数学归纳法习题

11 5 数学归纳法 时间 50 分钟 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 怀化模拟 用数学归纳法证明命题 当 n 是正奇数时 xn yn能被 x y 整除 在 第二步时 正确的证法是 A 假设 n k k N 证明 n k 1 命题成立 B 假设 n k k 是正奇数 证明 n k 1 命题成立 C 假设 n 2k 1 k N 证明 n k 1 命题成立 D 假设 n k k 是正奇数 证明 n k 2 命题成立 2 2011 鹤壁模拟 用数学归纳法证明 1 1 时 由 n 1 2 1 3 1 2n 1 k k 1 不等式成立 推证 n k 1 时 左边应增加的项数是 A 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k 1 3 2011 巢湖联考 对于不等式 n 1 n N 某同学用数学归纳法的证明过程如 n2 n 下 1 当 n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设当 n k k N 时 不等式成立 即 k 1 则当 n k 1 时 k2 k k 1 1 k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 2 2 当 n k 1 时 不等式成立 则上述证法 A 过程全部正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从 n k 到 n k 1 的推理不正确 4 用数学归纳法证明 n2 n 1 3 n 2 3 n N 能被 9 整除 要利用归纳假设证 n k 1 时的情况 只需展开 A k 3 3 B k 2 3 C k 1 3 D k 1 3 k 2 3 5 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 7 3 2 1 2 1 3 1 15 1 2 1 3 由此猜测第 n 个不等式为 n N 1 31 5 2 8 2011 东莞调研 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第 60 个数对是 9 如下图 在杨辉三角形中 从上往下数共有 n n N 行 在这些数中非 1 的数字之和是 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 三 解答题 共 3 小题 共 34 分 10 本小题满分 10 分 试证 当 n N 时 f n 32n 2 8n 9 能被 64 整除 11 本小题满分 12 分 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 an 4 an 1 2 n N 证明 an an 1 1 2 1 3 1 2n 1 n 2 答案 1 1 2 1 3 1 2n 1 n 2 8 解析 本题规律 2 1 1 3 1 2 2 1 4 1 3 2 2 3 1 5 1 4 2 3 3 2 4 1 一个整数 n 所拥有数对为 n 1 对 设 1 2 3 n 1 60 60 n 1 n 2 n 11 时还多 5 对数 且这 5 对数和都为 12 12 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 第 60 个数对为 5 7 答案 5 7 9 解析 所有数字之和 Sn 20 2 22 2n 1 2n 1 除掉 1 的和 2n 1 2n 1 2n 2n 答案 2n 2n 三 解答题 共 3 小题 共 34 分 10 证明 证法一 1 当 n 1 时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当 n k k N k 1 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 当 n k 1 时 由于 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即 f k 1 9f k 64 k 1 n k 1 时命题也成立 根据 1 2 可知 对于任意 n N 命题都成立 证法二 1 当 n 1 时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当 n k k N k 1 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由归纳假设 设 32k 2 8k 9 64m m 为大于 1 的自然数 将 32k 2 64m 8k 9 代入到 f k 1 中得 f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 n k 1 时命题也成立 根据 1 2 知 对于任意 n N 命题都成立 11 本小题满分 12 分 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 an 4 an 1 2 n N 证明 an an 1 2 n N 证明 证法一 用数学归纳法证明 1 当 n 0 时 a0 1 a1 a0 4 a0 所以 a0 a1 2 命题正确 1 2 3 2 2 假设 n k 1 k N 时命题成立 即 ak 1 ak 2 则当 n k 时 ak ak 1 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak 1 2 1 2 1 2 ak 1 ak 4 ak 1 ak 1 2 而 ak 1 ak0 所以 ak ak 1 0 又 ak 1 ak 4 ak 4 ak 2 2 2 所以 n k 时命题成立 1 2 1 2 由 1 2 可知 对一切 n N 时有 an an 1 2 证法二 用数学归纳法证明 1 当 n 0 时 a0 1 a1 a0 4 a0 所以 0 a0 a1 2 1 2 3 2 2 假设 n k 1 k N 时有 ak 1 ak 2 成立 令 f x x 4 x f x 在 0 2 上单调递增 1 2 所以由假设有 f ak 1 f ak f 2 即 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 4 2 1 2 1 2 1 2 也即当 n k 时 ak ak 1 2 成立 所以对一切 n N 有 ak ak 1 2 12 本小题满分 12 分 2011 开封调研 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且 an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比列 n N 求 a2 a3 a4与 b2 b3 b4的值 由 此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 解 由条件得 2bn an an 1 a bnbn 1 2n 1 又 a1 2 b1 4 由此可得 a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测 an n n 1 bn n 1 2 用数学归纳法证明 当 n 1 时 a1 2 b1 4 结论成立 假设当 n k k N 时结论成立 即