全等三角形拔高题目附带答案

1 14 全等三角形提高练习全等三角形提高练习 1 如图所示 ABC ADE BC 的延长线过点 E ACB AED 105 CAD 10 B 50 求 DEF 的度数 2 如图 AOB 中 B 30 将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 52 得到 A OB 边 A B 与边 OB 交于点 C A 不在 OB 上 则 A CO 的度数为多少 3 如图所示 在 ABC 中 A 90 D E 分别是 AC BC 上的点 若 ADB EDB EDC 则 C 的 度数是多少 4 如图所示 把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 35 得到 A B C A B 交 AC 于点 D 若 A DC 90 则 A 5 已知 如图所示 AB AC AD BC 于 D 且 AB AC BC 50cm 而 AB BD AD 40cm 则 AD 是多少 6 如图 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 分别过点 B C 作过点 A 的垂线 BC CE 垂足分别为 D E 若 BD 3 CE 2 则 DE E F A C B D C A O B A B B A C D E D B B C A A DA C B B D E C A 2 14 7 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB DF AC 垂足分别是 E F 连接 EF 交 AD 于 G AD 与 EF 垂直吗 证明你的结论 8 如图所示 在 ABC 中 AD 为 BAC 的角平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F ABC 的面积是 28cm2 AB 20cm AC 8cm 求 DE 的长 9 已知 如图 AB AE B E BAC EAD CAF DAF 求证 AF CD 10 如图 AD BD AD BC 于 D BE AC 于 E AD 与 BE 相交于点 H 则 BH 与 AC 相等吗 为什么 11 如图所示 已知 AD 为 ABC 的高 E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 求 证 BE AC 12 DAC EBC 均是等边三角形 AF BD 分别与 CD CE 交于点 M N 求证 1 AE BD 2 CM CN 3 CMN 为等边三角形 4 MN BC G BC A D E F BC A D E F CD A B E F H BC A D E F BC A D E NM AB D E C 3 14 13 已知 如图 1 点 C 为线段 AB 上一点 ACM CBN 都是等边三角形 AN 交 MC 于点 E BM 交 CN 于 点 F 1 求证 AN BM 2 求证 CEF 为等边三角形 14 如图所示 已知 ABC 和 BDE 都是等边三角形 下列结论 AE CD BF BG BH 平分 AHD AHC 60 BFG 是等边三角形 FG AD 其中正确的有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 15 已知 BD CE 是 ABC 的高 点 F 在 BD 上 BF AC 点 G 在 CE 的延长线上 CG AB 求证 AG AF 16 如图 在 ABC 中 BE CF 分别是 AC AB 两边上的高 在 BE 上截取 BD AC 在 CF 的延长线上截取 CG AB 连结 AD AG 求证 1 AD AG 2 AD 与 AG 的位置关系如何 17 如图 已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 点 F 在 BC 上 且 DAE FAE 求证 AF AD CF 18 如图所示 已知 ABC 中 AB AC D 是 CB 延长线上一点 ADB 60 E 是 AD 上一点 且 DE DB 求证 AC BE BC H G F AD C E B E BC A G D F H F BC A G E D A BC D E F D A B C E 4 14 19 如图所示 已知在 AEC 中 E 90 AD 平分 EAC DF AC 垂足为 F DB DC 求证 BE CF 20 已知如图 AB DE 直线 AE BD 相交于 C B D 180 AF DE 交 BD 于 F 求证 CF CD 21 如图 OC 是 AOB 的平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 于 D PE OB 于 E F 是 OC 上一点 连接 DF 和 EF 求证 DF EF 22 已知 如图 BF AC 于点 F CE AB 于点 E 且 BD CD 求证 1 BDE CDF 2 点 D 在 A 的平分线上 23 如图 已知 AB CD O 是 ACD 与 BAC 的平分线的交点 OE AC 于 E 且 OE 2 则 AB 与 CD 之间的 距离是多少 24 如图 过线段 AB 的两个端点作射线 AM BN 使 AM BN 按下列要求画图并回答 画 MAB NBA 的平分线交于 E 1 