高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

1 直线与圆的方程直线与圆的方程 一 直线的方程 1 倾斜角 L 范围 0 若轴或与轴重合时 00 xl x 2 斜率 k tan 与的关系 0 0 已知 L 上两点 P1 x1 y1 0 0 2 k P2 x2 y2 不存在 2 k 12 12 xx yy 02 2 当 时 900 不存在 当时 arctank 0 时 1 x 2 x 0 arctank 3 截距 略 曲线过原点横纵截距都为 0 4 直线方程的几种形式 已知方程说明几种特殊位置的直线 斜截式K bY kx b不含 y 轴和行 平于 y 轴的直 线 x 轴 y 0 点斜式P1 x1 y1 k y y1 k x x1 不含 y 轴和平 行于 y 轴的直 线 y 轴 x 0 两点式P1 x1 y1 P2 x2 y2 12 1 12 1 xx xx yy yy 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 平行于 x 轴 y b 截距式a b 1 b y a x不含坐标轴 平行于坐标轴 和过原点的直 线 平行于 y 轴 x a 过原点 y kx 一般式Ax by c 0A B 不同时为 0 两个重要结论 平面内任何一条直线的方程都是关于 x y 的二元一次方程 任何一个关于 x y 的二元一次方程都表示一条直线 5 直线系 1 共点直线系方程 p0 x0 y0 为定值 k 为参数 y y0 k x x0 特别 y kx b 表示过 0 b 的直线系 不含 y 轴 2 平行直线系 y kx b k 为定值 b 为参数 AX BY 入 0 表示与 Ax By C 0 平行的直线系 BX AY 入 0 表示与 AX BY C 垂直的直线系 2 3 过 L1 L2交点的直线系 A1x B1y C1 入 A2X B2Y C2 0 不含 L2 6 三点共线的判定 KAB KBC ACBCAB 写出过其中两点的方程 再验证第三点在直线上 二 两直线的位置关系 1 L1 y k1x b1 L2 y k2x b2 L1 A1X B1Y C1 0 L2 A2X B2Y C2 0 L1与 L2组成的方程组 平行 K1 k2且 b1 b2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 无解 重合 K1 k2且 b1 b2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 有无数多解 相交 K1 k2 2 1 2 1 B B A A 有唯一解 垂直 K1 k2 1A1A2 B1B2 0 说明 当直线平行于坐标轴时 要单独考虑 2 L1 到 L2的角为 0 则 12 12 1 tan kk kk 1 21 kk 3 夹角 12 12 1 tan kk kk 4 点到直线距离 已知点 p0 x0 y0 L AX BY C 0 22 00 BA cByAx d 两行平线间距离 L1 AX BY C1 0 L2 AX BY C2 0 22 21 BA cc d 与 AX BY C 0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax By C 0 22 BAd 与 AX BY C1 0 和 AX BY C2 0 平行且距离相等的直线方程是 0 2 21 CC BYAX 5 对称 1 点关于点对称 p x1 y1 关于 M x0 y0 的对称 2 2 1010 YYXXP 2 点关于线的对称 设 p a b 对称轴 对称点 p 对称轴 对称点 p X 轴 bap Y x abp 3 Y 轴 bap X m m 0 2 bamp y x abp y n n 0 2 bnap 一般方法 如图 思路 1 设 P 点关于 L 的对称点为 P0 x0 y0 则 Kpp0 KL 1 P P0中点满足 L 方 程 解出 P0 x0 y0 思路 2 写出过 P L 的垂线方程 先求垂足 然后用中点坐标公式求出 P0 x0 y0 的坐标 P yL P0 x 3 直线关于点对称 L AX BY C 0 关于点 P X0 Y0 的对称直线 A 2X0 X B 2Y0 Y C 0 l 4 直线关于直线对称 几种特殊位置的对称 已知曲线 f x y 0 关于 x 轴对称曲线是 f x y 0 关于 y x 对称曲线是 f y x 0 关于 y 轴对称曲线是 f x y 0 关于 y x 对称曲线是 f y x 0 关于原点对称曲线是 f x y 0 关于 x a 