山西省太原市2015届中考数学一模试卷含答案解析

第 1页（共 27 页） 2015 年山西省太原市中考数学一模试卷 一、选择题 1计算 2 3 的结果是（ ） A 5 B 1 C 1 D 5 2如图， 是锐角，其中 线 E 相交于点 O，若 0，则 度数是（ ） A 30 B 60 C 80 D 120 3下列运算正确的是（ ） A（ 2= + =2 C（ 2） 0=0 D（ ） 2=9 4某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是 95 分，而方差依次为 s 甲 2=0.2，s 乙 2=s 丙 2=s 丁 2=据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（ ） A甲代表队 B乙代表队 C 丙代表队 D丁代表队 5如图，四边形 接于 O，若四边形 外角 0，则 度数为（ ） A 140 B 110 C 220 D 70 6在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共 40 个小颖做摸球实验她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 m 70 128 171 302 481 599 903 第 2页（共 27 页） 摸到白球的频率 试验 1500 次摸到白球的频率比试验 800 次的更接近 从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为 当试验次数 n 为 2000 时，摸到白球的次数 m 一定等于 1200 D这个盒子中的白球定有 28 个 7对于反比例函数 y= ，下列四个结论正确的是（ ） A图象经过点（ 2， 2） B y 随 x 的增大而减小 C图象位于第一、三象限 D当 x 1 时， y 的值都大于 2 8用一个平面按如图所示的方式 “切割 ”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开， “切割线 ”（虚线）位置正确的是（ ） A B C D 9水分子的直径为 410 10m，而一滴水中大约有 021 个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（ ） A 031m B 0 11m C 0 31m D 011m 10如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形 六边形 内部有一正方形 据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（ ） A （ +1） 2 、填空题（本大题有 6 小题，每小题 3分，共 18分） 第 3页（共 27 页） 11计算（ a 2） 2 的结果是 12二次函数 y=x 3 的最小值是 13学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二 人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是 14分式方程 + = 的解为 15如图，直线 y= 与 x， y 轴分别交于 A， y 轴左侧作等边三角形 y 轴翻折后，点 C 的对应点 C恰好落在直线 ，则 k 的值为 16如图，矩形 ，点 E， F， G， B， 中点，线段 交于点 P， 交于点 Q若四边形 矩形，则 的值为 三、简答题（共 8个小题，共 72 分） 17（ 1）先化简，再求值：（ + ） ，其中 x= 1 （ 2）解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上 18为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题： 第 4页（共 27 页） （ 1）这次接受随机调查的学生有 人； （ 2）请将上面的两幅图补充完整； （ 3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是 天，中位数是 天，众数是 天； （ 4）若该市七年级学生 40000 人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过 5 天的学生大约有多少人？ 19（ 1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角 的最小值； （ 2）下面的网格图都是由边长为 1 的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图 2、图 3 中再分别添加若干个 基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求： 图 2 中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形； 图 3 中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形； 所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影） 20如图， A， 车原来从 地需经 C 地沿折线 A C 开通隧道后，汽车直接沿直线 驶即可到达 知 20 千米， A=30， B=135，求隧道开通后汽车从 第 5页（共 27 页） 21如图， O 的直径，点 C 在 O 上，以 C 为顶点在 侧作 （ 1）判断射线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）延长 点 D，使 D，连接 O 交于点 E，若 ， 0，则阴影部分的面积为 22某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费 144000 元 采购了电子白板 16 块和投影机 8 台已知 1 块电子白板的单价比 1 台投影机的多 3000 元 （ 1）求购买 1 块电子白板和一台投影机各需多少元？ （ 2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为 100000 元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额 23问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究 已知，如图 1，正方形 ，对角线 交于点 O，点 E 是线段 一点，过点 垂线，交线段 ，垂足为点 F，易知 ： E 变式探究： 分析完图 1 之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答： （ 1）小彬：如图 2，将图 1 中的点 E 改为线段 长线上的一点，过点 E 垂线，交 ，垂足为点 F求证： E 第 6页（共 27 页） （ 2）小颖：如图 3，将图中的 “正方形 为 “菱形 且 0，其余条件不变，试求 的值 拓展延伸： （ 3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图 4，将图 3 中的 “ 0”改为 “ ”，并且点 E， G 分别在 余条件不变，直接用含 “”的式子表示 的值 24如图 1，平面直角坐标系中，矩形 顶点 A， C 的坐标分别为（ 2， 0）、（ 0， 3），过点 B， C 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 D， E（ D 在 E 的左侧），直线 线段 于点F （ 1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式； （ 2）求点 F 的坐标； （ 3）如图 2，设动点 P 从点 E 出 发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 动，过点 P 作直线 平行线 l，过点 F 作 x 轴的平行线，交直线 l 于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒 当点 P 在射线 运动时，四边形 否成为菱形？