AEB 是什么角 2 过点 E 作一直线交 AM 于 D 交 BN 于 C 观察线段 DE CE 你有何发现 3 无论 DC 的两端点在 AM BN 如何移动 只要 DC 经过点 E AD BC AB AD BC CD 谁成立 并说明 理由 A E C D F B C B D A E F A B CF O P D E D A C B F E B D A C O E M N A B E D C 5 14 25 如图 ABC 的三边 AB BC CA 长分别是 20 30 40 其三条角平分线将 ABC 分为三个三角形 则 S ABO S BCO S CAO等于 26 正方形 ABCD 中 AC BD 交于 O EOF 90 已知 AE 3 CF 4 则S BEF为多少 27 如图 在 Rt ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 点 D 是 AB 的中点 AF CD 于 H 交 BC 于 F BE AC 交 AF 的延长线于 E 求证 BC 垂直且平分 DE 28 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 的位置时 求证 DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请直接写出这个等 量关系 CA B O O AD BC E F P E F BC A E D M 图 1 A C N E D N 图 2 A C B D E M D N 图 3 A C B M E 6 14 1 解 ABC AED D B 50 ACB 105 ACE 75 CAD 10 ACE 75 EFA CAD ACE 85 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 同理可得 DEF EFA D 85 50 35 2 根据旋转变换的性质可得 B B 因为 AOB 绕点 O 顺时针旋转 52 所以 BOB 52 而 A CO 是 B OC 的外角 所以 A CO B BOB 然后代入数据进行计算即可得解 解答 解 A OB 是由 AOB 绕点 O 顺时针旋转得到 B 30 B B 30 AOB 绕点 O 顺时针旋转 52 BOB 52 A CO 是 B OC 的外角 A CO B BOB 30 52 82 故选 D 3 全等三角形的性质 对顶角 邻补角 三角形内角和定理 分析 根据全等三角形的性质得出 A DEB DEC ADB BDE EDC 根据邻补角定义求出 DEC EDC 的度数 根据三角形的内角和定理求出即可 解答 解 ADB EDB EDC A DEB DEC ADB BDE EDC DEB DEC 180 ADB BDE EDC 180 DEC 90 EDC 60 C 180 DEC EDC 180 90 60 30 4 分析 根据旋转的性质 可得知 ACA 35 从而求得 A 的度数 又因为 A 的对应角是 A 即可 求出 A 的度数 解答 解 三角形 ABC 绕着点 C 时针旋转 35 得到 AB C ACA 35 A DC 90 A 55 A 的对应角是 A 即 A A A 55 故答案为 55 点评 此题考查了旋转地性质 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置 移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 旋转前后图形的大小和形状没有改变 解题的关键是正确确定 对应角 5 因为 AB AC 三角形 ABC 是等腰三角形 所以 AB AC BC 2AB BC 50 BC 50 2AB 2 25 AB 又因为 AD 垂直于 BC 于 D 所以 BC 2BD BD 25 AB AB BD AD AB 25 AB AD AD 25 40 AD 40 25 15cm 6 解 BD DE CE DE D E BAD BAC CAE 180 又 BAC 90 BAD CAE 90 在 Rt ABD 中 ABD BAD 90 7 14 ABD CAE 在 ABD 与 CAE 中 ABD CAE D E AB AC ABD CAE AAS BD AE AD CE DE AD AE DE BD CE BD 3 CE 2 DE 5 7 证明 AD 是 BAC 的平分线 EAD FAD 又 DE AB DF AC AED AFD 90 边 AD 公共 Rt AED Rt AFD AAS AE AF 即 AEF 为等腰三角形 而 AD 是等腰三角形 AEF 顶角的平分线 AD 底边 EF 等腰三角形的顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高的重合 简写成 三线合一 8 AD 平分 BAC 则 EAD FAD EDA DFA 90 度 AD AD 所以 AED AFD DE DF S ABC S AED S AFD 28 1 2 AB DE AC DF 1 2 20 DE 8 DE DE 2 9AB AE B E BAC EAD 则 ABC AED AC AD ACD 是等腰三角形 CAF DAF AF 平分 CAD 则 AF CD 10 解 AD BC ADB ADC 90 CAD C 90 BE AC BEC ADB 90 