对称曲线是 f 2a x y 0 关于 y b 对称曲线是 f x 2b y 0 一般位置的对称 结合平几知识找出相关特征 逐步求解 三 简单的线性规划 L Y 不等式表示的区域 O X AX BY C 0 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 线性规划 可行解 最优解 要点 作图必须准确 建议稍画大一点 线性约束条件必须考虑完整 先找可行域再找最优解 四 圆的方程 1 圆的方程 标准方程 c a b 为圆心 r 为半径 2 2 rbyax 一般方程 0 22 FEYDXyx 4 2 2 ED C 2 4 22 FED r 当时 表示一个点 04 22 FED 当时 不表示任何图形 04 22 FED 参数方程 cosrax 为参数 sinrby 以 A X1 Y1 B X2 Y2 为直径的两端点的圆的方程是 X X1 X X2 Y Y1 Y Y2 0 2 点与圆的位置关系 考察点到圆心距离 d 然后与 r 比较大小 3 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 判定 联立方程组 消去一个未知量 得到一个一元二次方程 0相交 0 相切 0相离 利用圆心 c a b 到直线 AX BY C 0 的距离 d 来确定 d r相交 d r相切 d r相离 直线与圆相交 注意半径 弦心距 半弦长所组成的 kt 4 圆的切线 1 过圆上一点的切线方程 与圆相切于点 x1 y1 的切线方程是 222 ryx 2 11 ryyxx 与圆相切于点 x1 y1 的切成方程 222 rbyax 为 2 11 rbybyaxax 与圆相切于点 x1 y1 的切线是0 22 FEYDXyx 0 2 2 11 11 F yy E xx Dyyxx 2 过圆外一点切线方程的求法 已知 p0 x0 y0 是圆 外一点 222 rbyax 22 1 2 1 rbyax 设切点是 p1 x1 y1 解方程组 22 1010 rbybyaxax 先求出 p1的坐标 再写切线的方程 设切线是即 00 xxkyy 0 00 ykxykx 再由 求出 k 再写出方程 r k ykxbka 1 2 00 5 当 k 值唯一时 应结合图形 考察是否有垂直于 x 轴的切线 已知斜率的切线方程 设 b 待定 利用圆心到 L 距离为 r 确定bkxy b 5 圆与圆的位置关系 由圆心距进行判断 相交 相离 外离 内含 相切 外切 内切 6 圆系 同心圆系 a b 为常数 r 为参数 222 rbyax 或 D E 为常数 F 为参数 0 22 FEYDXyx 圆心在 x 轴 222 ryax 圆心在 y 轴 222 rbyx 过原点的圆系方程 2222 babyax 过两圆和0 111 22 1 FYEXDyxC 的交点的圆系方程为0 222 22 2 FYEXDyxC 不含 C2 其中0 222 22 111 22 FYEXDyxFYEXDyx入 入为参数 若 C1与 C2相交 则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程 类型一 圆的方程类型一 圆的方程 例例 1 求过两点 4 1 A 2 3 B且圆心在直线0 y上的圆的标准方程并判断点 4 2 P与圆的关系 分析 分析 欲求圆的标准方程 需求出圆心坐标的圆的半径的大小 而要判断点P与圆的 位置关系 只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系 若距离大于半径 则点在圆 外 若距离等于半径 则点在圆上 若距离小于半径 则点在圆内 解法一 解法一 待定系数法 设圆的标准方程为 222 rbyax 圆心在0 y上 故0 b 圆的方程为 222 ryax 又 该圆过 4 1 A 2 3 B两点 6 22 22 4 3 16 1 ra ra 解之得 1 a 20 2 r 所以所求圆的方程为20 1 22 yx 解法二 解法二 直接求出圆心坐标和半径 因为圆过 4 1 A 2 3 B两点 所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上 又因 为1 31 24 AB k 故l的斜率为 1 又AB的中点为 3 2 故AB的垂直平分线l的方 程为 23 xy即01 yx 又知圆心在直线0 y上 故圆心坐标为 0 1 C 半径204 11 22 ACr 故所求圆的方程为20 1 22 yx 又点 4 2 P到圆心 0 1 C的距离为 rPCd 254 12 22 点P在圆外 说明 说明 本题利用两种方法求解了圆的方程 