高中数学24.排列、组合和二项式定理144

139 排列 组合和二项式定理排列 组合和二项式定理 1 两个原理两个原理 1 分类计数原理和分步计数原理是排列组合的 基础和核心 既可用来推导排列数 组合数公式 也可用来直接解题 它们的共同点都是把一个事 件分成若干个分事件来进行计算 只不过利用分 类计算原理时 每一种方法都可能独立完成事件 如需连续若干步才能完成的则是分步 利用分类 计数原理 重在分 类 类与类之间具有独立性和 并列性 利用分步计数原理 重在分步 步与步之 间具有相依性和连续性 比较复杂的问题 常先分 类再分步 分类相加 分步相乘 2 一个模型 影射个数 BAf 若 A 有年 n 个元素 B 有 m 个元素 则从 A 到 B 能建立个不同的影射 n m n 件不同物品放入 m 个抽屉中 不限放法 共有多少种不同放法 解 种 n m 四人去争夺三项冠军 有多少种方法 从集合 A 1 2 3 到集合 B 3 4 的映射 f 中满足条件 f 3 3 的影射个数是多少 求一个正整数的约数的个数 3 含有可重元素的排列问题 对含有相同元素求排列个数的方法是 设重 集 S 有 k 个不同元素 a1 a2 an其中限重复数 为 n1 n2 nk 且 n n1 n2 nk 则 S 的排列 个数等于 21k nnn n n 如 已知数字 3 2 2 求其排列个数 又例如 数字 5 5 5 求其排列个 3 2 1 21 n 数 其排列个数 1 3 3 n 2 2 排列数排列数中中 m n A1 nmnm N 组合数组合数中 m n C 1 0 nm nmnm N 1 1 排列数公式排列数公式 1 2 1 m n n An nnnmmn nm 1 2 2 1 n n Ann nn 如 如 1 1 1 2 3 n 4 nnN 的个位数字为 答 3 2 2 满足的 答 8 2 88 6 xx AA x 2 2 组合数公式组合数公式 1 1 1 2 1 m mn n m m Annnmn Cmn Ammm nm 规定 01 0 1 n C 如如已知 求 n m 的值 1 6 mnm nmn CCA 答 m n 2 3 3 排列数 组合数的性质排列数 组合数的性质 mn m nn CC 1 11 mmm nnn CCC 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n m 个元素 因此从 n 个不同元素中取出 n m 个元 素的方法是一一对应的 因此是一样多的就是说 从 n 个不同元素中取出 n m 个元素的唯一的一个 组合 或者从 n 1 个编号不同的小球中 n 个白球 一个红球 任取 m 个不同小球其不同选法 分二 类 一类是含红球选法有一类是不 1m n 1 1 1m n CCC 含红球的选法有 m n C 根据组合定义与加法原理得 在确定 n 1 个 不同元素中取 m 个元素方法时 对于某一元素 只存在取与不取两种可能 如果取这一元素 则需 从剩下的 n 个元素中再取 m 1 个元素 所以有 C 如果不取这一元素 则需从剩余 n 个元素中 1 m n 取出 m 个元素 所以共有 C种 依分类原理有 m n m n m n m n CCC 1 1 1 1 kk nn kCnC 1 1 1 1 1 1 k n k n C n C k 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 1 n nnn 11 1 1 n nnn 4 常用的证明组合等式方法 裂项求和法 如 利用 1 1 1 1 4 3 3 2 2 1 nn n n n n 1 n 1 1 1 1 nnn n 导数法 数学归纳法 倒序求和法 1321 232 nn nnnn nnCCCC 一般地 已知等差数列 an 的首项 a1 公差为 d 1 1 2 3 1 2 0 1 2 nn nnnnn nCaCaCaCa 1 1 2 2 n nda 递推法 即用递推 如 m n m n m n CCC 1 1 4 1 33 5 3 4 3 3 nn CCCCC 构造二项式 如 n n n nnn CCCC 2 22120 证明 这里构造二项式 140 A CB D 其中的系数 左边 nnn xxx 2 1 1 1 n x 为 022110 n n n n nn n nn n nn CCCCCCCC 而右边 22120 n nnn CCC n n C2 更一般地 r nm r nmn r mn r m CCCCCCC 0110 3 3 解排列组合问题的依据是解排列组合问题的依据是 分类相加分类相加 每 类方法都能独立地完成这件事 它是相互独立的 一次的且每次得出的是最后的结果 只需一种方 法就能完成这件事 分步相乘分步相乘 一步得出的结果 都不是最后的结果 任何一步都不能独立地完成 这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件 事 各步是关联的 有序排列 无序组合有序排列 无序组合 如 如 1 1 将 5 封信投入 3 个邮筒 不同的投法 共有 种 答 5 3 2 2 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取 