CBE C 90 CAD CBE AD BD BDH ADC ASA BH AC 11 解 1 证明 AD BC 已知 BDA ADC 90 垂直定义 1 2 90 直角三角形两锐角互余 在 Rt BDF 和 Rt ADC 中 Rt BDF Rt ADC H L 2 C 全等三角形的对应角相等 8 14 1 2 90 已证 所以 1 C 90 1 C BEC 180 三角形内角和等于 180 BEC 90 BE AC 垂直定义 12 证明 1 DAC EBC 均是等边三角形 AC DC EC BC ACD BCE 60 ACD DCE BCE DCE 即 ACE DCB 在 ACE 和 DCB 中 AC DC ACE DCB EC BC ACE DCB SAS AE BD 2 由 1 可知 ACE DCB CAE CDB 即 CAM CDN DAC EBC 均是等边三角形 AC DC ACM BCE 60 又点 A C B 在同一条直线上 DCE 180 ACD BCE 180 60 60 60 即 DCN 60 ACM DCN 在 ACM 和 DCN 中 CAM CDN AC DC ACM DCN ACM DCN ASA CM CN 3 由 2 可知 CM CN DCN 60 CMN 为等边三角形 4 由 3 知 CMN CNM DCN 60 CMN MCB 180 MN BC 13分析 1 由等边三角形可得其对应线段相等 对应角相等 进而可由 SAS 得到 CAN MCB 结论得证 2 由 1 中的全等可得 CAN CMB 进而得出 MCF ACE 由 ASA 得出 CAE CMF 即 CE CF 又 ECF 60 所以 CEF 为等边三角形 解答 证明 1 ACM CBN 是等边三角形 AC MC BC NC ACM 60 NCB 60 在 CAN 和 MCB 中 AC MC ACN MCB NC BC CAN MCB SAS AN BM 2 CAN CMB CAN CMB 又 MCF 180 ACM NCB 180 60 60 60 MCF ACE 在 CAE 和 CMF 中 CAE CMF CA CM ACE MCF CAE CMF ASA CE CF CEF 为等腰三角形 又 ECF 60 CEF 为等边三角形 点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题 能够掌握并熟练运用 9 14 14考点 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 旋转的性质 分析 由题中条件可得 ABE CBD 得出对应边 对应角相等 进而得出 BGD BFE ABF CGB 再由边角关系即可求解题中结论是否正确 进而可得出结论 解答 解 ABC 与 BDE 为等边三角形 AB BC BD BE ABC DBE 60 ABE CBD 即 AB BC BD BE ABE CBD ABE CBD AE CD BDC AEB 又 DBG FBE 60 BGD BFE BG BF BFG BGF 60 BFG 是等边三角形 FG AD BF BG AB BC ABF CBG 60 ABF CGB BAF BCG CAF ACB BCD CAF ACB BAF 60 60 120 AHC 60 FHG FBG 120 60 180 B G H F 四点共圆 FB GB FHB GHB BH 平分 GHF 题中 都正确 故选 D 点评 本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题 能够熟练掌握 15 考点 全等三角形的判定与性质 分析 仔细分析题意 若能证明 ABF GCA 则可得 AG AF 在 ABF 和 GCA 中 有 BF AC CG AB 这两组边相等 这两组边的夹角是 ABD 和 ACG 从已知条件中可推出 ABD ACG 在 Rt AGE 中 G GAE 90 而 G BAF 则可得出 GAF 90 即 AG AF 解答 解 AG AF AG AF BD CE 分别是 ABC 的边 AC AB 上的高 ADB AEC 90 ABD 90 BAD ACG 90 DAB ABD ACG 在 ABF 和 GCA 中 BF AC ABD ACG AB CG ABF GCA SAS AG AF G BAF 又 G GAE 90 度 BAF GAE 90 度 GAF 90 AG AF 点评 本题考查了全等三角形的判定和性质 要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题 考查学生对几何知识的理解和掌握 运用所学知识 培养学生逻辑推理能力 范围较广 16 1 证明 BE AC AEB 90 ABE BAC 90 10 14 CF AB AFC AFG 90 ACF BAC 90 G BAG 90 ABE ACF BD AC CG AB ABD GCA SAS AG AD 2 AG AD 证明 ABD GCA BAD G GAD BAD BAG G BAG 90 AG AD 17 过 E 做 EG AF 于 G 连接 EF ABCD 是正方形 D C 90 AD DC DAE FAE ED AD EG AF DE EG AD AG E 是 DC 的中点 DE EC EG EF EF Rt EFG Rt ECF