都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系 若将点换成 直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢 例例 2 求半径为 4 与圆0424 22 yxyx相切 且和直线0 y相切的圆的方程 分析 分析 根据问题的特征 宜用圆的标准方程求解 解 解 则题意 设所求圆的方程为圆 222 rbyaxC 圆C与直线0 y相切 且半径为 4 则圆心C的坐标为 4 1 aC或 4 2 aC 又已知圆0424 22 yxyx的圆心A的坐标为 1 2 半径为 3 若两圆相切 则734 CA或134 CA 1 当 4 1 aC时 222 7 14 2 a 或 222 1 14 2 a 无解 故可得 1022 a 7 所求圆方程为 222 4 4 1022 yx 或 222 4 4 1022 yx 2 当 4 2 aC时 222 7 14 2 a 或 222 1 14 2 a 无解 故 622 a 所求圆的方程为 222 4 4 622 yx 或 222 4 4 622 yx 说明 说明 对本题 易发生以下误解 由题意 所求圆与直线0 y相切且半径为 4 则圆心坐标为 4 aC 且方程形如 222 4 4 yax 又圆0424 22 yxyx 即 222 3 1 2 yx 其 圆心为 1 2 A 半径为 3 若两圆相切 则34 CA 故 222 7 14 2 a 解 之得1022 a 所以欲求圆的方程为 222 4 4 1022 yx 或 222 4 4 1022 yx 上述误解只考虑了圆心在直线0 y上方的情形 而疏漏了圆心在直线0 y下方的情 形 另外 误解中没有考虑两圆内切的情况 也是不全面的 例例 3 求经过点 5 0 A 且与直线02 yx和02 yx都相切的圆的方程 分析 分析 欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径 由于所求圆过定点A 故只需确定 圆心坐标 又圆与两已知直线相切 故圆心必在它们的交角的平分线上 解 解 圆和直线02 yx与02 yx相切 圆心C在这两条直线的交角平分线上 又圆心到两直线02 yx和02 yx的距离相等 5 2 5 2yxyx 两直线交角的平分线方程是03 yx或03 yx 又 圆过点 5 0 A 圆心C只能在直线03 yx上 8 设圆心 3 ttC C到直线02 yx的距离等于AC 22 53 5 32 tt tt 化简整理得056 2 tt 解得 1 t或5 t 圆心是 3 1 半径为5或圆心是 15 5 半径为55 所求圆的方程为5 3 1 22 yx或125 15 5 22 yx 说明 说明 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上 从而确定圆心坐标 得到圆的方程 这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法 例例 4 设圆满足 1 截y轴所得弦长为 2 2 被x轴分成两段弧 其弧长的比为1 3 在 满足条件 1 2 的所有圆中 求圆心到直线02 yxl 的距离最小的圆的方程 分析 分析 要求圆的方程 只须利用条件求出圆心坐标和半径 便可求得圆的标准方 程 满足两个条件的圆有无数个 其圆心的集合可看作动点的轨迹 若能求出这轨迹的方 程 便可利用点到直线的距离公式 通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标 进而确定圆的半径 求出圆的方程 解法一 解法一 设圆心为 baP 半径为r 则P到x轴 y轴的距离分别为b和a 由题设知 圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为 90 故圆截x轴所得弦长为r2 22 2br 又圆截y轴所得弦长为 2 1 22 ar 又 baP到直线02 yx的距离为 5 2ba d 2 2 25bad abba44 22 9 24 2222 baba 12 22 ab 当且仅当ba 时取 号 此时 5 5 min d 这时有 12 22 ab ba 1 1 b a 或 1 1 b a 又22 22 br 故所求圆的方程为2 1 1 22 yx或2 1 1 22 yx 解法二 解法二 同解法一 得 5 2ba d dba52 222 5544dbdba 将12 22 ba代入上式得 015542 22 dbdb 上述方程有实根 故 0 15 8 2 d 5 5 d 将 5 5 