直线与圆的位置关系.pptVIP

4 2直线 圆的位置关系4 2 1直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 圆的标准方程和一般方程分别是什么 下面我们以太阳的起落为例 以蓝线为水平线 圆圈为太阳 注意观察 1 理解直线与圆的位置的种类 重点 2 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 重点 难点 3 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 难点 1 直线4x 3y 40和圆x2 y2 100的位置关系是 A 相交B 相切C 相离D 无法确定 解析 选A 因为所以直线与圆相交 一 预习检测 2 若直线x y m 0与圆x2 y2 m相切 则m为 A 0或2B 2C D 无解 解析 选B 由圆心到直线的距离为半径得所以m 2 故选B 一 预习检测 3 已知P x y x y 2 Q x y x2 y2 2 那么P Q为 A B 1 1 C 1 1 D 1 1 解析 选C 解方程组 一 预习检测 4 直线x 1与圆 x 1 2 y2 1的位置关系是 解析 因为圆心 1 0 到直线x 1的距离d 2 1 所以直线x 1与圆 x 1 2 y2 1相离 答案 相离 一 预习检测 5 直线与圆相交 圆的半径为r 且直线到圆心的距离为5 则r与5的大小关系为 解析 因为直线与圆相交 所以d5 一 预习检测 1 直线和圆只有一个公共点 叫做直线和圆相切 2 直线和圆有两个公共点 叫做直线和圆相交 3 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆相离 1 直线与圆的位置关系 二 知识梳理 o 圆心O到直线l的距离d l 半径r 1 直线l和 O相离 此时d与r大小关系为 d r 提示 o 半径r 2 直线l和 O相切 此时d与r大小关系为 d r o 半径r 3 直线l和 O相交 此时d与r大小关系为 d r 1 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断 2 直线与圆的位置关系的判定方法 二 知识梳理 2 利用直线与圆的公共点的个数进行判断 二 知识梳理 直线l x 0与圆x2 y2 1的位置关系是 A 相切B 相交不过圆心C 相交且过圆心D 相离 即时训练 C 类型一 直线与圆位置关系的判断 典例1 求实数k的取值范围 使直线l y kx 2与圆M x2 y2 1 1 相离 2 相切 3 相交 三 例题讲解 类型一 直线与圆位置关系的判断 典例1 求实数k的取值范围 使直线l y kx 2与圆M x2 y2 1 1 相离 2 相切 3 相交 三 例题讲解 解析 方法一 代数法 将y kx 2代入x2 y2 1 得 k2 1 x2 4kx 3 0 4k 2 4 k2 1 3 4 k2 3 1 当l与圆M相离时 0 即k2 3 0 所以k的范围为 2 当l与圆M相切时 0 即k2 3 0 即k 3 当l与圆M相交时 0 即k2 3 0 即 方法二 几何法 圆心M 0 0 到直线y kx 2 0的距离d 当d或k1时 即 1 k 直线与圆相离 规律总结 直线与圆的位置关系判断的两种方法 1 几何法 把直线方程化为一般式 利用圆的方程求出圆心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 并将此距离与圆的半径作比较 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 2 代数法 把直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法 得到一元二次方程 求出其 的值 比较 与0的大小 得出结论 类型二 圆的切线问题 典例2 求与直线y x 2平行且与圆 x 2 2 y 3 2 8相切的直线的方程 三 例题讲解 解析 设直线的方程为y x m 即x y m 0 x 2 2 y 3 2 8的圆心坐标为 2 3 半径为由得m 5或m 3 所以直线的方程为y x 5或y x 3 延伸探究 1 变换条件 若将本例中条件 与直线y x 2平行 换为 与直线y x 2垂直 且与圆 x 2 2 y 3 2 8相切的直线的方程 解析 设所v为y x m 即x y m 0 由得m 1或m 9 故切线方程为y x 1或y x 9 2 变换条件 若将本例中条件 与直线y x 2平行 换为 求过点P 5 1 且与圆 x 2 2 y 3 2 8相切的直线的方程 解析 设所求切线方程为y 1 k x 5 即kx y 5k 1 0 由得k 6 2 故所求切线方程为 6 2 x y 31 10 0或 6 2 x y 31 10 0 变式练习 D 规律总结 圆的切线方程的两种求解方法 1 几何法 设出切线的方程 利用圆心到直线的距离等于半径 求出未知量的值 此种方法需要注意斜率不存在的情况 要单独验证 若符合题意则直接写出切线方程 2 代数法 设出直线的方程后与圆的方程联立消元 利用 0求未知量的值 若消元后的方程是一元一次方程 则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在 可直接写出切线的方程 2 代数法 设出直线的方程后与圆的方程联立消元 利用 0求未知量的值 若消元后的方程是一元一次方程 则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在 可直接写出切线的方程 例3已知过点M 3 3 的直线l被圆x2 y2 4y 21 0所截得的弦长为 求直线l的方程 解 将圆的方程写成标准形式 得x2 y 2 2 25 所以 圆心的坐标是 0 2 半径长r 5 如图 因为直线l被圆所截得的弦长是 所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为 三 例题讲解 因为直线l过点M 3 3 所以可设所求直线l的方程为y 3 k x 3 即kx y 3k 3 0 根据点到直线的距离公式 得到圆心到直线l的距离因此 即两边平方 并整理得到2k2 3k 2 0 解得k 或k 2 所以 所求直线l有两条 它们的方程分别为y 3 x 3 或y 3 2 x 3 即x 2y 9 0 或2x y 3 0 小结 1 2 3 直线与圆相交 求弦长问题时 我们经常抓住半径 半弦 弦心距构成的直角三角形求解 注意数形结合思想 方程思想 运动变化观点的综合运用 直线Ax By C 0 A B不同时为零 和圆 x a 2 y b 2 r2 则圆心 a b 到此直线的距离为 d r d r d r d与r 2个 1个 0个 交点个数 图形 相交 相切 相离 位置 r d r d r d 则有以下关系 求圆心坐标及半径r 配方法 圆心到直线的距离d 点到直线距离公式 消去y 判断直线和圆的位置关系 几何方法 代数方法 拓展类型 与弦长有关的最值问题 典例 1 已知圆C x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m R 证明不论m取什么实数 直线l与圆恒交于两点 求直线被圆C截得的弦长最短时l的方程 2 已知直线l kx y 3k 0 圆M x2 y2 8x 2y 9 0 求证 直线l与圆M必相交 当圆M截l所得弦最长时 求k的值 当圆M截l所得弦最短时 求k的值 1 若直线x y a 0与圆x2 y2 a相切 则a等于 A 2或0B C 2D 4 C 2 2015 武威高一检测 直线y x 1与圆x2 y2 1的位置关系是 A 相切B 相交但直线不过圆心C 直线过圆心D 相离 B D C 5 已知圆的方程为x2 y2 4 则经过点 2 0 的圆的切线方程是 解析 显然点 2 0 在圆上 可求得过此点的圆的切线方程为x 2 即x 2 0 x 2 0 补偿训练 过点A 4 3 作圆C x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线的方程 解析 因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点A在圆外 1 若所求切线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 因为圆心C 3 1 到切线的距离等于半径 半径为1 所以即 k 4 所以k2 8k 16 k2 1 解得k 所以切线方程为y 3 x 4