余数问题(教师版)

1 8 专业 引领 共成长 预初课程 一 带余除法的定义及性质 一般地 如果 a 是整数 b 是整数 b 0 若有 a b q r 也就是 a b q r 0 r b 我们称上面的除法算式为一个带余除法算式 这里 1 当时 我们称 a 可以被 b 整除 q 称为 a 除以 b 的商或完全商0r 2 当时 我们称 a 不可以被 b 整除 q 称为 a 除以 b 的商或不完全商0r 一个完美的带余除法讲解模型 这是一堆书 共有 a 本 这个 a 就可以理解为被除数 现在要求按照 b 本一捆打包 那么 b 就是除数的角色 经过打包后共打包了 c 捆 那么这 个 c 就是商 最后还剩余 d 本 这个 d 就是余数 二 三大余数定理 1 余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数 等于 a b 分别除以 c 的余数之和 或这个和除以 c 的余数 2 8 专业 引领 共成长 预初课程 例如 23 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 所以 23 16 39 除以 5 的余数等于 4 即两个余数的和 3 1 当余数的和比除数大时 所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数 例如 23 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 所以 23 19 42 除以 5 的余数等于 3 4 7 除以 5 的余数 即 2 2 余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数 等于 a b 分别除以 c 的余数的积 或者这个积除 以 c 所得的余数 例如 23 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1 3 当余数的和比除数大时 所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数 例如 23 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 所以 23 19 除以 5 的余数等于 3 4 除以 5 的余数 即 2 3 同余定理 若两个整数 a b 被自然数 m 除有相同的余数 那么称 a b 对于模 m 同余 用式子表示为 a b mod m 左边的式子叫做同余式 同余式读作 a 同余于 b 模 m 由同余的性质 我们可以得到一个非常重要 的推论 若两个数 a b 除以同一个数 m 得到的余数相同 则 a b 的差一定能被 m 整 除 3 8 专业 引领 共成长 预初课程 用式子表示为 如果有 a b mod m 那么一定有 a b mk k 是整数 即 m a b 例 1 用某自然数去除 得到商是 46 余数是 求和 a1992rar 解析 因为是的倍还多 得到 得 1992a46r19924643 14 1992464314 所以 43a 14r 例 2 甲 乙两数的和是 甲数除以乙数商余 求甲 乙两数 10881132 解析 法 1 因为 甲乙 所以 甲乙乙乙乙 1132 1132 12321088 解析 则乙 甲乙 108832 1288 1088 1000 解析 法 2 将余数先去掉变成整除性问题 利用倍数关系来做 从中减掉 1088 以后 就应当是乙数的倍 所以得到乙数 甲 321056 11 1 10561288 数 1088881000 例 3 一个两位数除 310 余数是 37 求这样的两位数 解析 本题为余数问题的基础题型 需要学生明白一个重要知识点 就是把余数问 题 即 不整除问题 转化为整除问题 方法为用被除数减去余数 即得到 一个除数的倍数 或者是用被除数加上一个 除数与余数的差 也可以得 到一个除数的倍数 4 8 专业 引领 共成长 预初课程 本题中 310 37 273 说明 273 是所求余数的倍数 而 273 3 7 13 所求的 两 位数约数还要满足比 37 大 符合条件的有 39 91 例 4 有两个自然数相除 商是 余数是 已知被除数 除数 商与余数之和1713 为 则被除数是多少 2113 解析 被除数除数商余数被除数除数 17 13 2113 所以被除数除数 2083 由于被除数是除数的 17 倍还多 13 则由 和倍问题 可得 除数 2083 13 17 1 115 所以被除数 2083 115 1968 例 5 有 48 本书分给两组小朋友 已知第二组比第一组多 5 人 如果把书全部分给 第一组 那么每人 4 本 有剩余 每人 5 本 书不够 如果把书全分给第二组 那么 每人 3 本 有剩余 每人 4 本 书不够 问 第二组有多少人 解析 由 知 一组是 10 或 11 人 同理可知 48412 4859 6 48316 知 二组是 13 14 或 15 人 因为二组比一组多 5 人 所以二组只 48412 能是 15 人 一组 10 人 例 6 一个两位数除以 13 的商是 6 除以 11 所得的余数是 6 求这个两位数 解析 因为一个两位数除以 13 的商是 6 所以这个两位数一定大于 并 13 678 且小于 又因为这个两位数除以 11 余 6 而 78 除以 11 余 1 这个两位 13 61 91 数为 78583 例 7 有一个大于 1 的整数 除所得的余数相同 求这个数 45 59 101 解析 这个题没有告诉我们 这三个数除以这个数的余数分别是多少 但是由于所 得的余数相同 根据同余定理 我们可以得到 这个数一定能整除这三个数 中的任意两数的差 也就是说它是任意两数差的公约数 1014556 5 8 专业 引领 共成长 预初课程 的约数有 所以这个数可能为 594514 56 14 