d代入方程得1 b 又12 22 ab 1 a 由12 ba知a b同号 故所求圆的方程为2 1 1 22 yx或2 1 1 22 yx 10 说明 说明 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程 若变换为求面积最小呢 类型二 切线方程 切点弦方程 公共弦方程类型二 切线方程 切点弦方程 公共弦方程 例例 5 已知圆4 22 yxO 求过点 42 P与圆O相切的切线 解 解 点 42 P不在圆O上 切线PT的直线方程可设为 42 xky 根据rd 2 1 42 2 k k 解得 4 3 k 所以 42 4 3 xy 即 01043 yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条 可见另一条直线的斜率不存在 易求另一条 切线为2 x 说明 说明 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况 要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法 例如把所设的切线方程代入圆方程 用判别式等于 0 解决 也要注意 漏解 还可以运用 2 00 ryyxx 求出切点坐标 0 x 0 y的值来解决 此时没有漏解 例例 6 两圆0 111 22 1 FyExDyxC 与0 222 22 2 FyExDyxC 相交于A B两点 求它们的公共弦AB所在直线的方程 分析 分析 首先求A B两点的坐标 再用两点式求直线AB的方程 但是求两圆交点坐 标的过程太繁 为了避免求交点 可以采用 设而不求 的技巧 解 解 设两圆 1 C 2 C的任一交点坐标为 00 yx 则有 0 10101 2 0 2 0 FyExDyx 0 20202 2 0 2 0 FyExDyx 得 0 21021021 FFyEExDD A B的坐标满足方程0 212121 FFyEExDD 方程0 212121 FFyEExDD是过A B两点的直线方程 又过A B两点的直线是唯一的 两圆 1 C 2 C的公共弦AB所在直线的方程 为0 212121 FFyEExDD 11 说明 说明 上述解法中 巧妙地避开了求A B两点的坐标 虽然设出了它们的坐标 但并没 有去求它 而是利用曲线与方程的概念达到了目标 从解题的角度上说 这是一种 设而 不求 的技巧 从知识内容的角度上说 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对 直线方程是一次方程的本质认识 它的应用很广泛 例例 7 过圆外一点 作这个圆的两条切线 切点分别是 1 22 yx 3 2 MMAMBA 求直线的方程 BAB 练习 1 求过点 且与圆相切的直线 的方程 3 1 M 22 1 4xy l 解 设切线方程为 即 1 3 yk x 310kxyk 圆心到切线 的距离等于半径 1 0 l2 解得 2 2 31 2 1 kk k 3 4 k 切线方程为 即 3 1 3 4 yx 34130 xy 当过点的直线的斜率不存在时 其方程为 圆心到此直线的距离等于半径 M3x 1 0 2 故直线也适合题意 3x 所以 所求的直线 的方程是或 l34130 xy 3x 2 过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 0 2 5 24 22 yxyx 解 设直线方程为 即 圆方程可化为 圆kxy 0 ykx 2 5 1 2 22 yx 心为 2 1 半径为 依题意有 解得或 直线方 2 10 2 10 1 12 2 k k 3 k 3 1 k 程为或 xy3 xy 3 1 3 已知直线与圆相切 则的值为 0125 ayx02 22 yxxa 解 圆的圆心为 1 0 半径为 1 解得或1 1 22 yx 1 125 5 22 a 8 a 18 a 类型三 弦长 弧问题类型三 弦长 弧问题 例例 8 求直线被圆截得的弦的长 063 yxl042 22 yxyxCAB 例例 9 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 0323 yx4 22 yx 12 解 依题意得 弦心距 故弦长 从而 OAB 是等边三角3 d22 22 drAB 形 故截得的劣弧所对的圆心角为 3 AOB 例例 10 求两圆和的公共弦长02 22 yxyx5 22 yx 类型四 直线与圆的位置关系类型四 直线与圆的位置关系 例例 11 已知直线和圆 判断此直线与已知圆的位置关系 0323 yx4 22 yx 例例 