高中积分详解

积分的引入 1 思考思考 f x 0 的情况的情况 二 定积分的计算 牛顿二 定积分的计算 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 1 牛顿 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 一般地 如果是在上有定义的连续函数 是在 f x a b f x 上可微 并且 则 这个结论叫做微积分基本定理 a b F xf x b a f x dxF bF a 又叫做牛顿 莱布尼兹公式 为了方便 常常把 记作 即 F bF a b a F x bb aa f x dxF xF bF a 2 牛顿 牛顿 莱布尼兹公式的简单推导 莱布尼兹公式的简单推导 3 微分 导数与微分的关系 微分 导数与微分的关系 A 导数变微分 导数变微分 f x y dy dx 导数 导数 dy y dx f x dx 微分 微分 B dy dx dy ds ds dx 在物理中常利用这一性质将 dv dt dv dx dx dt v dv dx 从而去掉时间 t C f x dx F x dx dF x dy 4 定积分性质 定积分性质 1 b b a a kf x dx kf x dx 2 1212 bbb aaa f xfx dxf x dxfx dx 3 不必局限于此条件 cbb aca f x dxf x dxf x dx acb 4 a 到 b 的积分等于 b 到 a 积分的相反数 5 被积函数恒正的积分结果符号与上限减下限同 b a 6 a b 时 积分值为 0 7 凑微分 8 奇偶函数的积分 5 常见求定积分的公式 与导数对应 常见求定积分的公式 与导数对应 1 2 C 为常数 1 1 1 1 bnnb aa x dxxn n bb aa cdxcx 3 4 sincos bb aa xdxx cossin bb aa xdxx 5 6 1 ln 0 bb aa dxxba x bxx b aa e dxe 7 01 ln x bxb aa a a dxaa a 且 6 定积分与导数之间的关系 定积分与导数之间的关系 问题 1 一物体按规律做直线运动 式中为时间 t 内通过的距离 媒质的阻力与速度 3 xbt x 的平方成正比 比例常数为 试求物体由运动到时 阻力所做的功 0k 0 x xa 解析 解析 要求变力所做的功 必须先求出变力对位称的变化函数 这里的变力即媒质阻x f x 力 然后根据定积分可求阻力所做之功 22 F xkv k x 解因为物体的速度 32 3vxbtbt 所以媒质阻力 22 4 9Fkvkb t 阻力 当时 当时 0 x 0t xa 3 abt 3 1 a t b 阻力所做功 F x 11 2 42 00 93 tt wF t dxkb tbt dx 1 332 3772 01 272727 777 t kbkbkb ttab 7 定积分在求曲边梯形面积 定积分在求曲边梯形面积 问题 2 求由抛物线与直线及所围成图形的面积 2 8 0 yx y 6xy 0y 解析 作出及的图形如右 2 8 0 yx y 6xy 解方程组 得 2 8 60 yx xy 2 4 x y 解方程组 得 60 0 xy y 6 0 x y 所求图形的面积 26 02 8 6 sxdxx dx 3 226 2 02 2140 2 6 323 xxx 8 8 求积分的常用方法 求积分的常用方法 1 直接积分 例 1 求下列定积分 1 2 3 33 0 x dx 0sin xdx 2 0 1 dx x 解 1 32 1 3 xx 323 333 00 111 309 333 x dxxx 2 cos sinxx 00 sincos coscos02xdxx 3 22 11 1 ln ln2ln1ln2 2dx x 2 换元法求定积分 例 2 计算 2 2 0sin 2 x dx 3 计算分段函数定积分 y x O 26 6 例 3 求 凑微分 换元 3 1 ln e e x dx x 例 4 x exp x 2 练习题一练习题一 1 计算 2 2 sin 2 xdx 解析 8 2 设 则 2 01 2 12 xx f x xx 2 0 f x dx A B C D 不存在 3 4 4 5 5 6 解析选 C 21223 222 00111 115 2 2 326 f x dxx dxx dxxxx 3 已知求函数的最小值 12 0 124 3 x a f xta dt F af xa dx F a 4 求在上 由轴及正弦曲线围成的图形的面积 0 2 xsinyx 5 汽车每小时 54 公里的速度行驶 到某处需要减速停车 设汽车以等减速度 3 米 秒刹车 问从 开始刹车到停车 汽车走了多少公里 练习题二练习题二 1 1 6 2 0 1 xdx 2 1 2 e x e dx x 3 3 2 2 1 xxdx 4 4 已知 当 时 恒成立 0 或 1 2 21 2 2 1 2 4 xx f x xx k 3 40 3 k f x dx 5 5 求曲线 及所围成的平面图形的面积 2 yx yx 2yx 7 6 6 6 设 y f x 是二次函数 方程 f x 0 有两个相等的实根 且 f x 2x 2 1 求 y f x 的表达式 2 求 y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 2 若直线 x t 0 t 1 把 y f x 的图