高三数学复习资料复习笔记

1 高中数学复习笔记 整理于 2013 8 一 一 函数图象函数图象 1 对称 y f x 与 y f x 关于 y 轴对称 例如 与 关于 y 轴对称 x ay x ay 10 aa且 y f x 与 y f x 关于 x 轴对称 例如 与关于 x 轴对称 2 1 xy 2 1 xy y f x 与 y f x 关于原点对称 例如 与关于原点对称 2 1 xy 2 1 xy y f x 与 y f x 关于 y x 对称 例如 1 y 10 与 y lgx 关于 y x 对称 x y f x 与 y f x 关于 y x 对称 如 y 10 与 y lg x 关于 y x 对称 1 x 注 偶函数的图象本身就会关于 y 轴对称 而奇函数的图象本身就会关于原点对称 例如 图象本身就会关于 y 轴对称 的图象本身就会关于原点对称 2 xy 3 xy y f x 与 y f a x 关于 x 对称 2 a 22 axax 注 求 y f x 关于直线xyc 0 注意此时的系数要么是 1 要么是 1 对称的方程 只需由 x y c 0 解出 x y 再代入 y f x 即可 例如 求 y 2x 1 关于直线 x y 1 0 对称的方程 可先由 x y 1 0 解出 x y 1 y x 1 代入 y 2x 1 得 x 1 2 y 1 整理即得 x 2y 3 0 2 平移 y f x y f x 先向左 0 或向右 0 或向左 0 或向右 时 则f x 在 a 上单调递增 2 1 fmin f a a2 1 2 当x a时 f x x2 x a 1 x 2 a 2 1 4 3 若a 时 则f x 在 单调递减 fmin f a a2 1 2 1 a 当a 时 则f x 在 上最小值为f a 2 1 a 2 1 4 3 综上所述 当a 时 f x 的最小值为 a 2 1 4 3 当 a 时 f x 的最小值为a2 1 2 1 2 1 当a 时 f x 的最小值为 a 2 1 4 3 2 利用均值不等式 3 典例 已知 x y 为正数 且 x 1 求 x的最大值 2 2 2 y 2 1y 分析 x 即设法构造定值 x 1 2 1y 22 1yx 2 12 22 yx 2 2 2 y 故最大值为 2 1 2 2 2 y x 2 2 1 2 2 2 y x 4 23 4 23 注 本题亦可用三角代换求解即设 x cos sin求解 解略 2 y 3 通过求导 找极值点的函数值及端点的函数值 通过比较找出最值 4 利用函数的单调性 典例 求 t的最小值 分析 利用函数 y 在 1 的单调性求解 解略 2 1 3 2 2 tx x 1 5 三角换元法 略 6 数形结合 例 已知 x y 满足 x 求的最值4 22 y 6 5 x y 5 抽象函数的周期问题 已知函数 y f x 满足 f x 1 f x 求证 f x 为周期函数 证明 由已知得 f x f x 1 所以 f x 1 f x f x 1 f x 1 即 f t f t 2 所以该函数是以 2 为最小正周期的函数 解此类题目的基本思想 灵活看待变量 积极构造新等式联立求解 二 圆锥曲线二 圆锥曲线 1 离心率 圆 离心率 e 0 椭圆 离心率 0 e1 2 焦半径 椭圆 PF a ex PF a ex 左加右减 其中 P 为椭圆上任一点 F 为椭圆左焦点 F 为 102012 椭圆右焦点 注 椭圆焦点到其相应准线的距离为c c a 2 双曲线 PF ex a PF ex a 左加右减 其中 P 为双曲线上任一点 F 为双曲线左 10201 焦点 F 为双曲线右焦点 2 4 注 双曲线焦点到其相应准线的距离为 c a c 2 抛物线 抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离 解题中常用 圆锥曲线中的面积公式 F F 为焦点 12 设 P 为椭圆上一点 则三角形 F PF 的面积为 b 21PF F 12 2 tan 2 三角形中利用余弦定理整理即可 注 PF PF cos b 为定值 12 2 2 2 设 P 为双曲线上一点 则三角形 F PF 的面积为 b 21PF F 12 2 cot 2 注 PF PF sin b 为定值 12 2 2 2 附 三角形面积公式 S 底高 absinC r a b c R 为外接圆半径 r 为内切圆半径 2 1 2 1 R abc 42 1 这就是著名的海伦公式 为三角形周长的一半lclblall 三 数列求和三 数列求和 裂项法 若是等差数列 公差为 d 则求时可用裂项 n a0 i a 13221 nn n aa b aa b aa b s 法求解 即 n s d b 13221 111111 nn aaaaaa 11 n aa bn 求导法 典例见高三练习册 p86 例 9 倒序求和 典例见世纪金榜 p40 练习 18 分组求和 求和 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 分析 可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分 