若能，求出相应的 t 的值；若不能，说明理由； 当 0t4 时，设四边形 四边形 合部分的面积为 S，直接写出 S 与 t 的函数关系式以及相应的自变量 t 的取值范围 第 7页（共 27 页） 2015 年山西省太原市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1计算 2 3 的结果是（ ） A 5 B 1 C 1 D 5 【考点】 有理数的减法 【分析】 根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可求解 【解答】 解： 2 3= 2+（ 3） = 5 故选： A 【点评】 本题考查了有理数的减法，熟记减法法则是解决本题的关键 2如图， 是锐角，其中 线 E 相交于点 O，若 0，则 度数是（ ） A 30 B 60 C 80 D 120 【 考点】 平行线的性质 【分析】 根据 出 根据 出 【解答】 解： 0， 故选 B 【点评】 此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等 第 8页（共 27 页） 3下列运算正确的是（ ） A（ 2= + =2 C（ 2） 0=0 D（ ） 2=9 【考点】 幂的乘方与积的乘方；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 根据积的乘方、二次根式的化简， 0 次幂和负指数幂，即可解答 【解答】 解： A（ 2=错误； B. ，故错误； C（ 2） 0=1，故错误； D. ，正确； 故选： D 【点评】 本题考查了积的乘方、二次根式的化简， 0 次幂和负指数幂，解决本题的关键是熟记相关法则 4某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是 95 分，而方差依次为 s 甲 2=0.2，s 乙 2=s 丙 2=s 丁 2=据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（ ） A甲代表队 B乙代表队 C丙代表队 D丁代表队 【考点】 方差 【分析】 根据方差的定义，方差越小数据越稳定 【解答】 解： s =s =s =s = s s s s ， 这四支代表队中成绩最稳定的是甲代表队； 故选 A 【点评】 本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 5如图，四边形 接于 O，若四边形 外角 0，则 度数为（ ） 第 9页（共 27 页） A 140 B 110 C 220 D 70 【考点】 圆内 接四边形的性质 【分析】 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答 【解答】 解： 四边形 接于 O， 0， 故选 D 【点评】 此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键 6在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共 40 个小颖做摸球实验她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） 摸球的 次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 试验 1500 次摸到白球的频率比试验 800 次的更接近 从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为 当试验次数 n 为 2000 时，摸到白球的次数 m 一定等于 1200 D这个盒子中的白球定有 28 个 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近 此求解即可 【解答】 解：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近 故选 B 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：部分的具体数目 =总体数目 相应频率 第 10页（共 27页） 7对于反比例函数 y= ，下列四个结论正确的是（ ） A图象经过点（ 2， 2） B y 随 x 的增大而减小 C图象位于第一、三象限 D当 x 1 时， y 的值都大于 2 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 根据反比例函数的性质， k=2 0，函数位于一、三象限，在每一象限 y 随 x 的增大而减小 【解答】 解： A、把点（ 2， 2）代入反比例函数 y= ， 1=2 不成立，故选项错误； B、当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小，故选项错误 C、 k=2 0， 它的图象在第一、三象限，故选项正确； D、 当 x 0 时图象位于第四象限，所以错误； 故选 C 【点评】 本题考查了反比例函数 y= （ k0）的性质： 当 k 0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k 0 时，图象分别位于第二、四象限 当 k 0 时，在同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k 0 时，在同一个象限， y 随 x 的增大而增大 8用一个平面按如图所示的方式 “切割 ”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开， “切割线 ”（虚线）位置正确的是（ ） A B C D 【考点】 几何体的展开图 【分析】 将 为面向自己的面，展开即可 【解答】 解：将 为面向自己的面展开， 即可得到 ， 故选 C 第 11页（共 27页） 【点评】 本题考查了几何体的展开图，熟悉正方体的展开图，并逐步培养自己的空间 意识 9水分子的直径为 410 10m，而一滴水中大约有 021 个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（ ） A 031m B 0 11m C 0 31m D 011m 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解 答】 解：由题意可得： 410 10021=011， 故选： D 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a| 10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 