解析几何中最值问题的解题策略

解析几何中最值问题的解题策略 圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法 其中 代数法是建立求解目标关 于某个或某两个变量的函数 通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值 下面 我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质 例题 1 已知 椭圆的离心率为 右焦点 直线 0 2 A 22 22 1 0 xy Eab ab 3 2 F AF 的斜率为 是坐标原点 2 3 3 O 1 求的方程 E 2 设过点的动直线 与相交于两点 当的面积最大时 求 的方程 AlE P QOPQ l 解 1 2 2 1 4 x Ey 2 由题意直线 的斜率存在 设l 2l ykx 联立消得 2 2 2 1 4 ykx x y y 22 41 16120kxkx 22 3 16 43 0 4 kk 得 2 222 12 22 16 43 1 k 1 k 1 k 4141 k PQxx kk 原点到直线的距离OPQ 2 2 d 1 k 所以 222 222 16 43 12 243443 1 2414141 OPQ kkk SPQ d kkk 当即时 取等号 此时 2 243k 2 73 44 k 7 2 2 l yx 先来解析这道题 应用了两个公式 一 弦长公式 222 12 1 k 1 k PQxxax a 是的系数 二 基本不等式 0 0 2 ab ababab 当时 不等式式取 号 我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论 2 例题 2 已知 设过点的动直线 与相交于两点 22 22 1 0 xy Eab ab 0 AmlE P Q 当的面积最大时 求 的方程 OPQ l 解 由题意直线 的斜率存在 设l l ykxm 联立消得 22 22 1 ykxm xy ab y 2222222222 20a kbxa b kmxa ma b 22 2222222 2 4 mb a b a kbmk a 222222 22 222222 4 1 k 1 k a b a kbm PQ a kba kb 原点到直线的距离OPQ 2 d 1 k m 所以 222222222222 222222 2 4 11 k 22 1 k OPQ a b a kbmm a kbmm SPQ dab a kba kb 22222 222 2 2 ma kbmab ab a kb 当 取等号 由此我们得出一个一般性结论 222222222 2a kbmma kbm 即时 若直线 的斜率当时 有最大值lk为定值 222 2 2 a kb m OPQ S 2 ab 若直线 的截距且满足 当时 有最大值lm 为定值 22 2mb 22 2 2 2 m b k a OPQ S 2 ab 若 当时 取不到最大值 此时不能用基本不等式求 22 2mb 22 2 2 2 0 m b k a OPQ S 2 ab 最值 我们得探索其他求最值的方法 用构造函数法或放缩法可以证明 当时 0k 有最大值 下面我们再看一道例题 OPQ S 例题 3 已知动圆与圆相切 且与圆相内切 记P 22 1 2 49Fxy 1 2 22 2 yxF 圆心的轨迹为曲线 PC 3 1 求曲线的方程 2 设为曲线上的一个不在轴上的动点 为坐标原点 CQCxO 过点作的平行线交曲线于两个不同的点 求 面积的最大值 2 FOQC M NQMN 1 设圆的半径为 圆心 的坐标为 PRP x y 由于动圆与圆相切 且与圆相内切 P 22 1 2 49Fxy 1 2 22 2 yxF 结合图像可知 动圆与圆只能内切 且P 1 F 1 2 7 1 PFR PFR 则 4 6 2121 FFPFPF 所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆 P 12 F F 且 则 3 2ac 222 5bac 所以曲线的方程为 C1 59 22 yx 2 设 直线的方程为 112233 M x yN xyQ xyMN2xmy 由 可得 22 2 1 95 xmy xy 22 5920250mymy 则 1212 22 2025 5959 m yyy y mm 所以 2 2 1212 14MNmyyy y 2 2 22 20100 1 5959 m m mm 2 2 30 1 59 m m 因为 所以 的面积等于 的面积 MNOQQMNOMN 点到直线的距离 O2 myxMN 2 2 