放缩法技巧全总结(非常精辟-是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)

1 例析放缩法在数列不等式中的应用例析放缩法在数列不等式中的应用 孙卫孙卫 安徽省芜湖市第一中学 安徽省芜湖市第一中学 241000241000 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现 在高考试题中占有重要地位 在近 几年的高考试题中 多个省份都有所考查 甚至作为压轴题 而数列不等式的求解常常用到放缩法 笔 者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时 普遍感到困难 找不到解题思路 现就放缩法在 数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下 1 直接放直接放缩缩 消 消项项求解求解 例例 1 2008 辽宁 21 在数列中 且成等差数列 成等比数 nn ab 11 2 4ab 1 nnn a b a 11 nnn b ab 列 Nn 求及 由此猜测的通项公式 并证明你的结论 234 a a a 234 b b b nn ab 证明 1122 1115 12 nn ababab 分析 分析 数学归纳法 本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积 可将其放缩为等差型两项 之积 通过裂项求和 略解 2 1 1 nn an nbn n 2 时 由 知 11 115 612ab 1 21 2 1 nn abnnnn 故 1122 11111111 62 2 33 4 1 nn abababn n 11 111111 62 23341nn 综上 原不等式成立 11 11115 62 216412n 点评 点评 数列和式不等式中 若数列的通项为分式型 可考虑对其分母进行放缩 构造等差型因式之积 再用裂项的方法求解 另外 熟悉一些常用的放缩方法 如 2 1 1 11 2 1 nk nknn nnnnnnnnn 1 1 1 1 11 1 1 1 11 2 例例 2 2008 安徽 21 节选 设数列满足其中为实数 n a 1 1 3 11 Ncccaaa nn c 证明 对任意成立的充分必要条件是 0 1 n a nN 0 1 c 2 设 证明 1 0 3 c 1 1 3 n n acnN 分析 分析 数学归纳法证明 结论可变形为 即不等式右边为一等比数列通项形 1 3 1 n n ca 式 化归思路为对 用放缩法构造等比型递推数列 n a 1 即 1 3 1 1 1 1 2 111 nnnnn acaaaca 解 解略 设 当时 结论成立 当 时 1 0 3 c 1n 1 0a 2n 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 由 1 知 所以 且 3 1 0 c 1 0 1 n a 2 11 13 nn aa 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 1 3 n n acnN 点评 点评 直接对多项式放大后 得到的是等比型递推数列 再逐项递推得到结论 通过放缩得到等比型递 推数列是求解数列不等式的另一个重要的类型 2 利用基本不等式放利用基本不等式放缩缩 例例 3 2008 浙江 22 已知数列 记 n a0 n a0 1 a 1 2 1 2 1 Nnaaa nnn nn aaaS 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证 当时 Nn 1 nn aa2 nSn3 n T 分析 分析 在的条件下 的等价形式为 要证 只需证0 n a 1 nn aa 2 1 2 nn aa 2 1 2 nn aa 即证 可用数学归纳法证明 01 1 22 1 nnn aaa1 n a 由 累加及可得 1 22 1 1 nnn aaa1 n a 和式通项的分母由 累乘得到的 条件中可有得到 但 n a 1 2 11 1 1 kkk aaa 的分子分母次数不同 可用基本不等式将其化为等比型递推数列 1 2 1 1 1 k k k a a a 解略 解略 3 证明 由 得 22 11 12 kkkk aaaa 1 1 1 2 313 12 k kk a knn aa 所以 2 342 1 3 1 1 1 2 n n n a a aaaa 于是 2222 2322 11 3 1 1 1 2 22 nn nnn n aa n aaaaa 故当时 又因为 所以 3n 2 11 1 13 22 n n T 123 TTT 3 n T 点评 点评 本题第三问 基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能 在公比时 等比数列的前1 q 项和趋向于定值 即前项和有界 这为数列和式范围的证明提供了思路 nn 3 利用数列的利用数列的单调单调性放性放缩缩 例例 4 数列为非负实数列 且满足 n a02 21 kkk aaa k i i ka 1 2 11 求证 2 1 2 0 2 1 k k aa kk 分析 分析 有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩 证明 若有某个 则 从而从起 数列单调递增 和 1 kk aa 2211 kkkkk aaaaa k a n a 会随 n 的增大而趋向于无穷 与矛盾 所以是单调递 nn aaaS 21 k i i ka 1 2 11 n a 减的数列 即 令0 1 kk aa 2 1 1 kaab kkn 由得 即02 21 kkk aaa 211 kkkk aaaa 2 1 1 kbb kk 由于 k aaa 21 1 k k k k k k b kk bk kbbbb abab aabb aaab 2 1 321 32 32 32 2 321 321 321 321 4 故 2 2 1 2 kkk bk 点评 点评 本题考虑了数列 的单调性 然后利用放缩法进行证明 n a n b 又如 例 3 的第三问也可用单调性证明 及 1 nn aa 0 n a 1 1 1 1 1 1 1 221 n n aaaa 要证 22 2 12 221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 aa a aaaa T n n n n 3 n T 只要证 即而所以问题得证3 1 1 1 1 2 a 2 1 2 a 2 1 2 15 2 a 4 放放缩缩法在数学法在数学归纳归纳法的法的应应用用 数列不等式是与自然数有关的命题 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法 应用数学 归纳法证明时 通常要利用放缩法对条件进行适当的转化 才能实现由时成立到时也成kn 1 kn 立的过渡 举例略 综合以上分析 我们发现 在数列不等式的求解过程中 通过放缩法的应用 主要使数列不等式转 化为以下两种类型 1 可直接裂项的形式 再求和证明求解 等差型 2 等比型递推数列 时 数列前项和有界 等比型 1 qn 数列不等式是一类综合性较强的问题 我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析 求解 在解 题过程中要充分挖掘题设条件信息 把条件合理的转化 加强 放缩 同时结合问题的结构 形式等特 征 使条件与结论建立联系 从而使解题思路通畅 其中合理 适当的放缩是能否顺利解题的