12 若直线与曲线有且只有一个公共点 求实数的取值范围 mxy 2 4xy m 解 曲线表示半圆 利用数形结合法 可得实数 2 4xy 0 4 22 yyx 的取值范围是或 m22 m22 m 例例 13 圆9 3 3 22 yx上到直线01143 yx的距离为 1 的点有几个 分析 分析 借助图形直观求解 或先求出直线 1 l 2 l的方程 从代数计算中寻找解答 解法一 解法一 圆9 3 3 22 yx的圆心为 3 3 1 O 半径3 r 设圆心 1 O到直线01143 yx的距离为d 则32 43 113433 22 d 如图 在圆心 1 O同侧 与直线01143 yx平行且距离为 1 的直线 1 l与圆有两个交 点 这两个交点符合题意 又123 dr 与直线01143 yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有 3 个 解法二 解法二 符合题意的点是平行于直线01143 yx 且与之距离为 1 的直线和圆的 交点 设所求直线为043 myx 则1 43 11 22 m d 13 511 m 即6 m 或16 m 也即 0643 1 yxl 或01643 2 yxl 设圆9 3 3 22 1 yxO 的圆心到直线 1 l 2 l的距离为 1 d 2 d 则 3 43 63433 22 1 d 1 43 163433 22 2 d 1 l与 1 O相切 与圆 1 O有一个公共点 2 l与圆 1 O相交 与圆 1 O有两个公共点 即符 合题意的点共 3 个 说明 说明 对于本题 若不留心 则易发生以下误解 设圆心 1 O到直线01143 yx的距离为d 则32 43 113433 22 d 圆 1 O到01143 yx距离为 1 的点有两个 显然 上述误解中的d是圆心到直线01143 yx的距离 rd 只能说明此直 线与圆有两个交点 而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1 到一条直线的距离等于定值的点 在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上 因此题 中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点 求直线与圆的公共点个数 一般根据圆与 直线的位置关系来判断 即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断 练习 1 直线与圆没有公共点 则的取值范围是 1 yx 0 02 22 aayyxa 解 依题意有 解得 a a 2 1 1212 a0 a120 a 练习 2 若直线与圆有两个不同的交点 则的取值范2 kxy1 3 2 22 yxk 围是 解 依题意有 解得 的取值范围是 1 1 12 2 k k 3 4 0 kk 3 4 0 练习 3 圆0342 22 yxyx上到直线01 yx的距离为2的点共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 分析 把0342 22 yxyx化为 821 22 yx 圆心为 21 半 径为22 r 圆心到直线的距离为2 所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2 所以选 C 14 练习 4 过点 43 P作直线l 当斜率为何值时 直线l与圆 421 22 yxC 有公共点 如图所示 分析 分析 观察动画演示 分析思路 解 解 设直线l的方程为 34 xky 即 043 kykx 根据rd 有 2 1 432 2 k kk 整理得 043 2 kk 解得 3 4 0 k 类型五 圆与圆的位置关系类型五 圆与圆的位置关系 问题导学四 圆与圆位置关系如何确定 例例 14 判断圆与圆的位置02662 22 1 yxyxC0424 22 2 yxyxC 关系 例例 15 圆和圆的公切线共有 条 02 22 xyx04 22 yyx 解 圆的圆心为 半径 圆的圆心为1 1 22 yx 0 1 1 O1 1 r4 2 22 yx 半径 2 0 2 O2 2 r1 3 5 122121 rrrrOO 两圆相交 共有 2 条公切线 212112 rrOOrr 练习 1 若圆与圆相切 则实042 222 mmxyx08442 222 mmyxyx 数的取值集合是 m 解 圆的圆心为 半径 圆4 22 ymx 0 1 mO2 1 r P E O y x 15 的圆心为 半径 且两圆相切 9 2 1 22 myx 2 1 2 mO 3 2 r 