14 14 1 2 7 142 7 14 例 8 与的和除以 7 的余数是 2003 2 2 2003 解析 找规律 用 7 除 2 的余数分别是 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 的个数是 3 的倍数时 用 7 除的余数为 1 2 的个数是 3 的倍数多 1 时 用 7 除的余数为 2 2 的个数是 3 的倍数多 2 时 用 7 除的余数为 4 因为 所以除以 7 余 4 又两个数 20033 667 2 22 2003 2 的积除以 7 的余数 与两个数分别除以 7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1 所以除以 7 余 1 故与的和除以 7 的余数是 2 2003 2003 2 2 2003415 例 9 求的余数 2461 135604711 解析 因为 根据同余定理 三 2461 11223 8 135 1112 3 604711549 8 的余数等于的余数 而 2461 135604711 8 3 8 11 8 3 8192 所以的余数为 5 1921117 5 2461 135604711 例 10 求的最后两位数 1997 3 解析 即考虑除以 100 的余数 由于 由于除以 25 余 2 所 1997 3100425 3 327 以除以 25 余 8 9 3 除以 25 余 24 那么除以 25 余 1 又因为除以 4 余 1 则除以 4 余 1 10 3 20 3 2 3 20 3 即能被 4 和 25 整除 而 4 与 25 互质 所以能被 100 整除 即除以 100 20 31 20 31 20 3 余 1 由于 所以除以 100 的余数即等于除以 100 的余数 而 1997209917 1997 3 17 3 除以 100 余 29 除以 100 余 43 所以除以 100 的余 6 3729 5 3243 17625 3 3 3 17 3 数等于除以 100 的余数 而除以 100 余 63 所以除 292943 29294336163 1997 3 以 100 余 63 即的最后两位数为 63 1997 3 6 8 专业 引领 共成长 预初课程 例 11 除以 7 的余数是多少 20082 22008 解析 除以 7 的余数为 1 所以 其 3 28 20083 6691 20083 66913 669 22 2 2 除以 7 的余数为 2008 除以 7 的余数为 6 则除以 7 的余 669 122 2 2008 数等于除以 7 的余数 为 1 所以除以 7 的余数为 2 6 20082 22008 213 作业 1 5122 除以一个两位数得到的余数是 66 求这个两位数 答案 79 作业 2 明明在一次计算除法时 把被除数 171 错写成 117 结果商少 3 而余数恰恰相 同 这题中的除数是多少 答案 18 作业 3 两数相除 商 4 余 8 被除数 除数 商数 余数四数之和等于 415 则被 除数是 解析 因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍 所以根据和倍问题可知 除数为 所以 被除数为 4154884179 7948324 作业 4 除以一个两位数 余数是 求出符合条件的所有的两位数 101312 解析 那么符合条件的所有的两位数有 1013 121001 10017 11 13 因为 余数小于除数 所以舍去 答案只有 11 13 77 91 11 13 77 91 7 8 专业 引领 共成长 预初课程 作业 5 求除以 17 的余数 478296351 解析 先求出乘积再求余数 计算量较大 可先分别计算出各因数除以 17 的余数 再求余数之积除 以 17 的余数 除以 17 的余数分别为 2 7 和 11 478 296 351 27 11 179 1 作业 6 一个大于 1 的数去除 290 235 200 时 得余数分别为 则这a2a 5a 个自然数是多少 解析 根据题意可知 这个自然数去除 290 233 195 时 得到相同的余数 都为 a 既然余数相同 我们可以利用余数定理 可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0 那么这个自然数是的约数 又是的约数 因此就是 57 29023357 233 19538 和 38 的公约数 因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1 而这个数大于 1 所以这个自然 数是 19 作业 7 有 48 本书分给两组小朋友 已知第二组比第一组多 5 人 如果把书全部分给 第一组 那么每人 4 本 有剩余 每人 5 本 书不够 如果把书全分给第二组 那么每人 3 本 有剩余 每人 4 本 书不够 问 第二组有多少人 解析 由 知 一组是 10 或 11 人 同理可知 48412 4859 6 48316 知 二组是 13 14 或 15 人 因为二组比一组多 5 人 所以二组只 48412 能是 15 人 一组 10 人 作业 8 某个大于 1 的自然数分别除 442 297 210 得到相同的余数 则该自然数为 分析 首先要清楚一个事实 两个数被同一个数除余数相同 则这两个数相减 大 8 8 专业 引领 共成长 预初课程 减小 能被这个数整除 知道了这个事实后我们就很容易做这个题了 因为该自然数 能整除 也能整除 同样能整除 所以可 442297145 442210232 29721087 知这个自然数必定是 145 232 87 的公约数 而这三个数大于 1 的公约数只有 29 所 以可知这个自然数为 29 作业 9 两位自然数与除以 7 都余 1 并且 求 abbaab abba 解析 能被 7 整除 即