第十六章-二次根式导学案

第十六章第十六章 二次根式导学案二次根式导学案 二次根式二次根式 1 1 一 学习目标一 学习目标 1 1 了解二次根式的概念 能判断一个式子是不是二次根式 了解二次根式的概念 能判断一个式子是不是二次根式 2 2 掌握二次根式有意义的条件 掌握二次根式有意义的条件 3 3 掌握二次根式的基本性质 掌握二次根式的基本性质 和和 0 0 aa 0 2 aaa 二 学习重点 难点二 学习重点 难点 重点 二次根式有意义的条件 二次根式的性质 重点 二次根式有意义的条件 二次根式的性质 难点 综合运用性质难点 综合运用性质和和 0 0 aa 0 2 aaa 三 学习过程三 学习过程 一 复习回顾 一 复习回顾 1 1 已知 已知 那么 那么是是的的 是是的的 记为记为 一定一定ax 2 axxaa 是是 数 数 2 2 4 4 的算术平方根为的算术平方根为 2 2 用式子表示为 用式子表示为 正数 正数的算术平方的算术平方a 根为根为 0 0 的算术平方根为的算术平方根为 式子 式子的意义是的意义是 0 0 aa 二 自主学习 二 自主学习 1 1 的平方根是的平方根是 16 2 2 一个物体从高处自由落下 落到地面的时间是一个物体从高处自由落下 落到地面的时间是t t 单位 秒单位 秒 与开始下落时的与开始下落时的 高度高度h h 单位 米单位 米 满足关系式满足关系式 如果用含 如果用含h h的式子表示的式子表示t t 则 则t t 2 5th 3 3 圆的面积为圆的面积为 S S 则圆的半径是 则圆的半径是 4 4 正方形的面积为正方形的面积为 则边长为 则边长为 3 b 思考 思考 等式子的实际意义等式子的实际意义 说一说他们的共同特征说一说他们的共同特征 16 5 h s 3 b 定义定义 一般地我们把形如一般地我们把形如 叫做二次根式 叫做二次根式 叫做叫做 a0 aa 4 1 1 试一试 判断下列各式 哪些是二次根式 哪些不是 为什么 试一试 判断下列各式 哪些是二次根式 哪些不是 为什么 316 3 45 0 3 a a 1 2 x 2 2 当 当为正数时为正数时指指 的的 而 而 0 0 的算术平方根是的算术平方根是 负数 负数 aaa 只有非负数 只有非负数才有算术平方根 所以 在二次根式才有算术平方根 所以 在二次根式中 字母中 字母 必须满足必须满足 aaa 才有意义 才有意义 a 3 3 根据算术平方根意义计算 根据算术平方根意义计算 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 2 5 0 2 3 1 根据计算结果 你能得出结论 根据计算结果 你能得出结论 其中 其中 0 a 4 4 由公式 由公式 我们可以得到公式 我们可以得到公式 利用此公式可以把利用此公式可以把 0 2 aaaa 2 a 任意一个非负数写成一个数的平方的形式 任意一个非负数写成一个数的平方的形式 如如 2 2 5 5 也可以把一个非负数写成一个数的平方形式 如 也可以把一个非负数写成一个数的平方形式 如 5 5 2 2 55 练习 练习 1 1 把下列非负数写成一个数的平方的形式 把下列非负数写成一个数的平方的形式 6 6 0 350 35 2 2 在实数范围内因式分解在实数范围内因式分解 4 4a a 11 11 7 2 x 2 三 合作探究 三 合作探究 例 当例 当x x是怎样的实数时 是怎样的实数时 在实数范围内有意义 在实数范围内有意义 2 x 解 由解 由 得 得02 x 2 x 当当时 时 在实数范围内有意义 在实数范围内有意义 2 x2 x 练习 练习 1 1 取何值时 下列各二次根式有意义 取何值时 下列各二次根式有意义 x 43 x 2 2 3 x 2 a x 2 1 2 3 2 2 1 1 若 若有意义 则有意义 则 a a 的值为的值为 33aa 2 2 若 若在实数范围内有意义 则在实数范围内有意义 则为 为 x A A 正数正数 B B 负数负数 C C 非负数非负数 D D 非正数非正数 3 3 1 1 在式子在式子中 中 的取值范围是的取值范围是 x x 1 21 x 2 2 已知已知 0 0 则 则 4 2 xyx 2 yx 3 3 已知已知 则则 233 xxy x y 四 达标测试 四 达标测试 一一 填空题 填空题 1 1 2 5 3 2 2 若 若 那么 那么 0112 yxxy 3 3 当 当x