10如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形 六边形内部有一正方形 据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（ ） A （ +1） 2 考点】 列代数式 【专题】 几何图形问题 【分析】 首先根据正六边形的性质求得 后求得三角形 4 个三角形的面积加上正方形的面积即可求得阴影部分的面积 第 12页（共 27页） 【解答】 解：如图： 六边形 正六边形， 20， B=a， 0， ， a， S B= a= S 阴影 =4S 正方形 +1） 故选 B 【点评】 本题考查了列代数式的知识，解题的关键是根据正六边形的性质求得三角形 度不大 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 3分，共 18分） 11计算（ a 2） 2 的结果是 4a+4 【考点】 完全平方公式 【分析】 根据完全平方公式计算即可 【解答】 解：（ a 2） 2 =4a+4， 故答案为： 4a+4 【点评】 此题考查完全平方公式，关键是完全平方公式的形式计算 12二次函数 y=x 3 的最小值是 4 【考点】 二次函数的最值 【分析】 把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可 【解答】 解： y=x 3=（ x+1） 2 4， 二次函数 y=x 3 的最小值是 4 故答案为： 4 第 13页（共 27页） 【点评】 本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便 13学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 列表或树状图将所有等可能的结果，利用概率公式求解即可 【解答】 解：列树状图得： 共有 4 种等可能的结果，周六、周日都有志愿者参加的有 2 种， P（周六、周日都有志愿者参加公益活动） = = 故答案为： 【点评】 考查了列表 或树状图的知识，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大 14分式方程 + = 的解为 x= 1 【考点】 解分式方程 【专题】 计算题 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x 3+x+2=x 2， 解得： x= 1， 经检验 x= 1 是分式方程的解 故答案为： x= 1 【点评】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 第 14页（共 27页） 15如图，直线 y= 与 x， y 轴分别交于 A， y 轴左侧作等边三角形 y 轴翻折后，点 C 的对应点 C恰好落在直线 ，则 k 的值为 【考点】 翻折变换（折叠问题）；一次函数 图象上点的坐标特征；等边三角形的性质 【分析】 由等边三角形的性质和折叠的性质得出 0，由三角函数求出 出点入直线 y= 求出 k 即可 【解答】 解： 等边三角形， 0， 直线 y=，当 x=0 时， y=4， B（ 0， 4）， ， 由折叠的性质得： 0， 0， ， A（ 4 ， 0）， 把点 A（ 4 ， 0）代入直线 y= 得： 4 k+4=0， 解得： k= 故答案为： 【点评】 本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决 问题的关键 16如图，矩形 ，点 E， F， G， B， 中点，线段 交于点 P， 交于点 Q若四边形 矩形，则 的值为 第 15页（共 27页） 【考点】 相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】 由矩形 ，四边形 矩形，易证得 后由相似三角形的对应边成比例，可得 ，又由点 E， F， G， B， 中点，即可求得答案 【解答】 解： 四边形 矩形， 0， 0， 四边形 矩形， B= C=90， D， 0， ， 点 E， F， G， B， 中点， ， = 故答案为： 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质注意证得 解此题的关键 三、简答题（共 8个小题，共 72 分） 17（ 1）先化简，再求值：（ + ） ，其中 x= 1 第 16页（共 27页） （ 2）解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上 【考点】 分式的化简求值；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】 （ 1）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，分子因式分解，约分即可，再把 x= 1代入即可得出答案； （ 2）先解两个不等式，再求解集的公共部分，把解集画在数轴上即可 【解答】 解：（ 1）原式 = = ， 把 x= 1 代入原式 = = ； （ 2） ， 解 得 x 3， 解 得 x 2， 把不等式组的解集画在数轴上， 不等式组的解集为 2x 3 【点评】 本题考查了分式的化简求值以及解一 元一次不等式组，分式的通分、因式分解以及不等式组解集的四种情况是解题的关键 18为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题： 第 17页（共 27页） （ 1）这次接受随机调查的学生有 300 人； （ 2）请将上面的两幅图补充完整； （ 3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是 ，中位数是 4 天，众数是 4 天； （ 4）若该市七年级学生 40000 人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过 5 天的学生大约有多少人？ 【考点】 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数 【分析】 （ 1）根据 2 天的人数和所占的百分比即可求出随机调查的学生总数； （ 2）用调查的总人数减去其它天数的人数求出参加社会实践活动 5 天的人数，从而补全统计图； （ 3）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案； （ 4）用该市七年级学生的总数乘以参加综合实践活动的天数超过 5 天 的学生所占的百分比即可得出答案 【解答】 解：（ 1）这次接受随机调查的学生有 =300（人）； 故答案为： 300； （ 2）参加社会实践活动 5 天的人数是： 300 30 75 90 36 24=45（人）， 画图如下： 第 18页（共 27页） （ 3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是：（ 230+375+490+545+636+724）300=天）， 最中间两个数的平均数是（ 4+4） 2=4， 则中位数是 4 天， 4 出现了 90 次，出现的次数最多， 则众数是 4 天， 故答案为： 4， 4； （ 4）根据题意得： 40000（ 15%+8%+12%） =14000（人）， 答：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过 5 天的学生大约有 14000 人 【点评】 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 