数学建模与经济学的关系

1 数学模型与经济学的关系数学模型与经济学的关系 摘要摘要 随着科学技术的迅速发展 数学模型这个词汇越来越多的出现在现代人 的生产 工作和社会活动中 每一门学科要想成为一门科学 首先要经过数学 的推理验证 构建相应的数学模型 经济学也不例外 本文主要阐述了最优价 格模型在经济学中的指导意义 经济数学模型是研究经济学的重要工具 在经 济应用中占有重要的地位 文章从经济数学模型的内涵 构建经济数学模型的 方法 遵循的基本原则以及所要注意的问题进行了简要分析和论述 数学与经济学息息相关 可以说每一项经济学的研究 决策 都离不开数 学的应用 特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来 利用数学工具来分析经济问 题得到的理论成果层出不穷 经济学中使用数学方法的趋势越来越明显 当代 西方经济学认为 经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系 建立经 济模型 从中引申出经济原则和理论 进行预测 决策和监控 在经济领域 数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题 即能否用所建立的模型去概括 某一经济现象或说明某一经济问题 因而 数学模型分析已成为现代经济学研 究的基本趋向 经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替 代的作用 在经济学日益计量化 定量分析的今天 数学模型方法显得愈来愈 重要 关键字关键字 经济学 数学模型 最优价格 一一 引言引言 科学与生产生活和数学模型的关系变得越来越紧密 工程师要建立数学模型 用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算 城市规划工作者需要建立一个 包括人口 经济 交通 环境等大系统的数学模型 建立数学模型是沟通摆在 2 面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁 将 数学方法应用到实际问题中时 往往首先是把这个问题的内在规律用数字 图 表或者公式 符号表示出来 然后经过数学的处理得到定量的结果 以供人们 作分析 预报 决策或者控制 这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程 数学和经济的联系是十分紧密的 而对数学的应用往往要通过数学模型 无论 现在还是以后的学习和工作 建立数学模型都将是一个解决问题的重要的方法 二二 最优价格模型最优价格模型 经济问题往往通过转化为数学模型来分析 数学是研究现实世界的数量关系 和空间形式的科学 它具有高度的抽象性 在经济上应用的范围很广 经济范 畴和经济过程同样是质和量的统一 在对生产方式以及与之相适应的生产关系 进行质的分析的前提下 对反映生产方式以及与之相适应的生产关系的经济范 畴和经济过程进行量的分析 将有助于认识的深化 有助于理论的应用 从这 一方面来说 马克思主义经济学所提示的原理和规律 不少都有可能用数学语 言来表达 用数学模型来表示 马克思自己就曾经想运用数学方法来说明经济 危机的规律性 马克思提出了运用数学方法的前提条件 首先 材料必须是足 够的 其次 材料必须是经过检验的 数学模型为西方经济学家提供了方便 西方经济学家在他们的研究中大量地运 用数学模型 他们所用的数学方法几乎遍及纯数学的各主要分支 不可否认 数理分析的方法要比单纯文字说明 推理更方便 更精确 有时也更能说服人 大量的数学符号和算式推导 使经济过程和现象的表述较为简洁 清晰和直观 3 现在的数理经济学 金融数学 计量经济学等学科的蓬勃发展和其广阔的发展 前景都说明了经济是必须要和数学结合起来研究的 而且经济学的研究史是一 个从定性分析研究向定量研究转变的过程 并最终是严密的定量研究的趋势 而在定量研究过程中 是否能准确地建立数学模型关系着该领域研究的成功与 否 在经济学界和数学界都赫赫有名的数学和经济学大师 约翰纳什 通过 数学模型把日常生活中生动的经济问题分析并深化研究 总结出了著名的纳什 均衡 1 这个著名的经济论断成为经济学界坚实的理论基石 为以后研究更个 领域的博弈问题提供了理论基础 可以说正是数学和经济的完美结合才创造除 了世界宝贵的财富 经济和数学密不可分的关系也就不言而喻了 下面的最优价格模型是我们经济学中比较经典的一个数学模型 从中也可以看 