出 3 台 其中至少要甲型与乙型电视机各一台 则不同的取法共有 种 答 70 3 3 从集合和中各取 1 2 3 1 4 5 6 一个元素作为点的坐标 则在直角坐标系中能确 定不同点的个数是 答 23 4 4 72 的正约数 包括 1 和 72 共有 个 答 12 5 5 的一边 AB 上有 4 个点 另一边A AC 上有 5 个点 连同的顶点共 10 个点 以A 这些点为顶点 可以构成 个三角形 答 90 6 6 用六种不同颜色把右图中 A B C D 四块区域分开 允许同一颜色涂不 同区域 但相邻区域不能是同一种颜色 则共有 种不同涂法 答 480 7 7 同室 4 人各写 1 张贺年卡 然后每人从 中拿 1 张别人送出的贺年卡 则 4 张贺年卡不同 的分配方式有 种 答 9 8 8 是集合到集合f Ma b c 的映射 且 1 0 1N f af b 则不同的映射共有 个 答 7 f c 9 9 满足的集合 4 3 2 1 CBA A B C 共有 组 答 4 7 3 3 解排列组合问题的方法有解排列组合问题的方法有 一般先选再排 即先组合再排列 先分再排 弄 清要完成什么样的事件是前提 解决这类问题通 常有三种途径 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 以元素为主 应先满足特殊元素的要求 再考 虑其他元素 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 以位置为主考虑 即先满足特殊位置的要求 再考虑其他位置 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头即采用 先特殊后一般 的解题原 则 3 先不考虑附加条件 计算出排列或组合数 再 减去不符合要求的排列数或组合数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 前两种方式 叫直接解法 后一种方式叫间接 剔除 解法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 注 数量不大时可以逐一排出结果 如 如 1 1 某单位准备用不同花色的装饰石材分 别装饰办公楼中的办公室 走廊 大厅的地面及 楼的外墙 现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的 石材可选择 其中 1 号石材有微量的放射性 不 可用于办公室内 则不同的装饰效果有 种 答 300 2 2 某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码 某人采用千位 百位上的数字之积作为 十位个位上的数字 如 2816 的方法设计密码 当积为一位数时 十位上数字选 0 千位 百位上 都能取 0 这样设计出来的密码共有 种 答 100 3 3 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 可 以组成无重复数字的四位偶数 个 答 156 4 4 某班上午要上 语 数 外和体育 4 门课 如体育不排在第一 四节 语文不排在第一 二节 则不同排课方案种数为 答 6 5 5 四个不同的小 球全部放入编号为 1 2 3 4 的四个盒中 恰有两个空盒的放法 有 种 甲球只能放入第 2 或 3 号盒 而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有 种 答 84 96 6 6 设有编号为 1 2 3 4 5 的五个茶杯 和编号为 1 2 3 4 5 的 5 个杯盖 将五个杯 盖盖在五个茶杯上 至少有两个杯盖和茶杯的编 号相同的盖法有 种 答 31 7 在平面直角坐标系中 由六个点 0 0 1 2 2 4 6 3 1 2 2 1 可以确 定三角形的个数为 答 15 4 常见的题目类型 1 相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法 把相邻的若干个特殊 元素 捆绑 为一个大元素 然后再与其余 普 通元素 全排列 最后再 松绑 将特殊元素在 这些位置上全排列 如 如 1 1 把 4 名男生和 4 名女生排成一排 女 生要排在一起 不同的排法种数为 答 2880 2 2 某人射击 枪 命中 枪 枪命中中 恰好有 枪连在一起的情况的不同种数为 答 20 3 3 把一同排 6 张座位编号为 1 2 3 4 5 6 的电影票全部分给 4 个人 每 人至少分 1 张 至多分 2 张 且这两张票具有连 141 续的编号 那么不同的分法种数是 答 144 2 不相邻不相邻 相间相间 问题插空法问题插空法 某些元素不 能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法 即先安排好没有限制元条件的元素 然后再 把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 如 如 1 1 3 人坐在一排八个座位上 若每人的左右两 边都有空位 则不同的坐法种数有 种 答 24 