2019届高三数学专题练习外接球

2019 届高三数学专题练习外接球届高三数学专题练习外接球 1 正棱柱 长方体的外接球球心是其中心 例 1 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 体积为16 则这个球的表面积是 A 16 B 20 C 24 D 32 2 补形法 补成长方体 c a b 图 1 C P A B a b c 图 2 P C B A a b c 图 3 C B P A a b c 图 4 P C O2 B A 例 2 若三棱锥的三个侧面两两垂直 且侧棱长均为3 则其外接球的表面积是 3 依据垂直关系找球心 例 3 已知三棱锥PABC 的四个顶点均在同一个球面上 底面ABC 满足 6BABC 2 ABC 若该三棱锥体积的最大值为 3 则其外接球的体积为 A 8 B 16 C 16 3 D 32 3 一 单选题 1 棱长分别为 2 3 5的长方体的外接球的表面积为 A 4 B 12 C 24 D 48 2 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为2 3 顶点都在一个球面上 则该球的 表面积为 A 12 B 28 C 44 D 60 3 把边长为 3 的正方形ABCD沿对角线AC对折 使得平面ABC 平面ADC 则三棱锥 DABC 的外接 球的表面积为 A 32 B 27 C 18 D 9 4 某几何体是由两个同底面的三棱锥组成 其三视图如下图所示 则该几何体外接球的面 积为 A 2 aB 2 2 aC 2 3 aD 2 4 a 5 三棱锥ABCD 的所有顶点都在球O的表面上 AB 平面BCD 2BCBD 24 3ABCD 则球O的表面积为 A 16 B 32 C 60 D 64 6 如图 1111 ABCDA B C D 是边长为 1 的正方体 SABCD 是高为 1 的正四棱锥 若点S 1 A 1 B 1 C 1 D在同一个球面上 则该球的表面积为 A 9 16 B 25 16 C 49 16 D 81 16 7 已知球O的半径为R A B C三点在球O的球面上 球心O到平面ABC的距离 为 1 2 R 2ABAC 120BAC 则球O的表面积为 A 16 9 B 16 3 C 64 9 D 64 3 8 已知正四棱锥PABCD 底面四边形ABCD是正方形 顶点在底面的射影是底面的P 中心 的各顶点都在同一球面上 底面正方形的边长为10 若该正四棱锥的体积为 50 3 则此球的体积为 A 18 B 8 6C 36 D 32 3 9 如图 在ABC 中 6ABBC 90ABC 点D为AC的中点 将ABD 沿 BD折起到PBD 的位置 使PC PD 连接PC 得到三棱锥PBCD 若该三棱锥的 所有顶点都在同一球面上 则该球的表面积是 A 7 B 5 C 3 D 10 四面体ABCD 中 60ABCABDCBD 3AB 2CBDB 则此四 面体外接球的表面积为 A 19 2 B 19 38 24 C 17 D 17 17 6 11 将边长为 2 的正ABC 沿着高AD折起 使120BDC 若折起后ABCD 四 点都在球O的表面上 则球O的表面积为 A 7 2 B 7 C 13 2 D 13 3 12 在三棱锥ABCD 中 6ABCD 5ACBDADBC 则该三棱锥的外接球 的表面积为 A 43 43 24 B 43 43 6 C 43 2 D 43 二 填空题 13 棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是 14 已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 则该正四棱锥内切球的表面积为 15 已知三棱柱 111 ABCA B C 的侧棱垂直于底面 各顶点都在同一球面上 若该棱柱的体 积为3 2AB 1AC 60BAC 则此球的表面积等于 16 在三棱锥ABCD 中 ABAC DBDC 4ABDB ABBD 则三棱锥 ABCD 外接球的体积的最小值为 1 正棱柱 长方体的外接球球心是其中心 例 1 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 体积为16 则这个球的表面积是 A 16 B 20 C 24 D 32 答案 C 解析 16 2 haV 2 a 2416444 2222 haaR 24 S 故选 C 2 补形法 补成长方体 c a b 图 1 C P A B a b c 图 2 P C B A a b c 图 3 C B P A a b c 图 4 P C O2 B A 例 2 若三棱锥的三个侧面两两垂直 且侧棱长均为3 则其外接球的表面积是 