出数学模型的建立对经济学有很重要的意义 1 最优价格如何建立模型 2 2 分析问题 我们要简练一个最有的的价格模型 首先要深入了解实际经济问题以及与问 题有关的背景知识 对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查 以 获取大量的数据资料 并对数据进行加工分析 分组整理 3 模型基本假设假设 2 最优价格 简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格 对于最 优价格的问题 应该是每个企业关注的 如果一个厂长有权根据产品成本和销 售情况制定商品价格的话 他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格 本文所讨论的最优价格模型 是指在产销平衡状态下的模型 这里的产销平衡 是指工厂产品的产量等于市场上的销售量 为了模型的更加合理性 这里假设 产品的销售量依赖于产品的价格 产品的成本与产品的产量也是相关联的 4 4 模型建立 2 利润是销售收入与生产支出之差 假设每件产品售价为 p 成本为 q 销售量 为 x 与产量相等 总收入与总支出分别是 I 和 C 则可以得到 I px 1 C qx 2 另外 我们知道在市场竞争的情况下销售量 x 依赖于价格 p 因此销售量应该 是价格的函数 记作 x f p 3 这里 f 称为需求函数 是 p 的减函数 我们再考虑成本与产品数量的关系 通常情况下 成本是随着产品的数量逐渐 降低的 因此可以认为产品的成本是产品数量的函数 记作 q Q x 4 其中 我们把 Q 叫做成本函数 是 x 的减函数 这样 x 和 q 都可以由 p 来确 定 可以得到销售收入和生产支出 C 都是价格 p 的函数 设利润为 U 则可以 表示为 U p I p C p 5 其中 I p px pf p C p qx Q x x Q f p f p 使利润 U 达到最大的价格就是最优价格 设最优价格为 p 那么可以得到当 dU dp 0 时 p 的值即为 p 即有 dU dp dU dp 当 p p 时 我们把 dI dp 称为边际收入 价格变动一个单位时收入的改变量 dC dp 称为边际支出 价格变动一个单位时的支出的改变量 上式表明 最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的 5 为了得到进一步的结果 本文假设出需求函数和成本函数的具体形式 设需求 函数是简单的线性函数 f p a bp ab 0 bp 6 其中 a 可以理解为这种产品免费供应 p 0 社会的需求量 称为 绝对需 求量 b 表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度 当然也是价格下跌一 个单位时销售量上升的幅度 它反映市场需求对价格的敏感程度 接下来 设成本函数为 Q x m 1 tx n 其中 m t n 0 7 其中 m 表示产品的最底成本 t 表示产品数量增加或减少带来的幅度 n 调节常数 即产品的最大成本为 m 1 n 5 模型求解 将 1 3 和 6 7 带入 4 式可得 U p I p C p pf p Q f p f p a bp p m 1 ta n tbp 8 用微分的方法可以求出使 U p 最大的最优价格 由 dU dp 0 式和 8 式可 以得到 b t p 2btn 2abt b t m p n 2atn a t 2abt m 2btmn p m n ta n 0 9 这是一个关于 p 的三次方程 对于实际问题 当得到 a b m n t 的数值 带到 9 式中 再用相应的数学方法求出 p 6 结果分析 在实际的工作之中 a 和 b 可以由价格 p 和销售量 x 的统计数据用最小二乘 法拟合来确定 m 和 n 实际上是已知的常数 t 也是根据产量的多少可以得出的 6 对于 9 式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值 我们可以根据实际 情况得到具有一定精度的近似值 四四 总结总结 除了上述最优价格模型 经济学中的弹性理论 金融工程中的期货期权理论 最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合 数学模型为经济学的研究开辟 了一条宽阔的大路 同时也使经济学从定性研究向定量研究转化 更加具有理 性和发散思维 正是数学和经济学的结合为