组求和 求通项 构造新数列法典例分析 典例见世纪金榜 p30 例 4 构造新数列即可 n a 1 四 向量与直线四 向量与直线 向量 a b c d 垂直的充要条件是 ac bd 0 向量 a b c d 平行的充要条件是 ad bc 0 附 直线 A x B y C 0 与直线 A x B y C 0 垂直的充要条件是 A A B B 0 1112221212 直线 A x B y C 0 与直线 A x B y C 0 平行的充要条件是 A B A B 0 1112221221 向量的夹角公式 5 cos ba ba 注 1 直线的 到角 公式 到的角为 tan 夹角 公式为 tan 1 l 2 l 12 12 1kk kk 12 12 1kk kk 到角 可以为钝角 而 夹角 只能为之间的角 2 0 注 2 异面直线所成角的范围 0 2 注 3 直线倾斜角范围 0 注 4 直线和平面所成的角 0 2 注 5 二面角范围 0 注 6 锐角 0 2 注 7 0 到的角表示 0 2 2 注 8 第一象限角 2k 2k 2 附 三角和差化积及积化和差公式简记 S S S C S S C S C C C C C C S S 五 集合五 集合 1 集合元素个数的计算 card A card A card B card C card A card CB B CB card CA card ABC 结合图形进行判断可更为迅速 2 从集合角度来理解充要条件 若 AB 则称 A 为 B 的充分不必要条件 即小的可推出大的 此 时 B 为 A 的必要不充分条件 若 A B 则称 A 为 B 的充要条件 经纬度 六 二项展开式系数 六 二项展开式系数 C C C C 2 其中 C C C 2 C C C 2 0 n 1 n 2 n n n n0 n 2 n 4 n 1 n1 n 3 n 5 n 1 n 例 求 2 3x 展开式中 100 1 所有项的系数和 2 奇数项系数的和 3 偶数项系数的和 6 方法 只要令 x 为 1 或 1 即可 七 离散型随机变量的期望与方差七 离散型随机变量的期望与方差 E a b aE b E b b D a b a D D b 0 2 D E E 2 2 特殊分布的期望与方差 0 1 分布 期望 E p 方差 D pq 二项分布 期望 E np 方差 D npq 注 期望体现平均值 方差体现稳定性 方差越小越稳定 八 圆系 直线系方程八 圆系 直线系方程 经过某个定点 的直线即为一直线系 可利用点斜式设之 k 为参数 00 yx 一组互相平行的直线也可视为一直线系 可利用斜截式设之 b 为参数 经过圆 f x y 与圆 或直线 g x y 的交点的圆可视为一圆系 可设为 f x y g x y 0 此方程不能代表 g x y 0 或f x y g x y 0 此方程不 能代表 f x y 0 附 回归直线方程的求法 设回归直线方程为 bx a 则 b y n i i n i ii xnx xynyx 1 2 2 1 a b y x 九 立体几何 一 九 立体几何 一 1 欧拉公式 V F E 2 只适用于简单多面体 利用欧拉公式解题的关键是列出 V F E 之间的关系式 棱数 E 每个顶点出发的棱数之和 每个面的边数之和 常用 2 1 2 1 2 长方体的三度定理 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和 推论 A 若对角线与各棱所成的角为 则 cos cos cos 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 B 若对角线与各面所成的角为 则 7 cos cos cos 2 sin sin sin 1 2 2 2 2 2 2 3 三角形 四心 重心 三边中线交点 垂心 三边高线交点 内心 角平分线交点 内切圆圆心 外心 垂直平分线交点 外接圆圆心 若三角形为正三角形 则以上 四心 合称 中心 引申 若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等 则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心 若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等 则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心 若三棱锥三条侧棱两两垂直 则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 若该三棱锥为正三棱锥 则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心 4 经度纬度 九 立体几何 二 九 立体几何 二 一 共 的问题 1 多点共线 先证其中两点确定一条直线 然后其余点均在该直线上 举例 正方体 ABCD A1B1C1D1中 设线段 A1C 与平面 ABC1D1交于 Q 证 B Q D1共线 