或 或 2121 rrOO 1221 rrOO 5 2 1 22 mm1 2 1 22 mm 解得或 或或 实数的取值集合是 5 12 m2 m0 m 2 5 mm 2 0 2 5 5 12 2 求与圆外切于点 且半径为的圆的方程 5 22 yx 2 1 P52 解 设所求圆的圆心为 则所求圆的方程为 两圆外切 1 baO20 22 byax 于点 所求圆的方程为P 1 3 1 OOOP 3 1 2 1 ba 6 3 ba 20 6 3 22 yx 类型六 圆中的对称问题类型六 圆中的对称问题 例例 16 圆关于直线对称的圆的方程是 22 2690 xyxy 250 xy 例例 17 自点 33 A发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 反射光线 所在的直线与圆0744 22 yxyxC 相切 1 求光线l和反射光线所在的直线方程 2 光线自A到切点所经过的路程 分析 略解 分析 略解 观察动画演示 分析思路 根据对称关系 首先求出 点A的对称点 A 的坐标为 33 其次设过 A 的圆C的切线方程为 33 xky 根据rd 即求出圆C的切线的斜率为 3 4 k或 4 3 k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334 yx或0343 yx 最后根据入射光与反射光关于x轴对称 求出入射光所在直线方程为 0334 yx或0343 yx 光路的距离为MA 可由勾股定理求得7 222 CMCAMA 说明 说明 本题亦可把圆对称到x轴下方 再求解 类型七 圆中的最值问题类型七 圆中的最值问题 G OB N M y A x 图 3 C A 16 例例 18 圆上的点到直线的最大距离与最小距离01044 22 yxyx014 yx 的差是 解 圆的圆心为 2 2 半径 圆心到直线的距离18 2 2 22 yx23 r 直线与圆相离 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是rd 25 2 10 262 rrdrd 例例 19 1 已知圆1 4 3 22 1 yxO yxP为圆O上的动点 求 22 yxd 的 最大 最小值 2 已知圆1 2 22 2 yxO yxP为圆上任一点 求 1 2 x y 的最大 最小值 求yx2 的最大 最小值 分析 分析 1 2 两小题都涉及到圆上点的坐标 可考虑用圆的参数方程或数形结合解 决 解 解 1 法 1 由圆的标准方程1 4 3 22 yx 可设圆的参数方程为 sin4 cos3 y x 是参数 则 2222 sinsin816coscos69 yxd cos 1026sin8cos626 其中 3 4 tan 所以361026 max d 161026 min d 法 2 圆上点到原点距离的最大值 1 d等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1 圆上点到 原点距离的最小值 2 d等于圆心到原点的距离 1d减去半径 1 所以6143 22 1 d 4143 22 2 d 所以36 max d 16 min d 2 法 1 由1 2 22 yx得圆的参数方程 sin cos2 y x 是参数 17 则 3cos 2sin 1 2 x y 令t 3cos 2sin 得tt32cossin tt32 sin 1 2 1 sin 1 32 2 t t 4 33 4 33 t 所以 4 33 max t 4 33 min t 即 1 2 x y 的最大值为 4 33 最小值为 4 33 此时 cos 52sin2cos22 yx 所以yx2 的最大值为52 最小值为52 法 2 设k x y 1 2 则02 kykx 由于 yxP是圆上点 当直线与圆有交 点时 如图所示 两条切线的斜率分别是最大 最小值 由1 1 22 2 k kk d 得 4 33 k 所以 1 2 x y 的最大值为 4 33 最小值为 4 33 令tyx 2 同理两条切线在x轴上的截距分别是最大 最小值 由1 5 2 m d 得52 m 所以yx2 的最大值为52 最小值为52 例例 20 已知 点在圆上运动 则 0 2 A 0 2 BP4 4 3 22 yx 18 的最小值是 22 PBPA 解 设 则 yxP 设圆心为 828 2 2 2 2 222222 22 OPyxyxyxPBPA 4 3 C 则 的最小值为 325 min rOCOP 22 PBPA 26832 2 练习 1 已知点在圆上运动 yxP1 1 22 yx 1 求的最大值与最小值 2 