2 2 某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排 成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将 这两个节目插入原节目单中 那么不同的插法种 数为 答 42 3 多排问题单排法多排问题单排法 如如若 2n 个学生排成 一排的排法数为 x 这 2 n 个学生排成前后两排 每排各 n 个学生的排法数为 y 则 x y 的大小关系 为 答 相等 4 多元问题分类法多元问题分类法 如 如 1 1 某化工厂实验生产中需依次投入 2 种 化工原料 现有 5 种原料可用 但甲 乙两种原 料不能同时使用 且依次投料时 若使用甲原料 则甲必须先投放 那么不同的实验方案共有 种 答 15 2 2 某公司新招聘进 8 名员工 平均分给下 属的甲 乙两个部门 其中两名英语翻译人员不能 同给一个部门 另三名电脑编程人员也不能同给 一个部门 则不同的分配方案有 种 答 36 3 3 9 名翻译中 6 个懂英语 4 个懂日语 从中选拨 5 人参加外事活动 要求其中 3 人担任 英语翻译 选拨的方法有 种 答 90 5 有序问题组合法有序问题组合法 如 如 1 1 书架上有 3 本不同的书 如果保持这 些书的相对顺序不便 再放上 2 本不同的书 有 种不同的放法 答 20 2 2 百米决赛有 6 名运动 A B C D E F 参赛 每个运动员的速度都 不同 则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结 果共有 种 答 360 3 3 学号为 1 2 3 4 的四名学生的考试 成绩且 89 90 91 92 93 1 2 3 4 i xi 满足 则这四位同学考试成 1234 xxxx 绩的所有可能情况有 种 答 15 4 4 设集合 对 1 2 3 4 5 6 7 8A 任意 有 则映xA 1 2 3 fff 射的个数是 答 fAA 35 88 C 5 5 如果一个三位正整数形如 321 aaa 满足 则称这样的三位数为 2321 aaaa 且 凸数 如 120 363 374 等 那么所有凸数个数 为 答 240 6 6 离心率等于 其中q p log 且 的不同形91 91 qp Nqp 状的的双曲线的个数为 答 26 6 选取问题先选后排法选取问题先选后排法 如如某种产品有 4 只次品和 6 只正品 每只产品均不相同且可区分 今每次取出一只测试 直到 4 只次品全测出为止 则最后一只次品恰好在第五次测试时 被发现的 不同情况种数是 答 576 7 至多至少问题间接法至多至少问题间接法 如如从 7 名男同学 和 5 名女同学中选出 5 人 至少有 2 名女同学当 选的选法有 种 答 596 提醒 亦可分类来求 8 相同元素分组可采用隔板法相同元素分组可采用隔板法 如 如 1 1 10 个相同的球各分给 3 个人 每人 至少一个 有多少种分发 每人至少两个呢 答 36 15 2 2 某运输公司有 7 个车队 每个车队的车 都多于 4 辆且型号相同 要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队 每个车队至少抽 1 辆车 则不同的抽法有多少种 答 84 小球入筐型 5 个小球放入 三个不同的 筐子 有多少放法 每筐至少一个 有多少放法 小球相同 小球不同 注意 小球相同还是不同 是至少一个还是随 便 多元一次方程的不定正整数 还是非负整数 解的个数 隔板法 如如的正整数解的组数就12 4321 xxxx 可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸 板 把球分成 4 个组 每一种方法所得球的数目依 次为显然 故 4321 xxxx 12 4321 xxxx 是方程的一组解 反之 方程的任何 4321 xxxx 一组解 对应着惟一的一种在 12 4321 yyyy 个球之间插入隔板的方式 如图所示 故方程的解和插板的方法一一对应 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 3 11 C 注意 若为非负数解的 x 个数 即用中 n aaa 21 等于 有 i a 1 i x 进而 AaaaAxxxx nn 1 11 21321 转化为求 a 的正整数解的个数为 1 n nA C x1x2x3x4 142 注 不定方程的解的个数 2n xxxm 1 方程 2n xxxm 1 的正整数解有个 n mN 1 1 m n C 方程 2n xxxm 1 的非负整数解有 个 n mN 1 1 n m n C 方程 2n xxxm 1 满足条件 n mN i xk kN 的非负整数解有21in 个 1 1 2 1 m n nk C 方程 2n xxxm 1 n mN 满足条件 的正 i xk kN 21in 整数解有 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC 9 9 分组问题 分组问题 要注意区分是平均分组还是 非平均分组 平均分成平均分成 n n 组问题别忘除以组问题别忘除以 