用一元一次方程解决实际问题教学设计(一)

用一元一次方程解决实际问题用一元一次方程解决实际问题 教学设计教学设计 教学设计思路教学设计思路 本节课通过一元一次方程的广泛而具体的应用 展现 问题情境 建立模型 解释 应用与拓展 这一数学 模型 体现这一数学模型的意义和重要作用 在建立模型的同时要注意促进学生分析问题及解决问题能力的提高 教学时 教师先提出问题 然后尽可能地让学生思考 探索 操作 然后再交流和研究 共同探讨 教学目标教学目标 知识与技能 1 知道一元一次方程解简单应用问题的方法和步骤 并会列出一元一次方程解简单的应用题 2 从不同的实际问题中分析数量关系 会从各种实际问题中恰当地把握不同形式的等量关系 过程与方法 1 通过运用方程解决实际问题 体会运用方程解决实际问题的一般过程 提高分析问题和解决问题的能力 2 让学生独立思考 积极探究 从而发现解决问题的最佳方案 情感态度价值观 通过学习 更加关注生活 增强用数学的意识 从而激发学习数学的热情 教学方法教学方法 采用直观分析法 引导发现法及尝试指导法充分发挥学生的主体作用 重点难点及其应用重点难点及其应用 重点 一元一次方程解敬爱男单应用题的方法和步骤 用列方程的方法解决各类不同的实际问题 难点 弄清问题 合理地选择未知数 正确地列出方程 课时安排课时安排 5 课时 教学过程设计教学过程设计 第一课时第一课时 一 情境导入一 情境导入 在小学和本书的第一章里 我们已经学过列方程解应用题 由于那时的应用题都十分简单 看不出代数方法 与算数方法比较起来有什么优点 现在我们已经学会了用代数方法解一元一次方程 这就可以解决一些比起小学 里稍微复杂的应用题了 我们将逐渐体会到 设未知数列出方程来解应用题 要比不设未知数找出算式容易的多 今问鸡兔同笼 上有 35 头 下有 94 足 问鸡兔各有多少只 此题用列方程的方法解非常简单 因为每只鸡有一个头 两只足 每只兔子有一个头 四只足 假设次笼中 有鸡x只 则有兔 35 x 只 有鸡足2x只 兔足4 35 x 那么根据已知条件 鸡足 兔足 94 得 24 35 94xx 这样就列出了方程 解方程即可求出 23x 35 12x 既有鸡 23 只 兔 12 只 此题用算术法解要比上述解法难得多 首先得考虑 如果鸡和兔都长两只足 那么笼中应有35 2 70 只 足 94 7024 那么说明 这 24 只足是少算进去的兔足 又因为每只兔有 4 只足 我们把每只兔子少算了两 只足 因为 24 2 12 可知笼内有 12 只兔子 有鸡 35 12 23 只 具体写出算式就是 笼内有兔子的只数 9435 2 12 2 只 笼中有鸡的只数 35 12 23 只 我们把设未知数列方程解应用题的方法叫做代数方法 把不设未知数用算术式求解的方法 叫做算术方法 随着学习的深入 接触到的问题越来越复杂 你将逐步体会到代数方法的优越性 感到列方程解应用题的简捷美 二 例题讲解二 例题讲解 例例 1 某校七年级同学参加这一次公益活动 其中 15 的同学去作保护环境的宣传 剩下的 170 名同学去植 2 树 种草 七年级共有多少名同学参加这次公益活动 怎样用方程来解决这个问题呢 列方程解决实际问题 关键是找出含有所求数量的等量关系 本题中的等量关系是 作保护环境宣传的人数 植树种草的人数 七年级参加公益活动的人数 如果我们设七年级共有名同学参加这次公益活动 请同学们填写下表 做环保宣传的同学 名植树种草的人 名参加公益活动的同学 名 在这个等量关系中 参加保护环境宣传的人数和七年级参加公益活动的总人数都是未知数 已知参加保护环 境宣传的人数是参加公益活动总人数的 15 所以我们设七年级共有x名同学参加公益活动 那么参加保护环境 宣传的人数可表示为 15 x 根据等量关系书写解答全过程 15 x 170 x 然后按教科书写出解答全过程 三 提出问题 共同探究三 提出问题 共同探究 问题 小两台拖拉机一天共耕耘地面积是 19 公顷 其中 大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的 2 倍 还多 1 