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高中数学重要公式 集合部分 1 集合与元素一般地 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 也简称集 通常用大写字母A B C 表示 集合中的每一对象叫做集合的一个元素 通常用小写字母a b c 表示 2 集合中元素的性质 确定性 互异性 无序性 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 两个集合A与B之间的关系 6 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 常用数集的记法 集合的运算及运算性质 且 x x A且x B 或 x x A或x B x x U且xA 10 其它常用结论 有限集合的子集个数公式 设有限集合A中有n个元素 则A的子集个数有 2n个 其中真子集的个数为2n 1个 非空子集个数为2n 1个 非空真子集个数为2n 2个 四种命题形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p 则q若q 则p若 p 则 q若 q 则 p 总结 1 原命题为真 它的逆命题不一定为真 2 原命题为真 它的否命题不一定为真 3 原命题为真 它的逆否命题一定为真 互为逆否的两个命题一定同真同假 简单命题与复合命题 区别 是否有逻辑联结词 复合命题的构成形式 P或QP QP且QP Q非P p 真值表 1 全称命题p x M p x 它的否定 p x M p x 2 存在命题p x M p x 它的否定 p x M p x 全称命题和存在命题的否定 充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件 充分条件 必要条件 函数部分 6 函数单调性的判定方法 1 定义法 2 导数法 3 图像法 4 复合函数单调性的判定 5 和函数单调性的判定 在单调区间上 增函数的图象自左向右看是上升的 减函数的图象自左向右看是下降的 注 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 函数的单调区间是连续区间 若区间不连续 用逗号隔开写 幂的有关概念 1 正整数指数幂 2 零指数幂 3 负整数指数幂 4 正分数指数幂 5 负分数指数幂 6 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂的性质 R 0 0 1 指数函数的图象和性质 增函数 减函数 非奇非偶 非奇非偶 6 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 6 当x o时 01 图象性质 a 10 a 1 定义域 0 值域 R 过点 1 0 即当x 1时 y 0 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 对数函数y logax a 0 且a 1 数列部分 1 一般数列 数列的通项公式 数列的前n项和 2 等差数列 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 an 若则数列是等差数列 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和 等差中项 如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 即 2A a b或 等差数列的性质 1 等差数列任意两项间的关系 如果是等差数列的第项 是等差数列的第项 且 公差为 则有 2 对于等差数列 若 则 3 若数列是等差数列 是其前n项的和 那么 成等差数列 3 等比数列 等比数列的判定方法 1 定义法 对于数列 an 若 则数列 an 是等比数列 2 等比中项法 对于数列 an 若 则数列 an 是等比数列 等比中项如果在a与b之间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即 等比数列的通项公式 等比数列的前n项和 当时 三角函数部分 1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度 二 弧长公式与扇形面积公式 1 弧长公式 2 扇形面积公式 二 任意角的三角函数 设 是一个任意角 的终边上任意一点p 除端点外 的坐标是 x y 它与原点的距离是r 倒数关系 商数关系 平方关系 特殊角的三角函数值 诱导公式 例 奇变偶不变 符号看象限 降幂公式 三角变换一般技巧有 切化弦 降次 诱导公式变角 辅助角变换公式 妙用1 分子分母同乘 除 一个数 图象 y sinx y cosx x o y 1 1 x y 1 1 性质 定义域 R R 值域 1 1 1 1 周期性 T 2 T 2 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 o 三角函数的图象与性质 正切函数的图象与性质 y tanx 图象 x y o 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 单调性 第一种变换 图象向左 或向右 平移个单位 横坐标伸长 或缩短 到原来的倍纵坐标不变 纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 到原来的A倍横坐标不变 第二种变换 横坐标伸长 或缩短 到原来的倍纵坐标不变 图象向左 或向右 平移个单位 纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 到原来的A倍横坐标不变 向量部分 数量积的主要性质 用于计算向量的模 不等式部分 一元二次不等式的解法 0 0 0 有两相异实根x1 x2 x1 x2 有两相等实根x1 x2 没有实根 x xx2 x x1 x x2 R x x 二 绝对值不等式 f x a f x g x f x g x 均值不等式 1 当且仅当a b时取 号 2 当且仅当a b时取 号 42 线性规划 1 直线定界 特殊点定域 标准形式 大右小左 2 解线性规划应用问题的一般步骤 1 列出约束条件 2 写出目标函数 3 画出可行域 4 找出最优解 5 求出最大 小 值 设z 2x y 求满足条件 时 求z的最大值和最小值 y 解析几何 52 点与圆的位置关系设点P x0 y0 圆 x a 2 y b 2 r2 则点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 53 线与圆的位置关系 1 设直线l 圆心C到l的距离为d 则圆C与l相离 d r 圆C与l相切 d r 圆C与l相交 d r 2 由圆C方程及直线l的方程 消去一个未知数 得一元二次方程 设一元二次方程的根的判别式为 则l与圆C相交 0 l与圆C相切 0 l与圆C相离 0 54 圆与圆的位置关系设圆O1的半径为r1 圆O2的半径为r2 则两圆相离 O1O2 r1 r2 外切 O1O2 r1 r2 内切 O1O2 r1 r2 内含 O1O2 r1 r2 相交 r1 r2 O1O2 r1 r2 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 椭圆有四个顶点 a 0 0 b 线段A1A2叫做椭圆的长轴 且长为2a a叫做椭圆的长半轴长线段B1B2叫做椭圆的短轴 且长为2b b叫做椭圆的短半轴长 O x F1 F2 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b 为椭圆的焦距 为椭圆的半焦距 75 x a y b x b y a 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 0 b b 0 0 a c 0 0 c 长半轴长为a 短半轴长为b 焦距为2c a2 b2 c2 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐近线 F2 0 c F1 0 c y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 弦长公式 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 直线AB的斜率为k 可推广到双曲线 抛物线 立体几何部分 侧面积 S直棱柱侧 ch S正棱锥侧 S全 S侧 S底 S正棱锥台 S球 4 R2 注 V棱柱 Sh 2 棱柱的体积 3 棱锥的体积 67 证线线平行的方法 1 若有线面平行 且经过这条直线的平面与已知平面相交 则这条直线与交线平行 2 若有面面平行 且都与第三个平面相交 则交线平行 3 利用平行线的传递性 4 证明两直线垂直于同一平面 5 证明两直线的方向向量是共线向量 68 证线面平行的方法 1 证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 2 若有面面平行 则一个平面内的任何一条直线都与另一平面平行 3 证明平面的法向量与直线的方向向量垂直 4 证明直线的方向向量与平面的两相交直线的方向向量是共面向量 69 证面面平行的方法 1 证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 2 证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 3 利用平行平面的传递性 4 证明两平面都垂直于同一直线 5 证明两平面的法向量是共线向量 70 证线线垂直的方法 1 利用三垂线定理 2 若线面垂直 则这条直线垂直于平面内的一切直线 3 证明两直线的方向向量的数量积为零 71 证线面垂直的方法 1 证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线 2 若面面垂直 经过一个平面内的一点