高考数学---数列经典题型解析

1 高考数学高考数学 数列经典题型解析数列经典题型解析 考点考点 1 1 等差数列与等比数列的通项 求和公式 以及基本性质等差数列与等比数列的通项 求和公式 以及基本性质 考点考点 2 2 证明数列为等差数列或等比数列 证明数列为等差数列或等比数列 考点考点 3 3 数列通项与求和 综合题常结合函数或不等式 数列通项与求和 综合题常结合函数或不等式 考点考点 4 4 数列应用题 数列应用题 1 已知数列 an 满足 a 1 求通项公式 1 11 2 2 nnnn n aaa a 2 已知数列 中 已知 a1 1 求数列 的通项公式 n a n n 1n 2a1 a a n a 3 数列前 n 项和记为 求通项公式 n a n S 1 1 a 1 21 1 nn aSn n a 4 设数列的前项和为 n an22n nn Sa 1 证明 是等比数列 2 求的通项公式 2 1nn aa n a 5 5 20102010 福建 福建 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 11a 46 6aa 则当 n S取最小值时 n 等 于 A 6 B 7 C 8 D 9 6 6 20102010 辽宁理数辽宁理数 已知数列 n a满足 11 33 2 nn aaan 则 n a n 的最小值为 7 7 20102010 湖北文数 湖北文数 已知等比数列 m a 中 各项都是正数 且 1 a 32 1 2 2 aa成等差数列 则 910 78 aa aa A 12 B 12 C 32 2 D32 2 8 8 20102010 北京理数 北京理数 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 9 2009 广东卷 理 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当 1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 10 等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差数列 2 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 11 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 若15 1 1 31 Saq 求数列 n a的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 12 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前n项和为 cnf 数列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少 W w w k s 5 u c o m 13 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 3 14 已知曲线 22 20 1 2 n Cxnxyn 从点 1 0 P 向曲线 n C引斜率为 0 nn k k 的切线 n l 切点为 nnn P xy 求数列 nn xy与的通项公式 1515 设 12 n C CC 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上 且都与直线 3 3 yx 相切 对每一个正整数n 圆 n C都与圆 1n C 相互外切 以 n r表示 n C的半径 已知 n r为递增数列 证明 n r为等比数列 1616 20102010 四川理数 四川理数 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求a3 a5 设bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前n项和Sn 4 解答题前几道训练 17 2010 陕西 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 现位于 A 点北偏东 45 3 B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号 位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20海里的3 C 点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海里 小时 该救援船到达 D 点需要多长时间 18 2010 陕西 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查 测得身 高情况的统计图如下 1 估计该校男生的人数 2 估计该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率 3 从样本中身高在 165 180 cm 之间的女生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 170 180 cm 之间的概率 8 如图 在四棱锥 P ABCD 中 已知 PA 平面 ABCD PB 与平面 ABC 成 60 的角 底面 ABCD 是直角梯形 ABC BAD 90 AB BC AD 2 1 1 1 求证 平面 PCD 平面 PAC 2 在棱 PD 上是否存在一点 使异面直线 AE 与 PB 所成的角的E 余弦值为 3 4 5 参考答案 5 A 6 21 2 7 C 8 C 9 C 10 解 依题意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故 02 2 qq 又0 q 从而 2 1 q 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 从而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 11 1 解 由题设 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS将 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 当 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比数列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 12 解析 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 6 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112 13 解析 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 14 解 1 设直线 n l 1 xky n 联立02 22 ynxx得 0 22 1 2222 nnn kxnkxk 则0 1 4 22 2222 nnn kknk 12 n n kn 12 n n 舍去 w w w k s 5 u c o m 2 2 2 2 2 1 1 n n k k x n n n 即 1 n n xn 1 12 1 n nn xky nnn 16 解 1 由题意 令m 2 n 1 可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1 可得a5 2a3 a1 8 20 2 当n N 时 由已知 以n 2 代替m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则bn 8n 2 即a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令m 1 可得 an 211 2 n aa n 1 2 那么an 1 an 2121 2 nn aa 2n 1 7 82 2 n 2n 1 2n 于是cn 2nqn 1 当q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以q 可得qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 17 解 由题意知 AB 5 3 海里 DBA 90 60 30 DAB 90 45 45 3 ADB 180 45 30 105 在 DAB 中 由正弦定理得 ADB AB DAB DB sinsin DB 60sin45cos60cos45sin 45sin 33 5 105sin 45sin 33 5 sin sin ADB DABAB 310 2 13 13 35 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20海里 3 在 DBC 中 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 300 1 200 2 10 20 900 33 2 1 CD 30 海里 则需要的时间 t 1 小时 答 救援船到达 D 点需要 1 小时 30 30 18 解 1 样本中男生人数为 40 由分层抽样比例为 10 估计全校男生人数为 400 2 由统计图知 样本中身高在 170 185 cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量为 70 所以样本中学 生身高在 170 185 cm 之间的频率 f 0 5 故由 f 估计该校学生身高在 170 185 cm 之间的概率 p 0 5 70 35 3 样本中女生身高在 165 180 cm 之间的人数为 10 身高在 170 180 cm 之间的人数为 4 设 A 表示事件 从样本中身高在 165 180 cm 之间的女生中任取 2 人 至少有 1 人身高在 170 180 cm 之间 则 P A 1 3 2 C CCC 3 2 C C 2 10 2 4 1 4 4 6 2 10 2 6 AP或 19 如图建立空间直角坐标系 平面 与平面成角 Axyz PA ABCDPAABCD60 60PBA 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 3 0 2 0 ABCPD 4 分 1 1 0 0 0 3 1 1 0 ACAPCD 1 1 00AC CD A0 AP CD A ACCD APCD 平面 6CD PAC 又因为平面 平面平面 7 分 CD PCDPCD PAC 2 假设存在点 不妨设 EPEPD 1 0 2 0 1 0 0 3 0 2 3 1 AEADAP 10 分 8 22 43 1 AE 1 0 3 PB 2PB 即 13 分 3 4 AE PB AE PB A 22 3 1 3 4 2 43 1 解之得即这样的点存在 为的第一个四等分点 14 分 1 3 PD 15 n nnnn n n 1n 1n 1nnn 1n 1nn n 1n n n 11 n nn n n 12 331 sin 332 r1 2