x 时 代数式时 代数式有最小值 其最小值是有最小值 其最小值是 45x 4 4 在实数范围内因式分解 在实数范围内因式分解 1 1 2 2 x x y y 2 2 2 2 x x 22 9xx 22 3xx y y 二 选择题 二 选择题 1 1 一个数的算术平方根是 一个数的算术平方根是a a 比这个数大 比这个数大 3 3 的数为 的数为 A A B B C C D D 3 a3 a3 a3 2 a 2 2 二次根式 二次根式中 字母中 字母a a的取值范围是 的取值范围是 1 a A A a a l l B B a a 1 1 C C a a 1 1 D D a a 1 1 2 2 已知 已知则则x x的值为的值为03 x A A x x 3 3 B B x x 30b 0 反过来 反过来 a b a b a 0a 0 b 0b 0 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 二 二 巩固练习 巩固练习 1 1 计算 计算 1 1 12 3 2 2 31 28 3 3 11 416 4 4 64 8 2 2 化简 化简 1 1 3 64 2 2 2 2 64 9 b a 3 3 2 9 64 x y 4 4 2 5 169 x y 注 注 1 1 当二次根式前面有系数时 类比单项式除以单项式法则进行计算 即系 当二次根式前面有系数时 类比单项式除以单项式法则进行计算 即系 数之商作为商的系数 被开方数之商为被开方数 数之商作为商的系数 被开方数之商为被开方数 2 2 化简二次根式达到的要求 化简二次根式达到的要求 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 分母中不含有二次根式 分母中不含有二次根式 三 拓展延伸 三 拓展延伸 阅读下列运算过程 阅读下列运算过程 133 3333 22 52 5 5555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作 分母有理化分母有理化 利用上述方法化简 利用上述方法化简 1 1 2 6 1 3 2 1 12 10 2 5 四 达标测试 四 达标测试 A A 组组 1 1 选择题 选择题 1 1 计算 计算 112 121 335 的结果是 的结果是 A A 2 7 5 B B 2 7 C C 2 D D 2 7 2 2 化简 化简的结果是 的结果是 3 2 27 A A B B C C D D 2 3 2 3 6 3 2 2 2 计算 计算 1 1 2 2 3 3 4 4 48 2 x x 8 2 3 16 1 4 1 2 9 64 x y B B 组组 用两种方法计算 用两种方法计算 1 1 64 8 2 2 34 6 课后记 课后记 最简二次根式最简二次根式 一 学习目标一 学习目标 1 1 理解最简二次根式的概念 理解最简二次根式的概念 2 2 把二次根式化成最简二次根式 把二次根式化成最简二次根式 3 3 熟练进行二次根式的乘除混合运算 熟练进行二次根式的乘除混合运算 二 学习重点 难点二 学习重点 难点 重点 最简二次根式的运用 重点 最简二次根式的运用 难点 会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算 难点 会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算 三 学习过程三 学习过程 一 复习回顾 一 复习回顾 1 1 化简 化简 1 1 2 2 4 96x 3 2 27 3 3 3 5 4 4 3 2 27 5 5 8 2a 2 2 结合上题的计算结果 回顾前两节中利用积 商的算术平方根的性质化简 结合上题的计算结果 回顾前两节中利用积 商的算术平方根的性质化简 二次根式达到的要求是什么 二次根式达到的要求是什么 二 自主学习 二 自主学习 观察上面计算题观察上面计算题 1 1 的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特 点 点 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 2 2 化简 化简 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 12 2442 x yx