2020东城区高三上学期数学试卷及答案_202001082023094

东城区 2019 2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学2020 1 本试卷共 4 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束 后 将答题卡一并交回 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 A x x 1 B x x 2 x 1 0 那么 A A x 1 x 2 B x 1 x 1 C x 1 x 2 2 复数 z i i 1 在复平面内对应的点位于 D x 1 x 1 A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第三象限 D 第四象限 3 下列函数中 是偶函数 且在区间 0 上单调递增的为 A C y 1 x y 2 x B D y ln x y 1 x 4 设 a b 为实数 则 a b 0 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 设 是两个不同的平面 m n 是两条不同的直线 则下列结论中正确的是 A 若m m n 则 n C 若 n m n 则m B 若 m n 则m n D 若 m n 则m n 6 从数字1 2 3 4 5 中 取出3 个数字 允许重复 组成三位数 各位数字之和等于 6 这样的三位数的个数为 A 7 B 9 C 10 D 13 7 设 是三角形的两个内角 下列结论中正确的是 A 若 则sin sin B 若 则cos cos 2 C 若 则sin sin 1 2 2 D 若 则cos cos 1 2 8 用平面截圆柱面 当圆柱的轴与 所成角为锐角时 圆柱面的截线是一个椭圆 著名数学家Dandelin 创立的双 球实验证明了上述结论 如图所示 将两个大小相同的球嵌入圆柱内 使它们分别位于 的上方和下方 并且 与圆柱面和 均相切 给出下列三个结论 y 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点 若球心距O1O2 4 球的半径为 则所得椭圆的焦距为2 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时 所得椭圆的离心率也由小变大 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 第二部分 非选择题共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若双曲线 x2 2 1 与 x y2 1有相同的焦点 则实数m m32 10 已知 an 是各项均为正的等比数列 Sn 为其前n 项和 若a1 6 a2 2a3 6 则公比q S4 11 能说明 直线 x y m 0 与圆 x2 y2 4x 2 y 0 有两个不同的交点 是真命题的一个m 的值为 uuu ruuu r 12 在平行四边形 ABCD 中 已知 AB AC AC AD AC 4 BD 2 则四边形 ABCD 的面积是 13 已知函数 f x 2sin x 0 曲线 y f x 与直线 y 相交 若存在相邻两个交点间的距离为 则 的所有可能值为 6 14 将初始温度为0 C 的物体放在室温恒定为30 C 的实验室里 现等时间间隔测量物体温度 将第n 次测量得到的 物体温度记为tn 已知t1 0 C 已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比 比例系数为k 给出以 下几个模型 那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 填写模型对应的序号 tn 1 tn k tn 30 t n 1 tn k 30 tn tn 1 k 30 tn 在上述模型下 设物体温度从5 C 上升到10 C 所需时间为 a min 从 10 C 上升到15 C 所需时间为b min 从15 C 上升到20 C 所需时间为C min 那么 a 与 b 的大小关系是 用 或 号填 bc 空 2 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 在 ABC 中 已知c sin A 求 C 的大小 3a cos C 0 若b 2 c 2 求 ABC 的面积 16 本小题 13 分 2019 年 6 月 国内的 5G 运营牌照开始发放 从 2G 到 5G 我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间 完 成了技术上的飞跃 跻身世界先进水平 为了解高校学生对 5G 的消费意愿 2019 年 8 月 从某地在校大学生中随机抽 取了 1000 人进行调查 样本中各类用户分布情况如下 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较 可得出下图的关系 例如早 期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40 I 从该地高校大学生中随机抽取 1 人 估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率 I I 从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人 以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数 求 X 的分布列和数学期望 III 2019 年底 从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人 这三位学生都已签约 5G 套餐 能否认为样本中早期体验用 户的人数有变化 说明理由 用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 nii 1j n 1 17 本小题 14 分 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 BB1 平面 ABC AB BC AA1 AB BC 2 求证 BC1 平面 A1B1C 求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小 点 M 在线段 BC 上 且 B1M 0 1 点 N 在线段 AB 上 B1C 若 MN 平面 A ACC 求 A1 N 的值 用含 的代数式表示 11 18 本小题 13 分 A1B 已知函数 f x 1 x3 x2 3ax a R 3 若 f x 在 x 1时 有极值 求a 的值 在直线 x 1上是否存在点 P 使得过点 P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切 若存在 求出 P 点坐标 若 不存在 说明理由 19 本小题 14 分 已知椭圆C x 2 y2 1 a 1 的离心率是 2 a22 求椭圆C 的方程 已知 F1 F2 分别是椭圆C 的左 右焦点 过 F2 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于 A B 两点 直线 F1 A F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M N 如果 MF1N 为锐角 求k 的取值范围 20 本小题 13 分 已知数列 