公顷 这两台拖拉机一天各耕地多少公顷 一起探究 1 本题中已知量由哪些 答 1 大 小两台拖拉一天耕地 19 公顷 2 大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的 2 倍还多 1 公 顷 2 求什么 3 本题中含有的所求数量的等量关系是什么 答 拖拉机一天耕地公顷数 小拖拉机一天耕地公顷数 19 4 若设小拖拉机一天耕地x公顷 填写教科书 P16的表格 然后自助完成列方程并且写出完整的解题过程 解 解 设小拖拉机一天耕地x公顷 依题意 列方程 2119xx 解这个方程 得 6x 故2 12 6 113x 或 19 6 13 答 小拖拉机一天耕地 6 公顷 大拖拉机一天耕地 13 公顷 5 若本题设大拖拉机耕地x公顷 那么该选项哪个等量关系列方程比较好呢 请你试一试 并比较两种解 法 解法二 等量关系为 大拖拉机一天耕地公顷数 2 小拖拉机一天耕地公顷数 1 即 2 19 1xx 显然解法一简便 通过上面问题的解答 你能说出列一元一次方程解运用问题的一般步骤吗 一般步骤如下 1 认真审题 找出能够表达题目含义的等量关系 2 分析等量关系中 已知量与未知量的 关系 适当设未知数x 3 将等量关系中 其余的未知量用含x的代数式表示 再根据等量关系 列出方程 4 解这个方程 5 检验答案是否合理 正确 不必写出来 6 最后写答案 四 课堂练习四 课堂练习 课本 P16练习 1 2 五 课堂小结五 课堂小结 本节课主要分析了一元一次方程应用题的方法和步骤 要掌握列方程解应用题的本领 首先小分析题意时 3 必须明确哪些是已知量 哪些是未知量 它们之间又什么关系 然后找出能表示题目含义的等量关系 六 课后作业六 课后作业 课本 P17 1 2 3 4 第二课时第二课时 一 复习有关知识一 复习有关知识 1 列一元一次方程解应用题的一般步骤和方法是什么 1 认真审题 找出能够表达题目含义的等量关系 2 分析等量关系中 已 知量与未知量的关系 适当设未知数x 3 将等量关系中 其余的未知量用含x的 代数式表示 再根据等量关系 列出方程 4 解这个方程 5 检验答案是否合理 正确 不必写出来 6 最后写答案 2 增长率问题中的三个基本量 净增长量 基础量 增长率之间有怎样的数量 关系 基础量 增产率 净增量 3 什么是国内生产总值 简称 GDP 是按市场价格计算的 它是一国所有常住单位在一定时期内生产活 动的最终成果 国内生产总值有三种表现形态 即价值形态 收入和产品形态 从 价值形态看 它是所有常住单位在一定时期内所生产的全部货物和服务价值减去同 期投入的全部非固定资产货物和服务价值的差额 即所有常住单位的增加值之和 从收入形态看 它是所有常住单位在一定时期内所创造并分配给常住单位和非常住 单位的初次分配收入之和 从产品形态看 它是最终使用的货物和服务减去进口货 物和服务 二 例题讲解二 例题讲解 例例 2 2 2001 年我国的国内生产总值 GDP 为 95930 亿元 比 2000 年增长了 7 3 2000 年我国的国内生产总值为多少亿元 精确到 1 亿元 分析 本题的等量关系比较明显 2001 年国内生产总值比 2000 年国内生产总值 增加了 2000 年的 7 3 即 2000 年国内生产总值 2001 年的增长量 2001 年国内生产总值 其中 2001 年的增长量 2000 年的国内生产总值 7 3 解 设 2000 年国内生产总值为x亿元 根据题意 得 7 3 95930 xx 或 17 3 95930 x 解这个方程 得1 07395930 x 4 95930 89404 1 073 x 答 200 年国内生产总值为 89404 亿元 三 提出问题 共同探究三 提出问题 共同探究 引导学生阅读教科书 P18中春游购票问题 探索这一问题中的等量关系 1 本题情景中有哪几种购票方法 2 如果小明它们共有 19 个人 那么按哪一种购票方式省钱 有两种购票方式 一是按实际人数购票 二是购团体票 20 人一张 购买 19 张 20 人 5 元的门票共花费 95 元 购买一张 