y 23 8x y 20 8 三 合作交流 三 合作交流 1 1 计算 计算 5 2 1 3 1 2 3 2 1 2 2 比较下列数的大小 比较下列数的大小 1 1 与与 2 2 8 2 4 3 27667 与 注 注 1 1 化简二次根式的方法有多种 比较常见的是运用积 商的算术平方根 化简二次根式的方法有多种 比较常见的是运用积 商的算术平方根 的性质和分母有理化 的性质和分母有理化 2 2 判断是否为最简二次根式的两条标准 判断是否为最简二次根式的两条标准 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 2 2 被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于 被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于 2 2 四 拓展延伸 四 拓展延伸 观察下列各式 通过分母有理化 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 观察下列各式 通过分母有理化 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 12 12 12 12 12 12 1 12 1 23 23 23 23 23 23 1 23 1 同理可得 同理可得 32 1 32 从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算 的值 的值 23 1 12 1 20082009 1 12009 五 达标测试 五 达标测试 1 1 选择题 选择题 1 1 如果 如果 y y 0 0 是二次根式 化为最简二次根式是 是二次根式 化为最简二次根式是 x y A A y y 0 0 B B y y 0 0 C C y y 0 0 D D 以上都不对 以上都不对 x y xy xy y 2 2 化简二次根式 化简二次根式的结果是的结果是 2 2 a a a A A B B C C D D 2 a2 a2 a2 a 2 2 填空 填空 1 1 化简 化简 x x 0 0 422 xx y 2 2 已知 已知 则 则的值等于的值等于 25 1 x x x 1 3 3 计算 计算 1 1 2 2 2 1 4 7 4 3 1 2 1 5 4 1 7 4 1 8 1 2 1 33 4 4 计算 计算 a a 0 0 b b 0 0 a b baab b 3 2 3 2 35 5 5 若 若x x y y为实数 且为实数 且 y y 求 求的值 的值 22 441 2 xx x yxyx 课后记 课后记 二次根式的加减学案二次根式的加减学案 1 1 学习内容 学习内容 同类二次根式同类二次根式 二次根式的加减二次根式的加减 学习目标 学习目标 1 1 理解同类二次根式 并能判定哪些是同类二次根式 理解同类二次根式 并能判定哪些是同类二次根式 2 2 理解和掌握二次根式加减的方法 理解和掌握二次根式加减的方法 3 3 先提出问题 分析问题 在分析问题中 渗透对二次根式进行加减的方 先提出问题 分析问题 在分析问题中 渗透对二次根式进行加减的方 法的理解 再总结经验 用它来指导根式的计算和化简 法的理解 再总结经验 用它来指导根式的计算和化简 学习重点 难点学习重点 难点 1 1 重点 二次根式化简为最简根式 重点 二次根式化简为最简根式 2 2 难点 会判定是否是最简二次根式 难点 会判定是否是最简二次根式 学习过程学习过程 一 一 自主学习自主学习 一 一 复习引入 复习引入 计算 计算 1 1 2 2 3 3 4 4 xx32 222 532xxx yxx32 222 23aaa 二 二 探索新知 探索新知 学生活动 计算下列各式 学生活动 计算下列各式 1 1 2 22 3 32 2 2 2 28 3 38 5 58 3 3 7 2 27 3 39 7 4 4 3 33 2 23 2 由此可见 二次根式的被开方数相同也是可以合并的 如由此可见 二次根式的被开方数相同也是可以合并的 如 2 22与与8表面表面 上看是不相同的 但它们可以合并吗 也可以 上看是不相同的 但它们可以合并吗 也可以 与整数中同类项的意义相类似 与整数中同类项的意义相类似 我们把我们把 与与 与与这样的几个二次根式 称为同类二这样的几个二次根式 