答案 9 解析 93334 2 R 2 4 9 SR 3 依据垂直关系找球心 例 3 已知三棱锥PABC 的四个顶点均在同一个球面上 底面ABC 满足 6BABC 2 ABC 若该三棱锥体积的最大值为 3 则其外接球的体积为 A 8 B 16 C 16 3 D 32 3 答案 D 解析 因为ABC 是等腰直角三角形 所以外接球的半径是 1 123 2 r 设外接 球的半径是R 球心O到该底面的距离d 如图 则 1 63 2 ABC S 3BD 由题设 11 63 36 ABC VShh 最大体积对应的高为3SDh 故 22 3Rd 即 2 2 33RR 解之得2R 所以外接球的体积是 3 432 33 R 故答案为 D 一 单选题 1 棱长分别为 2 3 5的长方体的外接球的表面积为 A 4 B 12 C 24 D 48 答案 B 解析 设长方体的外接球半径为R 由题意可知 22 2 2 2235R 则 2 3R 该长方体的外接球的表面积为 2 4 4 312 SR 本题选择 B 选项 2 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为2 3 顶点都在一个球面上 则该球的 表面积为 A 12 B 28 C 44 D 60 答案 B 解析 设底面三角形的外接圆半径为r 由正弦定理可得 2 3 2 sin60 r 则2r 设外接球半径为R 结合三棱柱的特征可知外接球半径 2 22 327R 外接球的表面积 2 4 28 SR 本题选择 B 选项 3 把边长为 3 的正方形ABCD沿对角线AC对折 使得平面ABC 平面ADC 则三棱锥 DABC 的外接 球的表面积为 A 32 B 27 C 18 D 9 答案 C 解析 把边长为 3 的正方形ABCD沿对角线AC对折 使得平面ABC 平面ADC 则三棱锥DABC 的外接球直径为3 2AC 外接球的表面积为 2 4 18 R 故选 C 4 某几何体是由两个同底面的三棱锥组成 其三视图如下图所示 则该几何体外接球的面 积为 A 2 aB 2 2 aC 2 3 aD 2 4 a 答案 C 解析 由题可知 该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成 其中底面是棱长为 2a的正三角形 一个是三条侧棱两两垂直 且侧棱长为a的正三棱锥 另一个是棱长为 2a的正四面体 如图所示 该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同 因此外接球的直径即为正方体的体 对角线 所以 222 3 23 2 RaaaaRa 所以该几何体外接球面积 2 22 3 4 4 3 2 SRaa 故选 C 5 三棱锥ABCD 的所有顶点都在球O的表面上 AB 平面BCD 2BCBD 24 3ABCD 则球O的表面积为 A 16 B 32 C 60 D 64 答案 D 解析 因为2BCBD 2 3CD 所以 2 22 222 3 1 cos 2222 CBD 2 3 CBD 因此三角形BCD外接圆半径为 1 2 2 sin CD CBD 设外接球半径为R 则 2 22 2 41216 2 AB R 2 4 64 SR 故选 D 6 如图 1111 ABCDA B C D 是边长为 1 的正方体 SABCD 是高为 1 的正四棱锥 若点S 1 A 1 B 1 C 1 D在同一个球面上 则该球的表面积为 A 9 16 B 25 16 C 49 16 D 81 16 答案 D 解析 如图所示 连结 11 AC 11 B D 交点为M 连结SM 易知球心O在直线SM上 设球的半径ROSx 在 1 RtOMB 中 由勾股定理有 222 11 OMB MB O 即 2 2 2 2 2 2 xx 解得 9 8 x 则该球的表面积 2 2 981 4 4 816 SR 本题选择 D 选项 7 已知球O的半径为R A B C三点在球O的球面上 球心O到平面ABC的距离为 1 2 R 2ABAC 120BAC 则球O的表面积为 A 16 9 B 16 3 C 64 9 D 64 3 答案 D 解析 由余弦定理得 44222cos1202 3BC 设三角ABC外接圆半径为r 由正弦定理可得 2 3 2 sin120 r 则2r 又 22 1 4 4 RR 解得 2 16 3 R 则球的表面积 2 64 4 3 SR 本题选择 D 选项 8 已知正四棱锥PABCD 底面四边形ABCD是正方形 顶点 在底面的射影是底面的中 心 的各顶点都在同一球面上 底面正方形的边长为10 若该正四棱锥的体积为 50 3 则 此球的体积为 A 18 B 8 6C 36 D 32 3 答案 C 解析 如图 设正方形ABCD的中点为E 