20 人的团体票花费 5 20 80 80 元 比买 19 张 5 元的门票省钱 省了 15 元 2 1 含有所求量的等量关系是 购 1 张 20 人的团体票花费 元 每人买 1 张 5 元的门票总花费 元 10 2 设小明他们共有x人 根据以上等量关系 列方程 5 20 80 5x 10 解方程得x 18 提示同学进行口头检验 答 小明他们共有 18 人 四 课堂练习四 课堂练习 课本 P19 五 课时小结五 课时小结 本节课我们共同探索了用一元一次方程解决有关增长率和商品销售中的问题 通过建立这两个模型 解决实际问题 我们学会了找出能够表示题目含义的等量关 系 六 课后作业六 课后作业 课本 P19 习题 1 2 3 4 5 第三课时第三课时 一 复习回顾一 复习回顾 1 列一元一次方程解应用问题的一般步骤是什么 1 认真审题 找出能够表达题目含义的等量关系 2 分析等量关系中 已知量与未知量的关系 适当设 未知数x 3 将等量关系中 其余的未知量用含x的代数式表示 再根据等量关系 列出方程 4 解这个方程 5 检验答案是否合理 正确 不必写出来 6 最后写答案 2 行程问题中的基本数量关系是什么 路程 速度 时间 3 相遇问题或追及问题中所走路程的关系 1 相遇问题 双方所走路程之和 全部路程 2 追及问题 快速行径路程 慢速行径路程 同地不同时 二 例题讲解二 例题讲解 例例 3 A B 两地间的公路长为 376km 一辆轿车和一辆公共汽车分别从 A B 两地同时出发沿公路相向而 行 轿车的平均速度为 90km h 公共汽车的平均速度为 60km h 它们出发后多少小时在途中相遇 1 本题是路程问题 从路程上分析 等量关系是 轿车行驶的路程 公共汽车行驶的路程 375 2 两车同时出发 相遇时 两车所行驶的时间相同 这个时间正是题目要求的问题 设两车出发后xh 相遇 则轿车行驶了 90 xkm 公共汽车行驶了 60 xkm 有关行程问题可借助 线段图 如教科书 P20图 分析 根据以上等量关系 列方程 9060375xx 3 请同学们写出本题的求解过程 共同探讨 在上述问题中 如果公共汽车先出发 0 5h 后轿车再出发 其他条件均不变 那么 轿车出发后多少小时两 车相遇 此问题的等量关系仍是 轿车行驶的路程 公共汽车行驶的路程 375 设轿车出发后x小时两车相遇 画示意图 6 列方程 90 60 0 5 375xx 解方程 得x 2 3 答 轿车出发后 2 3 小时两车相遇 三 大家谈谈三 大家谈谈 学习科技小组的同学乘公共汽车去 160km 外的省城参观科技博览 小明因为特殊原因要晚出发半小时 但他 称坐了速度更快的高速客车追赶大家 公共汽车和高速客车的速度分别是 60km h 和 80km h 高速客车在出发 后多少时可追上公共汽车 追上的地点距出发地点有多远 分析 1 本题有哪些已知量 高速客车和公共汽车同地出发 高速客车比公共汽车晚出发半小时 即公共汽车比高速客车多行 0 5h 公共汽车速度为 60km h 高速客车速度为 80km h 2 要求哪些未知量 高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车 追上的地点距出发地点有多远 3 如果设高速客车在出发xh 后追上公共汽车 那么应该根据哪个等量关系列方程 高速客车xh 行驶的路程 公共汽车 x 0 5 h 行驶的路程 根据上面得到的等量关系 设未知数 列方程求解 8060 0 5 xx 解得 1 5x 故追上的地点距出发地为 80 1 5 120 km 答 高速客车出发 1 5 小时追上公共汽车 追上的地点距出发点 120km 4 如果设高速客车在距出发地点 ykm 处追上公共汽车那么又如何列方程求解呢 等量关系是什么 等量关系为 公共汽车行驶 ykm 所需的时间 小时 一高速客车行驶 ykm 的时间 0 5 0 5 6080 xy 解方程得 y 120 故 120 0 5 8080 y 答 略 四 课堂练习四 课堂练习 课本 P21 习题 1 五 课时小结五 课时小结 7 本节课我们探究了用一元一次方程解决行程问题 