求的最大值与最小值 2 1 x y yx 2 解 1 设 则表示点与点 2 1 连线的斜率 当该直线与圆相切k x y 2 1 k yxP 时 取得最大值与最小值 由 解得 的最大值为 k1 1 2 2 k k 3 3 k 2 1 x y 3 3 最小值为 3 3 2 设 则表示直线在轴上的截距 当该直线与圆相切时 myx 2mmyx 2y 取得最大值与最小值 由 解得 的最大值为 m1 5 1 m 51 myx 251 最小值为 51 2 设点 yxP是圆1 22 yx是任一点 求 1 2 x y u的取值范围 分析一 分析一 利用圆上任一点的参数坐标代替x y 转化为三角问题来解决 解法一 解法一 设圆1 22 yx上任一点 sin cos P 则有 cos x sin y 2 0 1cos 2sin u 2sincos uu 2 sincos uu 即2 sin 1 2 uu u tan 19 1 2 sin 2 u u 又 1 sin 1 1 2 2 u u 解之得 4 3 u 分析二 分析二 1 2 x y u的几何意义是过圆1 22 yx上一动点和定点 2 1 的连线的斜 率 利用此直线与圆1 22 yx有公共点 可确定出u的取值范围 解法二 解法二 由 1 2 x y u得 1 2 xuy 此直线与圆1 22 yx有公共点 故点 0 0 到直线的距离1 d 1 1 2 2 u u 解得 4 3 u 另外 直线 1 2 xuy与圆1 22 yx的公共点还可以这样来处理 由 1 1 2 22 yx xuy 消去y后得 0 34 42 1 2222 uuxuuxu 此方程有实根 故0 34 1 4 42 2222 uuuuu 解之得 4 3 u 说明 说明 这里将圆上的点用它的参数式表示出来 从而将求变量u的范围问题转化成三 角函数的有关知识来求解 或者是利用其几何意义转化成斜率来求解 使问题变得简捷方 便 3 已知点 点在圆上运动 求 2 4 6 2 2 2 CBAP4 22 yx 的最大值和最小值 222 PCPBPA 类型八 轨迹问题类型八 轨迹问题 例例 21 基础训练 已知点与两个定点 的距离的比为 求点的轨M 0 0 O 0 3 A 2 1 M 迹方程 20 例例 22 已知线段的端点的坐标是 4 3 端点在圆上运动 ABBA4 1 22 yx 求线段的中点的轨迹方程 ABM 例例 23 如图所示 已知圆4 22 yxO 与y轴的正方向交于A点 点B在直线2 y上 运动 过B做圆O的切线 切点为C 求ABC 垂心H的轨迹 分析 分析 按常规求轨迹的方法 设 yxH 找yx 的关系非常难 由于H点随B C点运动而运动 可考虑H B C三点坐标之间的关系 解 解 设 yxH yxC 连结AH CH 则BCAH ABCH BC是切线BCOC 所以AHOC OACH OCOA 所以四边形AOCH是菱形 所以2 OACH 得 2 xx yy 又 yxC满足4 2 2 yx 所以 0 4 2 22 xyx即是所求轨迹方程 说明 说明 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识 采取代入法求轨迹方程 做 题时应注意分析图形的几何性质 求轨迹时应注意分析与动点相关联的点 如相关联点轨 迹方程已知 可考虑代入法 类型九 圆的综合应用类型九 圆的综合应用 例例 24 已知圆06 22 myxyx与直线032 yx相交于P Q两点 O为 原点 且OQOP 求实数m的值 21 分析 分析 利用几何法求解 或利用转移法求解 或利用参数法求解 解法一 解法一 如图 在矩形APBQ中 连结AB PQ交于M 显然ABOM PQAB 在直角三角形AOM中 若设 yxQ 则 2 2 byax M 由 222 OAAMOM 即 22222 4 1 2 2 rbyax byax 也即 2 22222 baryx 这便是Q的轨迹方程 解法二 解法二 设 yxQ 11 yxA 22 yxB 则 2 2 1 2 1 ryx 2 2 2 2 2 ryx 又 22 ABPQ 即 22 2121 22 21 2 21 22 yyxxryyxxbyax 又AB与PQ的中点重合 故 21 xxax 21 yyby 即 22 2121 222 yyxxrbyax 有 2 22222 baryx 这就是所求的轨迹方程 解法三 解法三 设 sin cos rrA sin cos rrB yxQ 由于APBQ为矩形 故AB与PQ的中点重合 即有 coscosrrax sinsinrrby 又由PBPA 有1 cos sin cos sin ar br ar br 22 联立 消去 