正四棱锥PABCD 的外接球心为O 底面正方形的边长为10 5EA 正四棱锥的体积为 50 3 2 150 10 33 P ABCD VPE 则5PE 5OER 在AOE 中由勾股定理可得 2 2 55RR 解得3R 3 4 36 3 VR 球 故选 C 9 如图 在ABC 中 6ABBC 90ABC 点D为AC的中点 将ABD 沿 BD折起到PBD 的位置 使PCPD 连接PC 得到三棱锥PBCD 若该三棱锥的 所有顶点都在同一球面上 则该球的表面积是 A 7 B 5 C 3 D 答案 A 解析 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形 且BD 平面PCD 设三棱锥PBDC 外接球的球心为O PCD 外接圆的圆心为 1 O 则 1 OO 面PCD 四边形 1 OO DB为直角梯形 由3BD 1 1O D 及OBOD 得 7 2 OB 外接球半径为 7 2 R 该球的表面积 2 7 4 4 7 4 SR 故选 A 10 四面体ABCD 中 60ABCABDCBD 3AB 2CBDB 则此四 面体外接球的表面积为 A 19 2 B 19 38 24 C 17 D 17 17 6 答案 A 解析 由题意 BCD 中 2CBDB 60CBD 可知BCD 是等边三角形 3BF BCD 的外接圆半径 2 3 3 rBE 3 3 FE 60ABCABD 可得7ADAC 可得6AF AFFB AFBCD 四面体ABCD 高为6AF 设外接球R O为球心 OEm 可得 222 rmR 2 22 6 EFR 由 解得 19 8 R 四面体外接球的表面积 2 19 4 2 SR 故选 A 11 将边长为 2 的正ABC 沿着高AD折起 使120BDC 若折起后ABCD 四 点都在球O的表面上 则球O的表面积为 A 7 2 B 7 C 13 2 D 13 3 答案 B 解析 BCD 中 1BD 1CD 120BDC 底面三角形的底面外接圆圆心为M 半径为r 由余弦定理得到3BC 再由正弦定理 得到 3 21 sin120 rr 见图示 AD是球的弦 3DA 将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起 提起到AD的高度 的一半 即为球心的位置O 3 2 OM 在直角三角形OMD中 应用勾股定理得到 OD OD即为球的半径 球的半径 37 1 42 OD 该球的表面积为 2 4 7 OD 故选 B 12 在三棱锥ABCD 中 6ABCD 5ACBDADBC 则该三棱锥的外接球 的表面积为 A 43 43 24 B 43 43 6 C 43 2 D 43 答案 D 解析 分别取AB CD的中点E F 连接相应的线段CE ED EF 由条件 4ABCD 5BCACADBD 可知 ABC 与ADB 都是等腰三 角形 AB 平面ECD ABEF 同理CDEF EF是AB与CD的公垂线 球心G在EF上 推导出AGBCGD 可以证明G为EF中点 2594DE 3DF 1697EF 7 2 GF 球半径 743 9 42 DG 外接球的表面积为 2 4 43 SDG 故选 D 二 填空题 13 棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是 答案 84 解析 由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 1616 2 3 2sin6023 2 r 则外接球的半径 2 2 32 391221R 则外接球的表面积为 2 4 4 2184 SR 14 已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 则该正四棱锥内切球的表面积为 答案 3216 3 解析 设正四棱锥的棱长为a 则 2 3 416 3 4 a 解得4a 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN 的内切圆 其中4MN 2 3PMPN 2 2PE 设内切圆的半径为r 由PFOPEN 得 FOPO ENPN 即 2 2 22 3 rr 解得 2 2 62 31 r 内切球的表面积为 2 2 4 4 623216 3 Sr 15 已知三棱柱 111 ABCA B C 的侧棱垂直于底面 各顶点都在同一球面上 若该棱柱的体 积为3 2AB 1AC 60BAC 则此球的表面积等于 答案 8 解析 三棱柱 111 ABCA B C 的侧棱垂直于底面 棱柱的体积为3 2AB 1AC 60BAC 1 1 2 1 sin603 2 AA 1 2AA 222 2cos60412BCAB