1 d m 所以 的面积 QMN 22 22 2 1130 1 2301 225959 1 mm SMN d mm m 令 则 2 1mt 22 1mt 1 t 2 2 303030 4 54519 5 tt S tt t t 4 设 则 4 51f ttt t 2 22 454 5 t ft tt 因为 所以所以在上单调递增 1t 2 2 54 0 t ft t 4 5f tt t 1 所以当时 取得最小值 其值为 所以 的面积的最大值为 1t f t9QMN 30 9 说明说明 的面积 QMN 2 2 2121212 2 1301 4 259 m SOFyyyyy y m 例题 4 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 对称轴为坐标轴 且抛物线的焦点是yx24 2 它的一个焦点 又点在该椭圆上 2 1 A 1 求椭圆 E 的方程 2 若斜率为的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B C 当 2 l ABC 的面积最大时 求直线的方程 l 例题 5 设椭圆中心在坐标原点 A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线 y kx k 0 与 AB 相交于点 D 与椭圆相交于 E F 两点 1 求 k 的值 2 求四边形 AEBF 面积的最大值 DFED6 例题 6 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 G 的中心为坐标原点 左焦点为 F1 1 0 P 为 椭圆 G 的上顶点 且 PF1O 45 求椭圆 G 的标准方程 已知直线 l1 y kx m1与椭圆 G 交于 A B 两点 直线 l2 y kx m2 m1 m2 与椭 圆 G 交于 C D 两点 且 AB CD 如图所示 证明 m1 m2 0 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 12 根据 F1 1 0 PF1O 45 可得 b c 1 从而 a2 b2 c2 2 故可得椭圆 G 的 标准方程 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 直线 l1 y kx m1与椭圆 G 联立 利用韦达定理 可求 AB CD 的长 利用 AB CD 可得结论 求出两平行线 AB CD 间的距离为 d 则 表示出四边形 ABCD 的 面积 S 利用基本不等式 即可求得四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值 解析解析 解 设椭圆 G 的标准方程为 5 因为 F1 1 0 PF1O 45 所以 b c 1 所以 a2 b2 c2 2 2 分 所以 椭圆 G 的标准方程为 3 分 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 证明 由消去 y 得 则 5 分 所以 同理 7 分 因为 AB CD 所以 因为 m1 m2 所以 m1 m2 0 9 分 解 由题意得四边形 ABCD 是平行四边形 设两平行线 AB CD 间的距离为 d 则 因为 m1 m2 0 所以 10 分 所以 或 所以 当时 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 12 分 6 一 辈子时光在匆忙中流逝 谁都无法挽留 多少人前半生忙忙碌碌 奔波追逐 后半生回望过去 难免感叹一生的碌碌无为 恨时光短暂 荒废了最好的光阴 人过中年 不停跟时间妥协 之所以不争抢 处世淡然 完全是经过世故的淬炼 达到心智的成熟 7 有朋友问我 怎样写出滋润心灵的文字 是要查字典 引用名言 还是有什么规律 我笑着回 随心随意 不为难自己 你为难自己 就要刻意去效仿 你不随心随意就要被名利世俗困 扰 自然心态会有偏差 文字也染上了俗气 现实生活中 不乏完美主义者 终日在不食人间烟火的意境中活着 虚拟不切合实际 如此 唯有活在当下 才是真正的人生笺言 常常想 不想活在过去的人 是经历了太多的大起大 落 不想被束缚在心灵蜗居里的人 是失去的太多 一番大彻大悟后 对视的眼神定会愈发清澈 坦然笑对人生的雨雪冰霜 对于随波逐流的人们 难免要被世俗困扰 不问过去 不畏将来又将是怎么样的一种纠葛 无从知晓 不得不说 人是活在矛盾中的 既要简单 又难淡然 挣扎在名利世俗中 一切身不由己 又有那样的生活是我们自己想要的呢 人前 你笑脸相迎 带着伪装的面具 不敢轻易得罪人 