高考数学集合总复习-离散型随机变量及其分布列自主梳理

离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列自主梳理 1 1 随机变量 离散型随机变量 2 概率之和 2 两点分布 3 Ck MC n kN M Cn N 自我检测 1 B 除了白球外 其他的还有 6 个球 因此取到白球时取球次数最少为 1 次 最多 为 7 次 2 C A D 的概率之和不等于 1 B 中 P 3 0 1 0 故均不正确 所以选 C 3 C 由分布列的性质知 1 1 2a 2 2a 3 2a a 3 P X 2 2 2a 1 3 4 C P 0 P 1 P 0 2P 0 3P 0 1 P 0 1 3 5 012 P 1 10 3 5 3 10 解析 P 0 P 1 1 C2 5 1 10 C1 2C1 3 C2 5 6 10 3 5 P 2 C2 3 C2 5 3 10 012 P 1 10 3 5 3 10 课堂活动区 例 1 解题导引 求离散型随机变量的分布列步骤是 1 找出随机变量 X 的所有可 能取值 xi i 1 2 2 求出取各值 xi的概率 P X xi 3 列表 求出分布列后要注意 应用性质检验所求的结果是否准确 解 X 的可能取值为 3 4 5 6 从而有 P X 3 P X 4 C3 3 C3 6 1 20 C1 1 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C1 1 C2 4 C3 6 3 10 C1 1 C2 5 C3 6 1 2 故 X 的分布列为 X3456 P 1 20 3 20 3 10 1 2 变式迁移 1 解 依题意可知 杯子中球的最大数 的所有可能值为 1 2 3 当 1 时 对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形 当 2 时 对应于 4 个杯子中恰有一个 杯子放两球的情形 当 3 时 对应于 4 个杯子恰有一个杯子放三个球的情形 从而有 P 1 P 2 P 3 A3 4 43 3 8 C2 3 C1 4 C1 3 43 9 16 C1 4 43 1 16 的分布列为 123 P 3 8 9 16 1 16 例 2 解题导引 对于服从某些特殊分布的随机变量 其分布列可以直接应用公式给 出 超几何分布描述的是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 解 依题意 随机变量 X 服从超几何分布 所以 P X k k 0 1 2 3 4 Ck 6C4 k4 C 4 10 P X 0 C0 6C4 4 C 4 10 1 210 P X 1 C1 6C3 4 C 4 10 4 35 P X 2 C2 6C2 4 C 4 10 3 7 P X 3 C3 6C1 4 C 4 10 8 21 P X 4 C4 6C0 4 C 4 10 1 14 X 的分布列为 X01234 P 1 210 4 35 3 7 8 21 1 14 变式迁移 2 解 1 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 所选的 3 人中 女生随机变量 X 0 1 2 其概率 P X k k 0 1 2 故 X 的分布列为 Ck 2C3 k4 C3 6 X012 P 1 5 3 5 1 5 2 由 1 可得 所选 3 人中女生人数 X 1 的概率为 P X 1 P X 0 P X 1 1 5 3 5 4 5 例 3 解题导引 1 是古典概型 2 关键是确定 X 的所有可能取值 3 计分介于 20 分到 40 分之间的概率等于 X 3 与 X 4 的概率之和 解 1 方法一 记 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 为事件 A 则 P A C3 5C1 2C1 2C1 2 C 3 10 2 3 方法二 记 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 为事件 A 记 一次取出的 3 个小球上有两个数字相同 为事件 B 则事件 A 和事件 B 是对立事件 因为 P B C1 5C2 2C1 8 C 3 10 1 3 所以 P A 1 P B 1 1 3 2 3 2 随机变量 X 的可能取值为 2 3 4 5 取相应值的概率分别为 P X 2 C3 4 C 3 10 1 30 P X 3 C1 2C2 4 C 3 10 C2 2C1 4 C 3 10 2 15 P X 4 C1 2C2 6 C 3 10 C2 2C1 6 C 3 10 3 10 P X 5 C1 2C2 8 C 3 10 C2 2C1 8 C 3 10 8 15 随机变量 X 的分布列为 X2345 P 1 30 2 15 3 10 8 15 3 由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分 所以当计分介于 20 分 40 分时 X 的取 值为 3 或 4 所以所求概率为 P P X 3 P X 4 2 15 3 10 13 30 变式迁移 3 解 1 得分 X 的所有可能值为 5 6 7 8 P X 5 C1 4C3 3 C4 7 4 35 P X 6 C2 4C2 3 C4 7 18 35 P X 7 C3 4C1 3 C4 7 12 35 P X 8 C4 4C0 3 C4 7 1 35 X 的分布列为 X5678 P 4 35 18 35 12 35 1 35 2 得分大于 6 的概率为 P X 7 P X 8 12 35 1 35 13 35 课后练习区 1 D 由分布列的性质 有 Error 解得 q 1 2 2 或由 1 2q 0 q 可排除 A B C 1 2 2 C X 的可能取值为 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 1 5 6 4 2 2 5 7 3 4 3 5 8 4 5 9 3 B 1 a a 2 a 4 a 8 a 16 16 15 P 2 4 P 3 P 4 16 15 8 16 15 16 2 15 1 15 1 5 4 C P 10 1 2 3 1 1 39 1 1 3 1 39 5 C X 服从超几何分布 P X k 故 k 4 Ck 7C10 k8 C1015 6 0 88 解析 环数 X 7 的概率是 0 09 0 28 0 29 0 22 0 88 7 3 64 解析 P 3 1 4 1 4 3 4 3 64 8 4 5 解析 方法一 由已知 的取值为 7 8 9 10 P 7 P 8 C2 2C1 2 C3 5 1 5 C2 2C1 1 C2 2C1 2 C3 5 3 10 P 9 P 10 C1 2C1 2C1 1 C3 5 2 5 C2 2C1 1 C3 5 1 10 的概率分布列为 78910 P 1 5 3 10 2 5 1 10 P 8 P 8 P 9 P 10 3 10 2 5 1 10 4 5 方法二 P 8 1 P 7 1 C2 2C1 2 C3 5 4 5 9 解 由于 1 对于不同的 有不同的取值 1 1 2 所以 1的分布列为 1 1 1 2 0 1 2 1 3 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 6 分 2 2对于 的不同取值 2 2 及 1 1 2分别取相同的值 4 与 1 即 2取 4 这个值的 概率应是 取 2 与 2 值的概率与合并的结果 2取 1 这个值的概率为 取 1 与 1 的 1 12 2 12 概率与合并的结果 故 2的分布列为 3 12 1 12 20149 P 1 3 1 3 1 4 1 12 12 分 10 解 1 由离散型随机变量的性质 得 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 1 解得 a 1 15 2 由 1 得 P k k 1 2 3 4 5 k 5 1 15 方法一 P 3 5 P P P 1 3 5 4 5 7 分 3 15 4 15 5 15 4 5 方法二 P 1 P 3 5 3 5 1 P 1 5 P 2 5 1 7 分 1 15 2 15 4 5 3 P 1 10 7 10 1 5 2 5 3 5 1 10 7 10 P P P 1 5 2 5 3 5 12 分 1 15 2 15 3 15 2 5 11 解 1 的可能取值为 0 1 2 3 1 分 P 0 3 分 C2 4 C2 5 C2 3 C2 5 18 100 9 50 P 1 5 分 C1 4 C2 5 C2 3 C2 5 C2 4 C2 5 C2 3 C1 2 C2 5 12