a 记集合T S i j S i j a a L a 1 i j i j N 对于数列 an 1 2 3 4 写出集合T 若a 2n 是否存在i j N 使得 S i j 1024 若存在 求出一组符合条件的i j 若不存在 说明理由 I I I 若 an 2n 2 把集合T 中的元素从小到大排列 得到的新数列为 B b1 b2 L bm L 若bm 2020 求 m 的最大值 1 东城区 2019 2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2020 1 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 4 10 145 24 11 0 答案不唯一 12 4 13 2 或10 14 三 解答题 共 6 小题 共 80 分 15 共 13 分 解 由正弦定理可得sin C sin A 3 cos CsinA 0 因为sin A 0 所以 tan C 3 又因为0 C 2 所以 C 3 7 分 b sin C 由正弦定理得sin B 2 3 2 1 c 又因为0 B 3 2 32 所以 B A B C 66 所以 ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 2 2 3 1 13 分 222 16 共 13 分 解 由题意可知 从高校大学生中随机抽取 1 人 该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率估计为样本 中早期体验用户和中期跟随用户的频率 即 270 530 0 8 3 分 10001000 13 由题意 X 的所有可能值为 0 1 2 记事件 A 为 从早期体验用户中随机抽取 1 人 该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上 事件 B 为 从中期跟随用户中随机抽取 1 人 该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上 由 题意可知 事件 A B 相互独立 且 C 3 P A 1 40 0 6 P B 1 45 0 55 所以 P X 0 P AB 1 0 6 1 0 55 0 18 P X 1 P AB AB P AB P AB P A 1 P B 1 P A P B 0 6 1 0 55 1 0 6 0 55 0 49 P X 2 P AB 0 6 0 55 0 33 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0 18 0 49 0 33 故 X 的数学期望 X 0 0 18 1 0 49 2 0 33 1 15 10 分 14 设事件 D 为 从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人 这三位学生都已签约 5G 套餐 那么 C3 P D 270 0 02 1000 回答一 事件 D 虽然发生概率小 但是发生可能性为0 02 所以认为早期体验用户没有发生变化 回答二 事件 D 发生概率小 所以可以认为早期体验用户人数增加 13 分 17 共 14 分 解 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 由于 BB1 平面 ABC 所以 BB1 平面 A1B1C1 又 BB1 平面 B1BCC1 所以平面 B1BCC1 平面 A1B1C1 交线为 B1C1 又因为 AB BC 所以 A1B1 B1C1 所以 A1B1 平面 B1BCC1 因为 BC1 平面 B1BCC1 所以 A1B1 BC1 又因为 BB1 BC 2 所以 B1C BC1 又 A1B1 B1C B1 所以 BC1 平面 A1B1C 5 分 11 00 由 知 BB1 底面 ABC AB BC 如图建立空间直角坐标系 B xyz 由题意得 B 0 0 0 C 2 0 0 A1 0 2 2 B1 0 0 2 所以 B1C 2 0 2 A1B 0 2 2 uuur uuur 所以cos A1B B1C A B B C uuur uuur BA1 B1C 1 2 故异面直线 BC 与 AB 所成角的大小为 9 分 11 3 易知平面 A1 ACC1 的一个法向量为n n 1 1 0 由 B1M 得 M 2 0 2 2 B1C 设 A1 N 得 N 0 2 2 2 2 A1B 则 MN 2 2 2 2 2 因为 MN 平面 A1 ACC1 所以 MN n n 0 即 2 2 2 2 2 1 1 0 0 解得 1 所以 A1 N 1 14 分 A1B 18 共 13 分 解 因为 所以 f x 1 x3 x2 3ax 3 f x x2 2x 3a 由 f x 在 x 1 时 有 极值得 f 1 1 2 3a 0 解 得 a 1 经检验 a 1时 f x 有极值 综上 a 1 4 分 不妨设在直线 x 1上存在一点 P 1 b 设过点 P 与 y f x 相切的直线为l 切点为 x y 则切线l 方程为 y 1 x3 x2 3ax x2 2x 3a x x 3 0 00000 y 又直线l 过 P 1 b 有b 1 x3 x2 3ax x2 2x 3a 1 x 3 0 00000 即 2 x3 2x2 2x 3a b 0 3 000 设 g x 2 x3 2x2 2x 3a b 3 g x 2x2 4x 2 2 x 1 2 0 所以 g x 在区间 上单调递 增 所以 g x 0 至多有一个解 过点 P 与 y f x 相切的直线至多有一条 故在直线 x 1上不存在点 P 使得过 P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切 13 分 19 共 14 分 c 2 a2 解 由题意 b2 1 解得a2 2 a2 b2 c2 所以椭圆C 的方程为 x2 2 2 1 4 分 由已知直线l 的斜率不为 0 设直线l 方程为 y k x 1 直线l 与椭圆C 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 y k x 1 2222 由 x2 2 y2 1 得 2k 1 x E 4k x 2k 2 0 4k 2 2k 2 2 由已知 判别式 0 恒成立 且 x1 x2 2k 2 1 x1x2 2k 2 1 直线 F A 的方程为 y y1 x 1 令 x 0 则 M 0 y1 1 x 1 1 同理可得 N 0 y2 x1 1 uuuu r uuu r x2 1 y y k 2 x 1 x 1 所以 F M F N 1 1 2 1 12 11 x 1 x 1 x 1 x 1 1212 k 2 x x x x 1 1 k 2 x x 1 k 2 x x 1 k 2 1 1 212 x1 x2 x1 x2 1 1 212 x1x2 x1 x2 1 将 代入并化简 得 uuuu r uuu r7k 2 1 F1M F1N 8k 2 1 uuuu r uuu r7k 2 1 依题意 MF1N 我锐角 所以 F1M F1N 0 即 F1M F1N 8k 2 1 0 解得k 2 1 或 k 2 1 78 综上 直线l 斜率的取值范围是 7 U 2 0 U 0 2 U 7 14 分 20 共 13 分 7447 解 T 3 5 6 7 9 10 3 分 假设存在i j N N 使得 S i j 1024 则有 1024 ai ai 1 L a j 2i 2 i 1 L 2 j j i 1 i j 由于i j 与 j i 奇偶性相 同 所以i j 与