2 多线共点 先证两直线共点 其余的过该点 举例 三个平面两两相交于三条直线 求证 三条交线共点 或互相平行 3 多线共面 先找到两条确定一个平面 然后证其它的均在平面内 举例 四条直线两两相交 不共点 求证 四条直线共面 二 角 的问题 1 异面直线所成角 0 90 采用平移转化法 构造一个含 的三角形 由余弦定理求得 请自己补充例子 这个很重要 2 直线与平面所成角 0 90 关键是找射影 最后通过垂线 斜线 射影来求所成角 举 例 求正四面体的侧棱与底面所成的角 3 二面角 0 180 关键是作二面角 方法有定义法 作棱的垂面 三垂线定理和公式法 S cos S 举例 求正四面体的相邻两侧面所成角 arccos 1 3 三 距离 的问题 1 点面距 可通过定义法或等体积法 举例 边长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 A 点到平 面 A1BD 的距离 a 3 3 2 线面距 转化为点面距 举例 边长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 A1B 到平面 B1CD 的 1 距离 a 3 3 8 3 异面直线间距离 一些较特殊的 难度不要太大 比如求正四面体对棱间的距离 举a 2 2 例 边长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 A1B 与 B1D1的距离 a 3 3 4 球面距 它是球面上两点间的最短距离 求解的步骤 1 计算线段 AB 的长 2 计算 A B 所对的球心角 用弧度角表示 3 计算球大圆在 AB 间的劣弧 举例 设地球半径为 R 在北纬 45 圈上有 A B 两地 沿此纬度圈上 A B 两地间的劣弧长为 R 求 AB 间的球面距 R 4 2 3 注意 1 在求距离过程中 要体现先证角 把所要的角给找出来 后求角这两个步骤 2 要灵活把握点面距 线面距 线线距 注意 两异面直线间的距离就等于分别过这两条 直线的平行平面间的距离 面面距间的转化使用 四 垂直 的问题 1 平面内证明两直线垂直的方法 a 勾股定理 b 等腰三角形的三线合一 c 直径所对的圆周角 d 垂径定理 e 直二角的性质 f 棱形 正方形的对角线互相垂直 g 平行直线中一条垂直于第三条直线 则另一条也与第三条垂直 2 线面垂直的判定 1 线线垂直 线面垂直 knmnkmkPnm 2 线面垂直 线面垂直 nmnm 3 直二面角的性质 mlmml 4 三垂线定理 注意 以上几种方法 实质乃是转化思想 在解题中 要把握它们相互间的转化应用 切不可死 记硬背 举例 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 D1B1的中点 求证 EF 平面 B1AC 例子自己再补充 3 面面垂直 1 定义法 求证二面角为 90 2 一平面过另一平面的垂线 举例 直线 a b 是异面直线 a 平面 b 平面 a b 求证 4 三垂线定理 1 cos PAB cos PAC cos CAB 2 PAC 相当于斜线与平面所成角 9 3 PBC 相当于二面角 4 定理 APlABClACl 平面 5 逆定理 AClABClAPl 平面 6 垂线段最短 前提是自平面外同一个点引的所有线段中 7 最小角定理 涉及到不等问题时要想到这里 五 个数 的问题 1 空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面 个 7 个 2 过直线外一点有 个平面与该直线平行 无数个 3 一直线与一平面斜交 则平面内有 条直线与该直线平行 0 4 3 条两两相交的直线可以确定 个平面 1 个或 3 个 5 过空间一点 与两异面直线都平行的平面有 条 0 或 1 6 3 个平面可以把空间分 个部分 4 或 6 或 7 或 8 7 两两相交的 4 条直线最多可以确定 个平面 6 个 8 两异面直线成 60 的角 问过空间一点与它们都成 30 45 60 80 的角的直线有 条 1 2 3 4 六 克服思维定势 区分平面与空间的问题 1 在空间中错误的命题 1 垂直于同一条直线的两直线平行 2 平行于同一直线的两平面平行 3 平行于同一平面的两直线平行 4 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直 有无数条 5 两个不同平面内的两条直线叫做异面直线 正确 不同在任何平面内的两条直线 6 一直线与一平面内无数条直线垂直 则该直线与这个平面垂直 无数条应改成所有的才是正确 的 2 正确的命题 1 平行于同一条直线的两条直线平行 2 垂直于同一条直线的两个平面平行 3 两平面平行 若第三个平面与它们相交且有两条交线 则两直线平行 4 两相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线垂直于第三个平面 七 正多面体 的问题 1 正四面体 请掌握相关的推导方法 1 每对对棱都是成 90 的异面直线 中点连线即为公垂线 2 两异面直线间的距离为a 