2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例练习 新人教A版选修2-2

1 1 41 4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 基础练习 1 将 8 分为两个非负数之和 使其立方之和为最小 则分法为 a 2 和 6 b 4 和 4 c 3 和 5 d 以上都不对 答案 b 2 某商品一件的成本为 30 元 在某段时间内若以每件x元出售 可卖出 200 x 件 要使利润最大每件定价为 a 80 元 b 85 元 c 90 元 d 95 元 答案 b 3 2019 年安徽合肥期末 设正三棱柱的体积为v 那么其表面积最小时 底面边长为 a v b c 2 d 1 24v 3 v 3 4v 答案 d 4 某汽车运输公司 购买了一批豪华大客车投入客运 据市场分析 每辆客车营运的 总利润y 万元 与营运年数x x n n 满足y x2 12x 25 则每辆客车营运多少年使其营 运年平均利润最大 a 3 b 4 c 5 d 6 答案 答案 c 5 用总长为 14 8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架 若所制作容器的底面一边比高 长出 0 5 m 则当高为 m 时 容器的容积最大 答案 1 6 某车间要盖一间长方形小屋 其中一边利用已有的墙壁 另三边新砌 现有存砖只 够砌 20 m 长的墙壁 问应围成长为 m 宽为 m 的长方形才能使小屋面积最大 答案 10 5 7 做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱 求它的高为多少时最省料 解析 设水箱底的边长为x m x 0 则高为 m 256 x2 所以水箱的表面积为s x2 4x 256 x2 则s 2x 令s 0 解得x 8 1 024 x2 2 当 0 x 8 时 s 0 当x 8 时 s 0 所以x 8 时 s有最小值 此时高为 4 m 所以当水箱的高为 4 m 时 最省料 8 在高为h 底面半径为r的圆锥内作一内接圆柱体 圆柱的一个底面在圆锥的底面内 则圆柱体的半径r为多大时 1 圆柱体的体积最大 2 圆柱体的表面积最大 解析 设圆柱体的底面半径为r 高为h 体积为v 表面积为s 作出截面图 如图 所示 abc中bc边上的高为h 则v r2h s 2 r2 2 rh h h h h h r r 1 r r v r2h 1 r r hr2 r3 0 r r h r s 2 r2 2 rh 1 r r 2 r2 2 r2 2 hr 0 r r h r 1 v 2 rh 3 r2 h r 令v 0 得r r 0 r r 2 3 显然当r r时 体积最大 2 3 最大体积为vmax 2h r2h 2 3r 1 2 3r r 4 27 2 s 4 r 2 h 4 h r r 令s 0 得r hr 2 h r 3 令 0 r 得h 2r hr 2 h r 若h 2r 显然当r 时 hr 2 h r 表面积最大 最大表面积为smax h2r 2 h r 若h 2r 则当r 0 r 时 s 0 s单调递增 表面积趋近于 2 r2 无最大值 能力提升 9 2019 年湖南长沙期末 一个帐篷 它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱 上部的形状是侧 棱长为 3 m 的正六棱锥 如图所示 当帐篷的体积最大时 帐篷的顶点o到底面中心o1的距 离为 a m b 1 m c m d 2 m 3 23 答案 d 解析 设oo1为x m 底面正六边形的面积为s m2 帐篷的体积为v m3 由题设得正六棱锥 底面边长为 m 于是底面正六边形的面积为s 6 32 x 1 28 2x x2 3 4 2 8 2x x2 帐篷的体积v 8 2x x2 x 1 8 2x x2 8 2x x2 3 3 2 1 3 3 3 2 3 3 2 8 2x x2 x 1 3 16 12x x3 v 12 3x2 令v 0 解得 3 2 3 2 3 2 x 2 或x 2 不合题意 舍去 当 1 x 2 时 v 0 当 2 x 4 时 v 0 所以当 x 2 时 v最大 10 内接于半径为r的球并且体积最大的圆柱的高为 a r b r 2 3 3 3 3 c d 以上都不对 1 2 答案 a 解析 设底面半径为r 高为h 则r2 r2 2 所以v h h 2 r2h h v h 令v h 0 得h r 显然此时体积v h 最 r2 h2 4 r2 3 4h2 2 3 3 4 大 11 某公司规定 对于小于或等于 150 件的订购合同 每件的收益为 200 元 对于多于 150 件的订购合同 每超过 1 件 则每件的收益比原来减少 1 元 那么订购 件的合 同会使公司的收益最大 答案 175 解析 设订购x件商品 则单件商品的收益为p x error 故总收益r x error 当 0 x 150 时 x 150 r x 取得最大值 30 000 当x 150 时 x 175 r x 取得最大值 30 625 故订购 175 件的合同会使总收益最大 12 2018 年江苏徐州模拟 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近似函数关系式为 v t error 1 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期 以i 1 t i表示第i月份 i 1 2 12 问一年内哪几个月份是枯水期 2 求一年内该水库的最大蓄水量 取 e 2 7 计算 解 1 根据t的范围分段求解 当 0 t 10 时 v t t2 14t 40 et 500 解得t10 又 0 t 10 故 0 t 4 当 10 t 12 时 v t 4 t 10 3t 41 50 50 化简得 t 10 3t 41 0 解得 10 t 41 3 又 10 t 12 故 10 t 12 综上 0 t 4 或 10 t 12 枯水期为 1 月 2 月 3 月 4 月 11 月 12 月共 6 个月 2 由 1 知v t 的最大值只能在 4 10 内达到 v t et et t 2 t 8 1 4 1 4t2 3 2t 4 1 4 1 4 令