GF CF AF AG GF AD CF 18 因为 角 EDB 60 DE DB 所以 EDB 是等边三角形 DE DB EB 过 A 作 BC 的垂线交 BC 于 F 因为 ABC 是等腰三角形 所以 BF CF 2BF BC 又 角 DAF 30 所以 AD 2DF 又 DF DB BF 所以 AD 2 DB BF 2DB 2BF 2DB BC AE ED 2DB BC 其中 ED DB 所以 AE DB BC AE BE BC 19 补充 B 是 FD 延长线上一点 ED DF 角平分线到两边上的距离相等 BD CD 角 EDB FDC 对顶角 则三角形 EDB 全等 CDF 则 BE CF 或者补充 B 在 AE 边上 ED DF 角平分线到两边上的距离相等 DB DC 则两直角三角形 EDB 全等 CDF HL 即 BE CF 20 解 AF DE D AFC B D 180 AFC AFB 180 11 14 B AFB AB AF DE AFC 和 EDC 中 B AFB ACF ECD 对顶角 AF DE AFC EDC CF CD 21 证明 点 P 在 AOB 的角平分线 OC 上 PE OB PD AO PD PE DOP EOP PDO PEO 90 DPF EPF 在 DPF 和 EPF 中 PD PE DPF EPF PF PF SAS DPF EPF DF EF 22 考点 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 分析 1 根据全等三角形的判定定理 ASA 证得 BED CFD 2 连接 AD 利用 1 中的 BED CFD 推知全等三角形的对应边 ED FD 因为角平分线上的点 到角的两边的距离相等 所以点 D 在 A 的平分线上 解答 证明 1 BF AC CE AB BDE CDF 对顶角相等 B C 等角的余角相等 在 Rt BED 和 Rt CFD 中 B C BD CD 已 知 BDE CDF BED CFD ASA 2 连接 AD 由 1 知 BED CFD ED FD 全等三角形的对应边相等 AD 是 EAF 的角平分线 即点 D 在 A 的平分线上 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 常用的判定方法有 ASA AAS SAS SSS HL 等 做题 时需灵活运用 23考点 角平分线的性质 分析 要求二者的距离 首先要作出二者的距离 过点 O 作 FG AB 可以得到 FG CD 根据角平分线 的性质可得 OE OF OG 即可求得 AB 与 CD 之间的距离 12 14 解答 解 过点 O 作 FG AB AB CD BFG FGD 180 BFG 90 FGD 90 FG CD FG 就是 AB 与 CD 之间的距离 O 为 BAC ACD 平分线的交点 OE AC 交 AC 于 E OE OF OG 角平分线上的点 到角两边距离相等 AB 与 CD 之间的距离等于 2 OE 4 故答案为 4 点评 本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质 作出 AB 与 CD 之间的距离是正确解决 本题的关键 24考点 梯形中位线定理 平行线的性质 三角形内角和定理 等腰三角形的性质 专题 作图题 探究型 分析 1 由两直线平行同旁内角互补 及角平分线的性质不难得出 1 3 90 再由三角形内角和等 于 180 即可得出 AEB 是直角的结论 2 过 E 点作辅助线 EF 使其平行于 AM 由平行线的性质可得出各角之间的关系 进一步求出边之间的 关系 3 由 2 中得出的结论可知 EF 为梯形 ABCD 的中位线 可知无论 DC 的两端点在 AM BN 如何移动 只要 DC 经过点 E AD BC 的值总为一定值 解答 解 1 AM BN MAB ABN 180 又 AE BE 分别为 MAB NBA 的平分线 1 3 1 2 MAB ABN 90 AEB 180 1 3 90 即 AEB 为直角 2 过 E 点作辅助线 EF 使其平行于 AM 如图则 EF AD BC AEF 4 BEF 2 3 4 1 2 AEF 3 BEF 1 AF FE FB F 为 AB 的中点 又 EF AD BC 根据平行线等分线段定理得到 E 为 DC 中点 ED EC 13 14 3 由 2 中结论可知 无论 DC 的两端点在 AM BN 如何移动 只要 DC 经过点 E 总满足 EF 为梯形 ABCD 中位线的条件 所以总有 AD BC 2EF AB 点评 本题是计算与作图相结合的探索 对学生运用作图工具的能力 以及运用直角三角形 等腰三角形 性质 三角形内角和定理 及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求 25 如图 ABC 的三边 AB BC CA 长分别是 20 30 40 其三条角平分线将 ABC 分为三个三角形 则 S ABO S BCO S CAO等于 A 1 1 1B 1 2 3C 2 3 4D 3 4 5 考点 角平分线的性质 专题 数形结合 分析 利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质 可知三个三角形高相等 底分别是 20 30 40 所以面积之比就是 2