n n 如如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组 若把他们分配到 4 所学校去为学生体检 每所学 校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法 有 种 答 37440 10 错位问题 及其推广 贝努利装错笺问题 信封信与个信nn 封全部错位的组合数为 推 1111 1 2 3 4 n f nn n 广 个元素与个位置 其中至少有个nnm 元素错位的不同组合总数为 1234 1 2 3 4 1 1 mmmm ppmm mm f n mnCnCnCnCn CnpCnm 1234 1224 1 1 1 pm pm mmmmmm pm nnnnnn CCCCCC n AAAAAA 提醒提醒 在求解排列与组合应用问题时 应 1 把具体问题转化或归结为排列或组合问题 2 通过分析确定运用分类计数原理还是分步 计数原理 3 分析题目条件 避免 选取 时重复和遗漏 4 列出式子计算和作答 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 5 二项式定理二项式定理 011 n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b 其中组合数叫做第 r 1 项的二项式系 r n C 数 展开式共有 n 1 项 其中第 r l 项 称为二 1 0 1 2 rn rr rn TC ab r n 项展开式的通项 二项展开式通项的主要 用途是求指定的项 特定项 常数项 有理 项 等有关问题 二项式定理有两个特殊形式 在解题时经常 用到 且很方便 需熟记 特别提醒特别提醒 项与项数 项与项数 项的系数与二项式 系数 奇数项与奇次项 偶数项与偶次项的区别 分别是不同的两个概念 但当二项式的两个项的 系数都为 1 时 系数就是二项式系数 如在 的展开式中 第 项的二项式系 naxb 数为 第 项的系数为 而 r n C rn rr n C ab 的展开式中的系数就是二项式系数 1 nx x 当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出 各项的二项式系数 审题时要注意区分所求的 是项还是第几项 求的是系数还是二项式系数 注意展开式的逆用 注意展开式中的项是否去 首 少尾 必须关注 n 是正整数 r 是非负整数 r 0 的情形容易忽视 且 r n 如 如 1 1 的展开式中常数项是 37 1 2 x x 答 14 2 2 的 3410 1 1 1 xxx 展开式中的的系数为 答 3 x 330 3 3 数的末尾连续出现零的个数是 100 111 答 3 4 4 展开后所得的的多项式 403 72 x x 中 系数为有理数的项共有 项 答 7 5 5 若 23456 1 61520156 21 xxxxxxxNx 且 的值能被 5 整除 则的 23456 1 61520156 21 xxxxxxxNx 且x 可取值的个数有 个 答 5 6 6 若二项式 1 0 yxxy且 按降幂展开后 其第二项不大于第 9 yx x 三项 则 的取值范围是 答 x 7 7 函数 1 的最大值 1010 1 sin 1 sin f xxx 是 答 1024 143 8 已知等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 求和 a1C 0 n a2C 1 n a3C 2 n an 1C n n 解 解 a1C 0 n a2C 1 n a3C 2 n an 1C n n a1C 0 n a1 qC 1 n a1q2C 2 n a1qnC n n a1 C 0 n qC 1 n q2C 2 n qnC n n a1 1 q n 6 6 二项式系数的性质 二项式系数的性质 1 对称性对称性 与首末两端 等距离 的两个 二项式系数相等 即 mn n m n CC 2 增减性与最大值增减性与最大值 当时 二 1 2 n r 项式系数 C的值逐渐增大 当时 C r n 1 2 n r 的值逐渐减小 且在中间取得最大值 当 n 为 r n 偶数时 中间一项 第 1 项 的二项式系数 2 n 取得最大值 当 n 为奇数时 中间两项 第 2 n n C 和 1 项 的二项式系数 2 1 n 2 1 n 相等并同时取最大值 11 22 nn nn CC 如 如 1 1 在二项式的展开式中 系 11 1 x 数最小的项的系数为 答 426 2 2 在的展开式中 第十项是二 1 nx 项式系数最大的项 则 答 17 18 或n 19 3 二项式系数的和二项式系数的和 01r nnn CCC 2 nn n C 0213 nnnn CCCC 1 2n 如 如 1 1 如果 则 122 12222187 nn nnn CCC 答 128 012n nnnn CCCC 2 2 化简 答 012 23 1 n nnnn CCCnC 1 2 2nn 7 7 赋值法 赋值法 应用 赋值法 可求得二项展开 式中各项系数和为 奇数 偶次 项 系数 1 f 和为 以及 偶数 奇次 项 1 1 2 1