初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

范文范例 学习参考 精品资料整理 2 初三数学相似三角形 一 相似三角形是初中几何的一个重点 同时也是一个难点 本节复习的目标是 1 理解线段的比 成比例线段的概念 会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或 两线段的比 了解黄金分割 2 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算 证明 会分线段成已知比 3 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题 4 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用 相似三角形是平面几何的主要内容之一 在中考试题中时常与四边形 圆的知识相结合 构成高分值的综合题 题型常以填空 选择 简答或综合出现 分值一般在10 左右 有时 也单独成题 形成创新与探索型试题 有利于培养学生的综合素质 二 重要知识点介绍 1 比例线段的有关概念 在比例式 a b c a b c d 中 a d叫外项 d b c叫内项 a c叫前项 b d 叫后项 d 叫第四比例项 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中项 把线段 AB分成两条线段AC和 BC 使 AC ABBC 叫做把线段AB 黄金分割 C叫做线 段 AB的黄金分割点 2 比例性质 基本性质 ac bd 合比性质 ac bd adbc abcd bd 等比性质 ac bd m bd n n 0 ac ma bd nb 3 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 l 1 l 2 l 3 AB 则 BC DE AB EFAC DE BC DFAC EF DF 范文范例 学习参考 精品资料整理 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比 例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那 么这条直线平行于三角形的第三边 4 相似三角形的判定 两角对应相等 两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原 三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 典型例题 例 1 1 在比例尺是1 8000000 的 中国行政区 地图上 量得A B 两城市的距离 是 7 5 厘米 那么A B 两城市的实际距离是 千米 2 小芳的身高是1 6m 在某一时刻 她的影子长2m 此刻测得某建筑物的影长是 18 米 则此建筑物的高是 米 解 这是两道与比例有关的题目 都比较简单 1 应填 600 2 应填 14 4 例 2 如图 已知DE BC EF AB 则下列比例式错误的是 A ADAE ABAC CEEA B CFFB C DEAD BCBD D EFCF ABCB 分析 由DE BC EF AB 可知 A B D都正确 而不能得到 DE BC AD BD 故应选 C 利用平行线分线段成比例定理及推论求解时 一定要分清谁是截线 谁是被截 范文范例 学习参考 精品资料整理 x 线 C中 DE 很显然是两平行线段的比 因此应是利用三角相似后对应边成比 BC 例这一性质来写结论 即 DE BC ADAE ABAC 例 3 如图 在等边 ABC中 P 为 BC上一点 D 为 AC上一点 且 APD 60 BP1 CD 2 求 3 ABC的边长 解 ABC是等边三角形 C B 60 又 PDC 1 APD 1 60 APB 1 C 1 60 PDC APB PDC APB PC CD ABPB 设 PC x 则 AB BC 1 x 2 1 x 3 x 2 1 AB 1 x 3 ABC的边长为3 例 4 如图 四边形ABE GEFH HFCD 都是边长为a 的正方形 1 求证 AEF CEA 2 求证 AFB ACB 45 分析 因为 AEF CEA有公共角 AEF 故要证明 AEF CEA 只需证明两个三角形中 夹 AEF CEA的两边对应成比例即可 证明 1 四边形 ABEG GEF HFCD 是正方形 AB BE EF FC a ABE 90 AE2a EC2a 范文范例 学习参考 精品资料整理 AE EF 2a 2 EC2a 2 aAE2a AEEC EFAE 又 CEA AEF CEA AEF 2 AEF CEA AFE EAC 四边形 ABEG是正方形 AD BC AG G E AG GE ACB CAD EAG 45 AFB ACB EAC CAD EAG AFB ACB 45 例 5 已知 如图 梯形 ABCD中 AD BC AC BD交于点O EF经过点O且和两底平行 交 AB 于 E 交 CD 于 F 求证 OE OF 证明 AD EF BC OE BC AE OE EB ABADAB OE BC 1 BC 同理 11 OEOF 1 OE OF 从本例的证明过程中 我们还可以得到以下重要的结论 AD EF BC 111 ADBCOE AD EF BCOEOF 1 EF 2 AD EF BC 1111 2 即 112 ADBCOE1 EFOF 2 ADBCEF OE AD AE AB EB AB AB AB 11 AD 1 OE 11 BCADOF 范文范例 学习参考 精品资料整理 2 这是梯形中的一个性质 由此可知 在AD BC EF 中 已知任何两条线段的长度 都 可以求出第三条线段的长度 例 6 已知 如图 ABC中 AD BC于 D DE AB 于 E DF AC于 F 求证 AEAC AFAB 分析 观察 AE AF AC AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决 因 此可根据图中直角三角形多 因而相似三角形多的特点 可设法寻求中间量进行代 换 通过 ABD ADE 可得 AB AD AD 于是得到 AE AD 2AEAB 