称为同类二3332 a3a2 a4 次根式 次根式 3 32 8 3 32 2 22 5 52 3 33 27 3 33 3 33 6 63 所以 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 所以 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将同再将同 类二次根式进行合并 类二次根式进行合并 例例 1 1 计算 计算 1 1 8 18 2 2 16x 64x 例例 2 2 计算 计算 1 1 3 348 9 9 1 3 3 312 2 2 48 20 12 5 归纳 归纳 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式进行合并 第二步 将相同的最简二次根式进行合并 二 巩固练习二 巩固练习 1 1 2 2 27 1 3 1 12 512 2048 3 3 4 4 y y x y x x 1 2 4 1 4 6 1 9 3 2 2 x x x xxx 三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展三 学生小组交流解疑 教师点拨 拓展 例例 3 3 已知 已知 4x4x2 2 y y2 2 4x 6y 10 0 4x 6y 10 0 求 求 2 9 3 xx y y2 2 3 x y x x2 2 1 x 5x 5x y x 的 的 值 值 四 课堂检测四 课堂检测 一 一 选择题 选择题 1 1 以下二次根式 以下二次根式 12 2 2 2 3 27中 与中 与3是同类二是同类二 次根式的是 次根式的是 A A 和和 B B 和和 C C 和和 D D 和和 2 2 下列各式 下列各式 3 33 3 6 3 63 1 7 7 1 1 2 6 8 2 22 24 3 2 22 其中错误的有 其中错误的有 A A 3 3 个个 B B 2 2 个个 C C 1 1 个个 D D 0 0 个个 3 3 在下列各组根式中 是同类二次根式的是 在下列各组根式中 是同类二次根式的是 A A 和和 B B 和和 C C 和和 D D 和和3183 3 1 ba2 2 ab1 a1 a 4 4 下列各式的计算中 成立的是 下列各式的计算中 成立的是 A A B B C C D D 5252 15354 yxyx 22 52045 5 5 若 若则则的值为的值为 12 1 12 1 ba a b b a ab A 2 A 2 B B 2 2 C C D D 222 二 填空题二 填空题 1 1 在 在8 1 75 3 a 2 9 3 a 125 3 2 3a a 3 30 2 2 2 1 8 中 与中 与 3a是同类二次根式的有是同类二次根式的有 2 2 计算二次根式 计算二次根式 5 5a 3 3b 7 7a 9 9b的最后结果是的最后结果是 3 3 若最简二次根式 若最简二次根式与与是同类二次根式 则是同类二次根式 则x x 123 x13 x 4 4 若最简二次根式 若最简二次根式与与是同类二次根式 则是同类二次根式 则ba 3 ba b2 a a b b 5 5 计算 计算 1 1 2 2 a aa a a aa108 43 3 3 27 3 1 23 5 075 3 1 2 8 1 32 三 综合提高题三 综合提高题 先化简 再求值 先化简 再求值 其中 其中x x 3 2 y y 27 27 364 3 6 3 xy y x xxy yx y x 课后记 课后记 二次根式的混合运算二次根式的混合运算 一 学习目标一 学习目标 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算 二 学习重点 难点二 学习重点 难点 重点 熟练进行二次根式的混合运算 重点 熟练进行二次根式的混合运算 难点 混合运算的顺序 乘法公式的综合运用 难点 混合运算的顺序 乘法公式的综合运用 三 学习过程三 学习过程 一 复习回顾 一 复习回顾 1 1 填空 填空 1 1 整式混合运算的顺序是 整式混合运算的顺序是 2 2 二次根式的乘除法法则是 二次根式的乘除法法则是 3 3 二次根式的加减法法则是 二次根式的加减法法则是 4 4 写出已经学过的乘法公式 写出已经学过的乘法公式 2 2 计算 计算 1 1 2 2 3 3 6a3b 3 1 16 1 4 1 50 