不同的问题 所建立的等量关系不同 我们可以借助 线 段图 帮助寻找等量关系 一般地行程问题有一些等量关系 1 三个基本量之间的关系 路程 速度 时间 2 相遇问题 甲走的路程 乙走的路程 A B 两地点的距离 六 课后作业六 课后作业 课本 P21 习题 1 2 3 4 第四课时第四课时 一 复习回顾一 复习回顾 用方程解决实际问题的关键是寻找 等量关系 即找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系 就是说 题目中的每个条件都应该利用一次 并只能利用一次 寻求等量关系可以从有关数量比较关键字句中发现 如大 小 多 少 倍 分等 还可以借助基本数量关系 沟通不同量之间的关系 如 全量 部分量的和 路程 速度 时间 周长 面积公式等 另外还有一些等量关系更隐晦 分析题意 在变化中寻找不变 二 例题讲解二 例题讲解 例例 5 5 一块长 200cm 宽 100cm 厚 1cm 的钢板 经锻压后 宽度不变 长度增加了 60 锻压后的钢板厚度 是多少厘米 引导学生寻求本题中的等量关系 关键是让学生抓住锻压变化中的不变量 物体的体积 等量关系是 锻压后的干板体积 锻压前的钢板体积 长方体的体积公式是什么 长 宽 高 解 锻压后的钢板的厚度为 x 根据题意列方程 200 1 60 100 x 200 100 1 解这个方程 得 1 6x 1 x 5 8 答 锻压后的钢板的厚度是 5 8 三 合作探究三 合作探究 提出问题 又甲 乙两个工程公司共同修建一条高速公路 如果由甲公司单独施工 则需要 3 年完成 如果由乙公司单 独施工 则需要 2 年完成 在实际施工时 由公司单独施工半年后 乙公司才加入施工 乙公司施工后多长时间 能建立成这条公路 一起探究 1 这是一个工程问题 2 有三个基本量 工作总量 工作效率 工作时间 3 本题中工作总量未知 通常把全部工程量表示为 1 8 4 这样 甲公司的工作效率是每年完成总工作的 1 3 5 乙公司的工作效率是每年完成总工作量的 1 2 上述问题中的等量关系是什么 甲公司完成的工作量 乙公司完成的工作量 1 2 根据工作量 工作效率 工作时间 所以必须知道甲 乙两公司实际工作时间 如果设乙公司开工 x 年后可建成公路 那么 1 到建成公路时 甲公司施工多长时间 1 2 x 年 2 甲 乙两公司完成的工作两分别是多少 111 322 xx 3 请你列出方程 解方程 得出实际问题的答案 根据上面得出的等量关系 列方程为 111 1 322 xx 解这个方程得 1x 答 乙公司施工后 1 年能建成这条公路 四 课堂练习四 课堂练习 课本 P23 1 2 五 课时小结五 课时小结 利用方程解决实际问题的关键是寻求等量关系 本节课解决的几个问题都是借助同一个数量的两种不同办事 方式来列方程的 这种等量关系比较隐晦 关键是抓住变化中的不变量是什么 对于较复杂的问题可以借助图形 进行分析 有些问题用间接设元法比较简单 六 课后作业六 课后作业 课本 P23 习题 1 2 3 4 9 第五课时第五课时 一 情境导入一 情境导入 我们把钱存入银行可获得利息 从银行贷款要支付利息 购买国库券要收益 投资股票有风险 存期不同利息也不同 我们从 1999 年 11 月 1 日起对储蓄存款按利息的 20 收利息税 但教育储蓄和国库券 不收利息税 那么你知道利息税如何计算吗 什么是期数 利息 本金 年利率 年数 本息和 本金 利息 本金 1 年利率 年数 下面我们来做下面的一道题 让学生自助完成后教师讲评 小明的爸爸计划给他存一份教育储蓄 1 如果存期为 3 年 年利率为 2 7 到期后 本息和为 5405 元 那么存入的本金是多少元 2 如果将 6000 元存为 6 年期的教育储蓄 到期后本息和为 7036 8 元 那么 6 年期教育储蓄的利率为多 少 问题 1 设开始存入的本金为 x 元 那么 3 年后的本息和表示为 列方程 得 解方程 得 x 答 存入的本金是 2 设 6 年期教育储蓄的年利率为 x 请你列方程解答 这是一个教育储蓄 不收利息