同理 可得到 AD 2AFAC 故可得 AEABAFAC 即 AEAC AFAB 证明 在 ABD和 ADE中 ADB AED 90 BAD DAE ABD ADE ABAD ADAE 2 AD AEAB 同理 ACD ADF 可得 AD AFAC AEAB AFAC AEAC AFAB 例 7 如图 D 为 ABC中 BC边上的一点 CAD B 若 AD 6 AB 8 BD 7 求 DC的长 分析 本题的图形是证明比例中项时经常使用的 公边共角 的基本图形 我们可以由 基本图形中得到的相似三角形 从而得到对应边成比例 从而构造出关于所求线段的方程 使问题得以解决 解 在 ADC和 BAC中 CAD B C C ADC BAC 范文范例 学习参考 精品资料整理 2 2 ADDCAC ABACBC 又 AD 6 AD 8 BD 7 DC AC AC3 7DC4 DC3 即 AC4 AC3 解得 DC 9 7DC4 例 8 如图 在矩形ABCD中 E 是 CD的中点 BE AC于 F 过 F 作 FG AB交 AE于 G 求证 AG AFFC 证明 在矩形 ABCD 中 AD B ADC BCE 90 又 E 是 CD的中点 DE CE Rt ADE Rt BCE AE BE FG AB AEAG BEBF AG BF 在 Rt ABC中 BF AC于 F Rt BFC Rt AFB AFFB BFFC 2 BF AFFC AG AFFC 例 9 如图 在梯形ABCD中 AD BC 若 BCD的平分线CH AB 于点 H BH 3A 且四 边形 AHCD的面积为21 求 HBC的面积 范文范例 学习参考 精品资料整理 分析 因为问题涉及四边形AHC 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角形 的面积比而加以解决 解 延长 BA CD交于点 P CH AB CD平分 BCD CB C 且 BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC S PAD S PBC 1 9 S PCH 1 2 S PBC S PAD S四边形 AHCD2 7 S四边形 AHCD 21 S PAD 6 S PBC S HBC 54 1 S 2 PBC 27 a2b9 一 填空题 1 已知 2ab 5 则 a b 2 若三角形三边之比为3 5 7 与它相似的三角形的最长边是21cm 则其余两边之和 是 cm 3 如图 ABC中 D E 分别是 AB AC的中点 BC 6 则 DE ADE与 ABC的面积之比为 4 已知线段a 4cm b 9cm 则线段a b 的比例中项 c 为 cm 5 在 ABC 中 点D E 分别在边AB AC 上 DE BC 如果AD 8 DB 6 EC 9 那么 AE 6 已知三个数1 2 3 请你添上一个数 使它能构成一个比例式 则这个数是 范文范例 学习参考 精品资料整理 7 如图 在梯形ABCD中 AD BC EF BC 若AD 12cm BC 18cm AE EB 2 3 则 EF 8 如图 在梯形 ABCD中 AD BC A 90 BD CD AD 6 BC 10 则梯形的面积为 二 选择题 1 如果两个相似三角形对应边的比是3 4 那么它们的对应高的比是 A 9 16B 3 2C 3 4D 3 7 2 在比例尺为1 m的某市地图上 规划出长a 厘米 宽 b 厘米的矩形工业园区 该园区 2 的实际面积是 米 10 4 m A ab 10 4 m2 B ab abm C 10 4 abm 2 D 10 4 3 已知 如图 DE BC EF AB 则下列结论 AEBE ECFC ADAB BFBC EF DE ABBC CEEA CFBF 其中正确的比例式的个数是 A 4个B 3 个C 2 个D 1 个 4 如图 在 ABC中 AB 24 AC 18 D 是 AC上一点 AD 12 在 AB上取一点E 使 A D E 三点为顶点组成的三角形与 ABC相似 则AE的长是 范文范例 学习参考 精品资料整理 A 16B 14C 16 或 14D 16 或 9 5 如图 在Rt ABC中 BAC 90 D是 BC的中点 AE AD 交 CB的延长线于点 E 则下列结论正确的是 A AED ACBB AEB ACD C BAE ACED AEC DAC 三 解答题 1 如图 AD EG BC AD 6 BC 9 AE AB 2 3 求 GF的长 2如图 ABC中 D是 AB上一点 且 AB 3A B 75 CDB 60 求证 ABC CBD 3如图 BE为 ABC的外接圆O的直径 CD为 ABC的高 求证 ACBC BECD 范文范例 学习参考 精品资料整理 4如图 Rt ABC中 ACB 90 AD平分 CAB交 BC于点 D 过点 C 作 CE AD于 E CE的延长线交AB于点 F 过点 E 作 EG BC交 AB于点 G AE AD 16 AB4 5 1 求证 CE EF 2 求 EG的长 参考答案 一 填空题 1 19 132 243 3 1 44 65 12 6 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可 如 2 2 2 等 2 7 14 48 16 6 二 选择题 1 C2 D3 C4 D5 C 三 解答题 1解 AD EG BC EGAE 在 ABC中 有 BCAB EFBE 在 ABD中 有 ADAB AE AB 2 3 BE AB 1 3 EG 2 3 BC EF 1 AD 3 BC 9 AD 6 EG 6 EF 2 范文范例 学习参考 精品资料整理 GF E EF 4 2解 过点 B 作 BE CD于点 E CDB 60 CBD 75 DBE 30 CBE CBD DBE 75 30 45 CBE是等腰直角三角形 AB 3AD 设 AD k 则 AB 3k BD 2k DE k BE3k BC6k BD2k2 BC6k3 BC6k2 AB3k3 BDBC BCAB ABC CBD 3连 结 EC BCBC E A 又 BE 是 O的直径 BCE 90 又 CD AB ADC 90 ADC ECB AC CD EBBC 即 ACBC BE CD 4 1 AD平分 CAB CAE FAE 又 AE C