四川省乐山市2016年高考数学“解析几何”备考分析

1 四川省乐山市 2016年高考数学“解析几何”备考分析 一、考试说明解读 本部部分在高考中的考查主要包括直线的方程、两条直线的平行与垂直、相交、点到直线的距离、对称问题、圆的标准方程和一般方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程、简单的几何性质等，理科还有曲线与方程。 二、近三年四川卷高考解析几何部分试题的分析与说明 （ 1）题型与分值 试卷名称 选择题 填空题 解答题 合 计 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 2013 年 1 5 1 5 1 13 3 23 2014 年 1 5 1 5 1 13 3 23 2015 年 2 10 0 0 1 13 3 23 （ 2）四川卷高频考点分布 四川卷选择题高频考点分布 年份 考查的知识点 13 年 理科考查抛物线、双曲线的定义、方程、几何性质、点到直线的距离。文科考查抛物线的方程和简单的几何性质、点到直线点距离公式，椭圆的定义、方程、几何性质，直线与椭圆相交问题。 14 年 文理科均考查抛物线的定义及方程、向量的数量积、夹角公式、同角三角函数的商数关系、三角形面积公式、 重要不等式以及数形结合的数学思想，分析问题与解决问题的能力。文科考查直线的定点、两直线的垂直关系、圆的有关知识、三角函数的极值。 15 年 文理科均考查双曲线的定义及渐近线、 直线与抛物线的交点及弦的中点的问题，“点差法”、不等式 .、 数形结合的数学思想，分析问题与解决问题的能力。 。 四川卷填空题高频考点分布 2 年份 考查的知识点 13 年 理科以即时定义为载体，考查多距离几何最值问题，考查抽象的数学语言的阅读理解与推 理论证能力。文科以相交直线为载体，考查距离之和最值问题。 14 年 文理科均考查直线的定点、 两直线的垂直关系、圆的有关知识、三角函数的极值。理科还考查三角函数倍角公式，而文科考查辅助角公式。 15 年 文理科均没考填空题。 四川卷解答题高频考点分布 年份 考查的知识点 13 年 理科考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力运算求解能力；考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。文科考查直线、圆、函数、不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程等数学思想，并考查思维的严谨性。 14 年 理科考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、重要不等式等基础知 识，数学中的待定系数法、设而不解、数形结合、方程、等数学思想、计算能力以及分析问题、解决问题的能力。文科考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、弦长公式、平行四边形面积公式等基础知识，数学中的待定系数法、设而不解、数形结合、方程、等数学思想、计算能力以及分析问题、解决问题的能力 15 年 理科考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，文科 主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识。文理均 考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想 .。 三、近三年新课标卷 考解析几何部分试题的分析与说明 （ 1）题型与分值 试卷 名称 选择题 填空题 解答题 合计 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 2013 年 2 10 0 0 1 12 3 22 2014 年 1 5 1 5 1 12 3 22 2015 年 2 10 0 0 1 12 3 22 说明：上表以理科为标准统计。 （ 2）新课标卷 频考点分布 3 新课标试卷选择题高频考点分布 年份 考查的知识点 13 年 理科考查抛 物线的定义、方程、几何性质、圆、直线方程的基础知识以及数形结合、方程、转化与化归等数学思想，分析问题与解决问题的能力。文科考查椭圆方程的求解，直线与抛物线相交问题。 14 年 文理科均考查抛物线的定义和直角三角形的知识，文科还考查圆的切线、三角形外角知识，以及数形结合的数学思想，分析问题与解决问题的能力。 15 年 理科考查两直线垂直、直角形的外接圆以及弦长，双曲线的离心率。文科考查直线与圆的方程 、两点间的距离公式等基础知识，分析问题与解决问题的能力。 新课标试卷填空题高频考点分布 年份 考查的知识 13 年 文理科均没考填空题。 14 年 理科考查圆的切线、三角形外角知识，以及数形结合思想。文科没考填空题。 15 年 理科没考填空题。文科考查 双曲线的方程、几何性质。 新课标试卷解答题高频考点分布 年份 考查的知识点 13 年 理科考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，数学中的待定系数法、设而不解思想、计算能力以及分析问题、解决问题的能力。文科考查轨迹方程和圆方程的求法。 14 年 文理均考查直线的斜率，椭圆的通径、离心率以及焦半径公式，数形结合、方程等数学思 想、运算求解能力。 15 年 理科考 查直线与椭圆的位置关系，文科考查椭圆方程的、直线与椭圆的位置关系。文理均考查数学中的待定系数法、设而不解思想、计算能力以及分析问题、解决问题的能力。 分析过去三年考题以及 2016 年的四川考试大纲以及全国新课标卷考试大纲，我们可以看到，对这一部分的要求无变化，但是均淡化了双曲线与抛物线部分的要求，实际上间接地加强了椭圆部分的要求，所以复习时应加强对椭圆的定义、性质等基础知识的复习，并做适当 4 的深化训练。同时，应该注意今年是四川自助命题的最后一年，还应关注一下四川考试大纲未作要求，而全国新课标卷考试大纲有所要 求的，即“直线和圆”模块中的“ 在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素”以及 文理科对这一部分要求的差异，并把这些体现到复习中来。 我们沫若中学根据学生基础状况，分为火箭班、实验班、平行班、艺术班及体育班五种不同的层次的班级。对于 2016 年的高考，我们觉得平行班、艺术班及体育班复习应重点应放在椭圆、双曲线、抛物线的方程、几何性质（特别是离心率）。而实验班除以上内容外，还包括直线与圆锥曲线的位置关系（弦长 、中点等） ,火箭班除前面的内容，还包括圆锥曲线的综合问题，即一般以直线和圆锥曲线的位置关 系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题。 考情考向分析 空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质 (特别是离心率 ). 弦长、中点等 ). 3、 参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题 . 4、试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大。 