人后 黯然伤怀 总感叹命运的不公平 人生的不如意 常常仰望别人的幸福 而忽视了自己 却不知你与他所想要的幸福 都 只得一二 十之八九只有在希冀中追求 不是吗 人活一辈子 心怀梦想 苍凉追梦 难能可贵的是执着向前 义无反顾 最惧怕瞻前顾后 退缩不前 一生短暂如光影交错 有几个人能放下牵绊 有几个人能不难为自己 活的精彩呢 我们的一生 是匆忙的行走 谁的人生 不是时刻在被命运捉弄中前行 我想 我是无法和命运抗衡的 却又时刻想做真实的自己 眼下的生活是一面镜子 对照着卑微的自己 心有万 千光芒 无法放弃的却总是太多太多 中年 人生的分水岭 不再有小女孩的浪漫情怀 撒娇卖萌 穿着也越发简单 舒适即可 年轻时可以穿紧身裙 牛仔裤 甚至小一码的高跟鞋 不惜磨破了脚板 夹痛了脚趾 依旧笑 魇如花 人前卖弄 年少时 青春做砝码 别人的一句赞美能心头飘飘然 走在马路上 陌生男子的回头率 成了青春的资本 忘乎所以 年龄越大 对身边的一切似乎没了热情 争吵 攀比 打扮 都没了兴趣 有人说 女人要爱自己 打扮的漂漂亮亮的才行 而我却恰恰相反 正如有一天涂了口红出门 儿子吓了一跳 一句太庸俗 再昂贵品牌的口红你都不适合 让我哑然失笑 原来 他宁愿喜欢素面朝天的妈妈 也不想要矫揉造作的中年妇女 我必须保持最初的简洁 亦或简单 居家女人虽平庸 却总想活出真我 不喜欢的东西 学会舍弃 生活趋于安静 每天打理家务 照顾子女 空闲的时间看看书 散散步 陪婆婆去买菜 少一些功利心 多一些平常心 生活便达到了想要的简单 人过中年天过午 流逝的时间不会等我的 不想为难自己了 几十年光阴里 不停做着事与愿违的选择 极力说服自己 多替别人想想 多顾及别人的感受 却忽视了委屈的自己 我承认 给自己负担 就是难为自己 不愿意放下 就是心态使然 其实 你大可不必为了别人改变自己 为自己活着 才是真理 从今天起 不愿意迎合的人 选择放手 卑鄙下流 虚情假意的损友 拒绝交往 只要随心随意 什么都不是难题 要明白 他们走近你的世界 只想利用你 却从不顾及你的感受 既保持若即若离 又想无偿索求 时刻为难着你 美其名曰 这是一份难得的缘 一辈子时光在匆忙中流逝 谁都无法挽留 多少人前半生忙忙碌碌 奔波追逐 后半生回望过去 难免感叹一生的碌碌无为 恨时光短暂 荒废了最好的光阴 人过中年 不停跟时间妥协 之所以不争抢 处世淡然 完全是经过世故的淬炼 达到心智的成熟 有朋友问我 怎样写出滋润心灵的文字 是要查字典 引用名言 还是有什么规律 我笑着回 随心随意 不为难自己 你为难自己 就要刻意去效仿 你不随心随意就要被名利世俗困 扰 自然心态会有偏差 文字也染上了俗气 8 现实生活中 不乏完美主义者 终日在不食人间烟火的意境中活着 虚拟不切合实际 如此 唯有活在当下 才是真正的人生笺言 常常想 不想活在过去的人 是经历了太多的大起大 落 不想被束缚在心灵蜗居里的人 是失去的太多 一番大彻大悟后 对视的眼神定会愈发清澈 坦然笑对人生的雨雪冰霜 对于随波逐流的人们 难免要被世俗困扰 不问过去 不畏将来又将是怎么样的一种纠葛 无从知晓 不得不说 人是活在矛盾中的 既要简单 又难淡然 挣扎在名利世俗中 一切身不由己 又有那样的生活是我们自己想要的呢 人前 你笑脸相迎 带着伪装的面具 不敢轻易得罪人 人后 黯然伤怀 总感叹命运的不公平 人生的不如意 常常仰望别人的幸福 而忽视了自己 却不知你与他所想要的幸福 都 只得一二 十之八九只有在希冀中追求 不是吗 人活一辈子 心怀梦想 苍凉追梦 难能可贵的是执着向前 义无反顾 最惧怕瞻前顾后 退缩不前 一生短暂如光影交错 有几个人能放下牵绊 有几个人能不难为自己 活的精彩呢 我们的一生 是匆忙的行走 谁的人生 不是时刻在被命运捉弄中前行 我想 我是无法和命运抗衡的 却又时刻想做真实的自己 眼下的生活是一面镜子 对照着卑微的自己 心有万 千光芒 无法放弃的却总是太多太多 中年 人生的分水岭 不再有小女孩的浪漫情怀 撒娇卖萌 穿着也越发简单 舒适即可 年轻时可以穿紧身裙 牛仔裤 甚至小一码的高跟鞋 不惜磨破了脚板 夹痛了脚趾 依旧笑 魇如花 人前卖弄 年少时 青春做砝码 别人的一句赞美能心头飘飘然 走在马路上 陌生男子的回头率 成了青春的资本 忘乎所以 年龄越大 对身边的一切似乎没了热情 争吵 攀比 打扮 都没了兴趣 有人说 女人要爱自己 打扮的漂漂亮亮的才行 而我却恰恰相反 正如有一天涂了口红出门 儿子吓了一跳 一句太庸俗 再昂贵品牌的口红你都不适合 让我哑然失笑 原来 他宁愿喜欢素面朝天的妈妈 也不想要矫揉造作的中年妇女 我必须保持最初的简洁 亦或简单 居家女人虽平庸 却总想活出真我 不喜欢的东西 学会舍弃 生活趋于安静 每天打理家务 照顾子女 空闲的时间看看书 散散步