19（ 1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转 角 的最小值； （ 2）下面的网格图都是由边长为 1 的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图 2、图 3 中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求： 图 2 中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形； 图 3 中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形； 所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影） 【考点】 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案 第 19页（共 27页） 【分析】 （ 1）利 用旋转对称图形的性质分别得出符合题意的答案； （ 2） 利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案； 利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案 【解答】 解：（ 1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为 90， 正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为 60； （ 2） 如图 2 所示： 如图 3 所示： 【点评】 此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称图形的性质，正确把握旋转对称图形的定义是解题关键 20如图， A， 山，汽车原来从 地需经 C 地沿折线 A C 开通隧道后，汽车直接沿直线 驶即可到达 知 20 千米， A=30， B=135，求隧道开通后汽车从 地行驶多少千米？ 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 利用锐角三角函数关系得出 长，进而求出隧道开通后汽车从 地行驶的路程 【解答】 解：如图所示：过点 C 作 长线于点 E， A=30， 20 02060 （ B=135， 第 20页（共 27页） C=60 0 60=60（ 1） 答：隧道开通后汽车从 地行驶 60（ 1） 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用，分别求出 长是解题关键 21如图， O 的直径，点 C 在 O 上，以 C 为顶点在 侧作 （ 1）判断射线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）延长 点 D，使 D，连接 O 交于点 E，若 ， 0，则阴影部分的面积为 3 【考点】 切线的判定；扇形面积的计算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）由 直径得到 0，加上 B= B= 0，所以 是根据切线的判定定理即可得到 O 的切线； （ 2）在 0利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 ， ，由C 得到 S 可计算出 S S ，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积 =S 扇形 S 【解答】 解：（ 1） O 相切理由如下： 直径， 0，即 0， C， B= 第 21页（共 27页） 而 B= 0，即 0， O 的切线； （ 2） 0， 0， 0， ， ， C， 0， S S S 3 = ， 阴影部分的面积 =S 扇形 S =3 故答案为 3 【点评】 本切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线 ，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了扇形的计算 22某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费 144000 元采购了电子白板 16 块和投影机 8 台已知 1 块电子白板的单价比 1 台投影机的多 3000 元 （ 1）求购买 1 块电子白板和一台投影机各需多少元？ （ 2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为 100000 元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额 第 22页（共 27页） 【考点】 二元一次方程组的应用 【分析】 （ 1）可设购买 1 块电子白板需 x 元，购买一台投影机需 y 元，根据等量关系： 其中第三批共投入经费 144000 元采购了电子白板 16 块和投影机 8 台； 已知 1 块电子白板的单价比 1台投影机的多 3000 元；列出方程组求解即可； （ 2）可设增长率为 z，根据等量关系为：第一批教学器材投入经费 （ 1+增长率） 2=第三批教学器材投入经费，把相关数值代入计算求得合适解即可 【解答】 解：（ 1）设购买 1 块电子白板需 x 元，购买一台投影机需 y 元，依题意有 ， 解得 答：购买 1 块电子白板需 7000 元，购买一台投影机需 4000 元； （ 2）可设增长率为 z，依题意有 100000（ 1+z） 2=144000， （ 1+z） 2= 1+z 0， 1+z= z=20% 100000+100000（ 1+20%） +144000 =100000+120000+144000 =364000（元） 答：该区去年教学器材投入的经费总额是 364000 元 【点评】 考查了二元一次方程组 的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键；同时考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1x） 2=b 23问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究 已知，如图 1，正方形 ，对角线 交于点 O，点 E 是线段 一点，过点 垂线，交线段 ，垂足为点 F，易知： E 变式探究： 第 23页（共 27页） 分析完图 1 之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个 问题，请回答： （ 1）小彬：如图 2，将图 1 中的点 E 改为线段 长线上的一点，过点 E 垂线，交 ，垂足为点 F求证： E （ 2）小颖：如图 3，将图中的 “正方形 为 “菱形 且 0，其余条件不变，试求 的值 拓展延伸： （ 3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图 4，将图 3 中的 “ 0”改为 “ ”，并且点 E， G 分别在 余条件不变，直接用含 “”的式 子表示 的值 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）证明 据全等三角形的性质证明即可； （ 2）证明 根据 0求出 的值，得到答案； （ 3）证明 根据 求出 的值，得到答案