热点一、 圆锥曲线的定义与标准方程 (1)椭圆： | | 2a(2a|； (2)双曲线： | | 2a(2）的左右焦点为12,心率为 33，过2l 交 C 于 A,1周长为 43，则 C 的方程为（ ） A、 22132B、 2 2 13x yC、 22112 8D、 22112 4（ 2）（ 2015 天津）已知双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的一条渐近线经过 （ 2， 3 ），且双曲线的一个焦点在抛物线 2 47的准线上，则双曲线的方程为（ ） A、 22121 28B、 22128 21C、 22134D、 22143热点二、 圆锥曲线的几何性质 1、 椭圆、双曲线中， a,b,c 之间的关系 （ 1） 在椭圆中， 2 2 2a b c，离心率为 21 ( ) （ 2） 在双曲线中， 2 2 2c b a，离心率为 21 ( ) 2、 双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的渐近线为 ，注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系。 例 2、（ 1）若椭圆 ： 221（ ab0）的左、右焦点为12,距为 )y x c与椭圆 的一个交点 M 满足 1 2 2 12M F F M F F ,则该椭圆的离心率等于 。 （ 2）已知双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的左右焦点分别为 12, 1F 作圆2 2 2x y a的切线分别交双曲线左、右两支于点 B、 C,且 2 ,F 则双曲线的渐近线 6 方程为 （ ） A、 3 B、 22 C、 ( 3 1) D、 ( 3 1) 思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a， b， c， e 各量之间的关系是求解问题的关键 . (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c， a， b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围 . 跟踪演练 2 （ 1）设12,21（ ab0）的左、右焦点，若在直线 2存在点 P，使线段1椭圆离心率的取值范围是 ( ) A、 20,2 B、 30,3 C、 2,12D、 3,13（ 2）（ 2015 重庆）设双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 垂线与双曲线交于 B、 C 两点，过 B、 C 分别作 垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 距离小于 22,a a b则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A、 1, 0 0 ,1 U B、 , 1 1 , U C、 2 , 0 0 , 2 U D、 , 2 2 , U 热点三、直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与 圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数 . 例 3、（ 2015 江苏改编）如图，在平面直角坐标系 ， 椭圆 221（ ab0）的离心率为 22 ，且右焦点 F 到直线 l: 2ax c 的距离为 3. (1) 求椭圆的标准方程； 7 (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 垂直平分线分别交直线 l 和 点 P， C，若 | 2|求直线 思维升华 解决直线与圆锥曲线 问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解 . 跟踪演练 3 （ 1） (2015 四川 )过双曲线 22 13的右焦点，且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A, 于（ ） A、 433B、 23 C、 6 D、 43 (2)已知椭圆 E：椭圆 221（ ab0）的右焦点 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于椭圆于 A, 中点为（ 1， 则 E 的方程为（ ） A、 22145 36B、 22136 27C、 22127 18D、 22118 9热点四、 例 1、（ 2015 重庆）如图，椭圆 ： 221（ ab0）的左、右焦点为12,2点，且1F。 （ 1） 若1 2 2 , 2 2 2 ,求椭圆的标准方程； （ 2）若1 ,F且 试确定椭圆离心率 e 的取值范围。 思维升华 解决范围问题的常用方法： (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解 . (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 . (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 . 例 2、椭圆 C： 221（ ab0）的离心率为 1,2其左焦点到点 P（ 2， 1） 的距离为 10 。 8 （ 1） 求椭圆的标准方程； （ 2） 若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交 A、 A,且以 直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证 l 过定点，并求出该定点的坐标。 思维升华 (1)动直线 l 过定点问题解法：设动直线方程 (斜率存在 )为 y t，由题设条件将 t用 k 表示为 t y k(x m)，故动直线过定点 ( m,0). (2)动曲线 C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 例 3、（ 2015 四川 理） 如图，椭圆 E： 2222+ 1 ( 0 )xy 的离心率是 22 ，过点 P（ 0,1）的动直线 l 与椭圆相交于 A， 直线 l 平 行与 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 22. (1)求椭圆 E 的方程； （ 2）在平面直角坐标系 ，是否存在与点 P 不同的 定点 Q，使得 B恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 思维升华 解决探索性问题的注意事项： 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论， 若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 . (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论 . (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 . (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 高考押题精练 1、已知双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的一条渐近线上有两点 A,B，若直线 l 的方程为 20，且 AB l ，则椭圆 221的离心率为（ ） A、 14B、 12C、 22D、 32押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点 . 2、已知椭圆 C： 221（ ab0）的离心率为 12，且点 (1,32)在该椭圆上。 9 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 相交于 A,若 的面积为 627。求圆心在原