此时设 a 为正四面体棱长 2 2 3 体积为 此时设 a 为正四面体外接正方体边长 即四面体的四个顶点刚好和正方体的某四 3 3 1 a 个顶点重合 结合课本 P53 第 8 题图形 4 外接球的半径为 a 为四面体的边长 a 4 6 10 5 内切球的半径为 a 为四面体的边长 a 12 6 6 相邻两面的二面角为 3 1 arccos 7 以各棱中点为顶点可以得到正八面体 则正八面体的棱长为 a 为正四面体边长 a 2 1 2 正八面体 1 若它是以正方体和各面中心为顶点得到的 则正方体的边长为 a a 为正八面体的边2 长 2 其体积为 即为外接正方体体积的 a 为正八面体的边长 3 3 2 a 6 1 3 相邻两面所成的二面角为 3 1 arccos 附 简易逻辑之 否定词 所谓否定 即事物的对立面 原词 0 或sinB A B 对吗 32 一般说来 周期函数加绝对值或平方 其周期减半 如的周期都是 但xyxysin sin 2 xxycossin 33 函数是周期函数吗 都不是 xyxyxycos sin sin 2 34 正弦曲线 余弦曲线 正切曲线的对称轴 对称中心你知道吗 35 在三角中 你知道 1 的变形吗 xxxx 2222 tanseccossin1 xx cottan 这些统称为 1 的代换 常数 1 的代换有着广泛的应用 0cos 2 sin 4 tan 36 在三角的恒等变形中 要特别注意角的各种变换 如 等 222 37 你还记得三角化简题的要求是什么吗 项数最少 函数种类最少 分母不含三角函数 且能求出 值的式子 一定要算出值来 38 你还记得三角化简的通性通法吗 从函数名 角 运算三方面进行差异分析 常用的技巧有 切割化弦 降幂公式 用三角公式转化出特殊角 异角化同角 异名化同名 高次化低次 39 你能说出所有特殊角的任意三角函数值吗 几个常用的角的三角函数值你知道吗 4 15 18sin 4 26 15cos75sin 4 26 75cos15sin 40 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗 lrSrl 2 1 扇形 41 辅助角公式 其中角所在的象限由 a b 的符号确定 xbaxbxasincossin 22 14 角的值由确定 在求最值 化简时起着重要作用 a b tan 42 在用反三角函数表示直线的倾斜角 两向量的夹角 两条异面直线所成的角等时 你是否注意到 它们各自的取值范围及意义 异面直线所成的角 线面所成的角 二面角的取值范围依次是 0 2 0 2 0 直线的倾斜角 到的角 与的夹角的取值范围依次是 1 l 2 l 1 l 2 l 2 0 0 0 向量的夹角的取值范围是 0 43 若对吗 a b AbaR 0 b a b b ca c AAAa b Ab c A 0 0 或 0 呢 哪些是对的 哪些是错的 ac a b A a b a b c A a b c A 44 若 则 的充要条件是什么 11 ax y 22 bxy a b Aab 45 共线向量模相等是否等价于向量相等 46 在已知向量长度求两向量夹角时注意用此关系整体求得数量积 2 2 aa a b A 47 若与的夹角 且 为钝角 则 cos 0 焦点的弦交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 则 y1y2 p2 x1x2 AB x1 x2 p 79 若 A x1 y1 B x2 y2 是二次曲线 C F x y 0 的弦的两个端点 则 F x1 y1 0 且 F x2 y2 0 涉及弦的中点和斜率时 常用点差法作 F x1 y1 F x2 y2 0 求得弦 AB 的中点坐标与弦 AB 的斜率的关 系 80 作出二面角的平面角主要方法是什么 定义法 三垂线法 垂面法 三垂线法 一定平面 二 作垂线 三作斜线 射影可见 81 求点到面的距离的常规方法是什么 直接法 体积变换法 向量法 82 你知道三垂线定理的关键是什么吗 一面四直线 立柱是关键 垂直三处见 83 立体几何中常用一些结论 正四面体的体积公式 V 记住了吗 面积射影定理 立平斜关系 3 2 12 a 式 最小角定理等你熟悉吗 84 异面直线所成角利用 平移法 求解时 一定要注意平移后所得角是所求角或其补角 85 平面图形的翻折 立体图形的展开等一类问题 要注意翻折 展开前后有关几何元素的 不变量 与 不变性 86 棱锥的顶点在底面的射影何时为底面的内心 外心 垂心 重心 87 解排列组合问题的依据是 分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合 88 解排列组合问题的规律是 元素分析法 位置分析法 相邻问题捆绑法 不邻问题插空法 多 排问题单排法 定位问题优先法 多元问题分类法 有序分配问题法 选取问题先排后排法 至多至 少问题间接法 89 二项式定理中 系数最大的项 项的系数的最大值 项的二项式系数的最大值 是同一个概 念吗 90 求二项展开式各项系数代数和的有关问题中的 赋值法 转化法 求特定项的 通项公式法 结