即可得Q点的轨迹方程为 2 22222 baryx 说明 说明 本题的条件较多且较隐含 解题时 思路应清晰 且应充分利用图形的几何性 质 否则 将使解题陷入困境之中 本题给出三种解法 其中的解法一是几何方法 它充分利用了图形中隐含的数量关系 而 解法二与解法三 从本质上是一样的 都可以称为参数方法 解法二涉及到了 1 x 2 x 1 y 2 y四个参数 故需列出五个方程 而解法三中 由于借助了圆 222 ryx 的参数方 程 只涉及到两个参数 故只需列出三个方程便可 上述三种解法的共同之处是 利用了图形的几何特征 借助数形结合的思想方法求解 练习 1 由动点向圆引两条切线 切点分别为 600 P1 22 yxPAPBABAPB 则动点的轨迹方程是 P 解 设 600 300 yxPAPB OPA APOA 22 OAOP 化简得 动点的轨迹方程是 2 22 yx4 22 yxP4 22 yx 练习巩固 设为两定点 动点到点的距离与到点的距离的 0 0 0 ccBcAPAB 比为定值 求点的轨迹 0 aaP 解 设动点的坐标为 由 得 P yxP 0 aa PB PA a ycx ycx 22 22 化简得 0 1 1 2 1 1 2222222 acxacyaxa 当时 化简得 整理得 1 a 0 1 1 2 2 2 2 22 cx a ac yx 2 2 22 2 2 1 2 1 1 a ac yc a a x 当时 化简得 1 a0 x 所以当时 点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 1 aP 0 1 1 2 2 c a a 1 2 2 a ac 当时 点的轨迹是轴 1 aPy 2 已知两定点 如果动点满足 则点的轨迹所包围 0 2 A 0 1 BPPBPA2 P 23 的面积等于 解 设点的坐标是 由 得 化简得P yxPBPA2 2222 1 2 2 yxyx 点的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 所求面积为 4 2 22 yxP 4 4 已知定点 点在圆上运动 是线段上的一点 且 0 3 BA1 22 yxMAB 问点的轨迹是什么 MBAM 3 1 M 解 设 11 yxAyxMMBAM 3 1 3 3 1 11 yxyyxx 点在圆上运动 yyy xxx 3 1 3 3 1 1 1 yy xx 3 4 1 3 4 1 1 A1 22 yx 即 点的轨迹方程1 2 1 2 1 yx1 3 4 1 3 4 22 yx 16 9 4 3 22 yxM 是 16 9 4 3 22 yx 例 5 已知定点 点在圆上运动 的平分线交于点 0 3 BA1 22 yxAOB ABM 则点的轨迹方程是 M 解 设 是的平分线 11 yxAyxMOMAOB 3 1 OB OA MB AM 由变式 1 可得点的轨迹方程是 MBAM 3 1 M 16 9 4 3 22 yx 练习巩固 已知直线与圆相交于 两点 以 为邻边1 kxy4 22 yxABOAOB 作平行四边形 求点的轨迹方程 OAPBP 解 设 的中点为 是平行四边形 是的中点 点 yxPABMOAPBMOP 的坐标为 且 直线经过定点 M 2 2 yx ABOM 1 kxy 1 0 C 化简得CMOM 0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 yyxyxyx CMOM 24 点的轨迹方程是 1 1 22 yxP1 1 22 yx 类型九 圆的综合应用 例例 25 已知圆06 22 myxyx与直线032 yx相交于P Q两点 O为 原点 且OQOP 求实数m的值 分析 分析 设P Q两点的坐标为 11 yx 22 yx 则由1 OQOP kk 可得 0 2121 yyxx 再利用一元二次方程根与系数的关系求解 或因为通过原点的直线的斜 率为 x y 由直线l与圆的方程构造以 x y 为未知数的一元二次方程 由根与系数关系得出 OQOP kk 的值 从而使问题得以解决 解法一 解法一 设点P Q的坐标为 11 yx 22 yx 一方面 由OQOP 得 1 OQOP kk 即1 2 2 1 1 x y x y 也即 0 2121 yyxx 另一方面 11 yx 22 yx是方程组 06 032 22 myxyx yx 的实数解 即 1 x 2 x是方程0274105 2 mxx 的两个根 2 21 xx 5 274 21 m xx 又P Q在直线032 yx上 39 4 1 3 2 1 3 2 1 21212121 xxxxxxyy 将 代入 得 5 12 21