5 1 12 2 1 832 二 合作交流 二 合作交流 1 1 探究计算 探究计算 1 1 2 2 38 622 6324 2 2 探究计算 探究计算 1 1 2 2 52 32 2 232 三 展示反馈 三 展示反馈 计算 计算 1 1 2 2 12 3 2 32427 3 1 32 532 3 3 4 4 2 3223 107107 注 整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛 可以是单项式 多项注 整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛 可以是单项式 多项 式 也可以代表二次根式 所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式 也可以代表二次根式 所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根 式的运算 式的运算 四 拓展延伸 四 拓展延伸 同学们 我们以前学过完全平方公式同学们 我们以前学过完全平方公式 你一定熟 你一定熟 222 2abaabb 练掌握了吧练掌握了吧 现在 我们又学习了二次根式 那么所有的正数 包括现在 我们又学习了二次根式 那么所有的正数 包括 0 0 都 都 可以看作是一个数的平方 如可以看作是一个数的平方 如 3 3 2 2 5 5 2 2 下面我们观察 下面我们观察 35 222 21 2 2 12122 2132 2 反之 反之 2 32 222 21 21 2 32 2 21 1 1223 2 仿上例 求 仿上例 求 1 1 324 2 2 你会算 你会算吗 吗 124 3 3 若 若 则 则m m n n与与a a b b的关系是什么 并说明理的关系是什么 并说明理nmba 2 由 由 六 达标测试 六 达标测试 A A 组组 1 1 计算 计算 1 1 2 2 5 9080 326324 3 3 a a 0 0 b b 0 0 4 4 3 33 abababba 2 65 2 2 65 2 2 2 已知 已知 求 求的值 的值 12 1 12 1 ba10 22 ba B B 组组 1 1 计算 计算 1 1 2 2 123 123 20092009 310 310 课后记 课后记 二次根式二次根式 复习复习 一 学习目标一 学习目标 1 1 了解 了解二次根式的定义 掌握二次根式有意义的条件和性质 二次根式的定义 掌握二次根式有意义的条件和性质 2 2 熟练进行二次根式的乘除法运算 熟练进行二次根式的乘除法运算 3 3 理解同类二次根式的定义 熟练进行二次根式的加减法运算 理解同类二次根式的定义 熟练进行二次根式的加减法运算 4 4 了解最简二次根式的定义 能运用相关性质进行化简二次根式 了解最简二次根式的定义 能运用相关性质进行化简二次根式 二 学习重点 难点二 学习重点 难点 重点 二次根式的计算和化简 重点 二次根式的计算和化简 难点 二次根式的混合运算 正确依据相关性质化简二次根式 难点 二次根式的混合运算 正确依据相关性质化简二次根式 三 复习过程三 复习过程 一 自主复习 一 自主复习 1 1 若 若a a 0 0 a a的平方根可表示为的平方根可表示为 a a的算术平方根可表示的算术平方根可表示 2 2 当 当a a 时 时 有意义 有意义 1 2a 当当a a 时 时 没有意义 没有意义 35a 3 3 2 3 2 32 4 4 1872 4814 5 5 20125 2712 二 合作交流 展示反馈 二 合作交流 展示反馈 1 1 式子 式子成立的条件是什么成立的条件是什么 5 4 5 4 x x x x 2 2 计算 计算 1 1 2 2 253 4 1 122 3 2 125 9 x y 3 3 计算 计算 1 1 2 2 25 33 75 2 3 22 3 三 精讲点拨 三 精讲点拨 在二次根式的计算 化简及求值等问题中 常运用以下几个式子在二次根式的计算 化简及求值等问题中 常运用以下几个式子 1 1 22 0 0 aa aaaa 与 2 2 0 00 0 2 aa a aa aa 3 3 0 0 0 0 abab ababab ab 与 4 4 0 0 0 0 aaaa abab bbbb 与 5 5 22222 2 abaabbab abab 与 四 达标测试 四 达标测试 A A 组组