面角为 由 为锐角得 2 17 coscos 17 n m 12 分 注 最后需要根据条件作答案为 注 最后需要根据条件作答案为 正值正值 的说明 只算法向量答案 不做文字说明 扣的说明 只算法向量答案 不做文字说明 扣 1 1 分 分 第 第 2 问解法 问解法 2 7 分DBEF 0 2 2 DBEF0 设面AEF的一个法向量 nx y z 则 8 分 022 022 yxAFn zyxAEn 令 得 9 分 后面步骤相同 2 x 3 2 2 n 第 第 2 问解法 问解法 3 以 D 点建系的解法 求出来的法向量与以上建系的坐标一样 第 第 2 问解法 问解法 4 几何法 几何法 连结 BD 延长 CB 至 G 使得 GB BC 2 连结 GA 并延长交 CD 的延长线于 H 连结 EH 过 C 作的延长线于点 K 连结 BK 5 分HECK B 为 CG 中点 AB CD A 为 GH 中点 HD CD 4 BD GH GH EF H A G E F 共面 6 分 由 1 知 又 CDE面 BCHKBC HKCK GKC面 HK 为所求二面角的一个平面角 8 分GKC 而13 22 EOHOEHHKCRtHOERt 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 12 页 共 6 页 9 分 10 分 13 8 HE HCEO KC 13 174 22 CGKCKG 11 分 17 172 KG KC GKC 为锐角 面AEF与面EDCGKC 所成二面角的锐角余弦值为 12 分 17 172 19 本小题满分 12 分 1 解 由已知 优等品的质量与尺寸的比在区间 9 7 e e 内 即 0 302 0 388 y x 则随机抽取的 6 件合格产品中 有 3 件为优等品 3 件为非优等品 1 分 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件 则取到优等品的件数 2 分0 1 2 3 算对两个给 1 分 03 33 3 6 1 0 20 C C P C 12 33 3 6 9 1 20 C C P C 3 分 21 33 3 6 9 2 20 C C P C 30 33 3 6 1 3 20 C C P C 的分布列为 0 123 P 1 20 9 20 9 20 1 20 4 分 5 分 19913 0123 202020202 E 2 解 对 两边取自然对数得 b yc x 0b c lnlnlnycbx 令 得 且 6 分ln ln iiii vx uy ub va lnac 根据所给统计量及最小二乘估计公式有 7 分 1 2 2 2 1 75 324 6 18 360 271 101 424 660 542 n ii i n i i vunvu b vnv G H K 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 13 页 共 6 页 得 故 8 分 1 18 324 661 2 aubv ln1ac c e 所求 y 关于 x 的回归方程为 9 分 1 2 ye x 由 可知 则 1 2 y e x 20 32ze xx 由优等品质量与尺寸的比 即 10 分 1 2 7 9 97 yexeee x xxx 49 81x 令 7 9tx 2 22 0 32 20 32 0 320 32 ee z ttett 当时 取最大值 12 分 8 57 9 0 32 e tx z 即优等品的尺寸 mm 收益的预报值最大 72 3x z 20 1 证明 依题意得 直线l的斜率k存在 过焦点 BA 故设其方程为 2 p ykx 设点 1122 A x yB xy OA 由 2 2 2 xpy p ykx 得 22 20 xpkxp 则1 2 分 直线 11 1 2 yx OA yxx xp 直线 2 OB xx 3 分 由 1 2 2 x yx p xx 得 1 2 22 xp yx p 4 分 又由直线l的斜率k存在 可得 0 x 故点0 a的轨迹在 xg 的准线 2 p y 上 5 分0 x 证法二 依题意得 直线l的斜率k存在 过焦点 BA 故设其方程为 2 p ykx 设点 1122 A x yB xy OA 由 2 2 2 xpy p ykx 得 22 20 xpkxp 则1 2 分 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 14 页 共 6 页 过点B作x轴的垂线 与 xg 的准线的交点为 而直线 3 分 2 2 p M x 1 1 y OA yx x 将代入直线方程得 即直线也过点 4 分 2 xx OA 11 22 1 22 yxp yxx xp OAM 又由直线l的斜率k存在 可得 0 x 故点0 a的轨迹在 xg 的准线 2 p y 上 5 分0 x 注 因为题目是证明 故没有说明不扣分 0 x 2 解 由已知 设x 设 2 C 4cos 则 1 C 0 3 由 1 C 得 2 C 6 分 由 A 得 B 则 2 0M MAB 7 分 2 axxf 由 1 a 得 032 xxf 8 分 x 9 分 又点 3 xx f 到直线a的距离为 10 分 由得 11 分 故存在抛物线满足条件 12 分 解法二 由已知 设x 设 2 C 4cos 则 1 C 0 3 由 1 C 得 2 C 6 分 2018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 15 页 共 6 页 由 A 得 B 则 2 0M MAB 7 分 2 axxf 由 1 a 得 032 xxf 8 分 直线x在轴上的纵截距为 yb 由 10 2222 121212 1 2 424321216 2 OAB Sbxxpxxx xpppp 分 解得 11 分 故存在抛物线满足条件 12 分 21 本小题满分 12 分 1 解 由已知 函数的定义域为 1 分 xf 0 g xfx 2 1ln xxa 所以 2 分 2 2g x x 2 1 x x 当时 单调递减 3 分 1 0 x 0g x xg 2 证明 由 解得 5 分 fx 2 1ln 0 xxa xxaln1 令 6 分 ln1 2ln2 2 xxxxxxx xxxxxln2 ln1 ln1 22 则0 2 2 01 1 ee 于是 存在 使得 7 分 1 0 ex 0 0 x 令 8 ln1 0000 xuxxa 分 由 知 即 9 分 12 1 0 00 eeuxuau 1 0 0 a 当时 有 0 aa 0 0 000 xxfxf 由 知 在区间上单调递增 fx 1 故 当时 1 0