专题四　高考立体几何命题动向

专题四 高考立体几何命题动向 高考命题分析 立体几何主要包括柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 三视图 点 直线 平面的位置关系等 高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上 着重考查空间中点 线 面位置关系的判断及空间角等几何量的计算 既有以选择题 填空题形式 出现的试题 也有以解答题形式出现的试题 一般来说 选择题 填空题大多 考查概念辨析 位置关系探究 空间几何量的简单计算求解等 考查画图 识 图 用图的能力 解答题多以简单几何体为载体 考查直线与直线 直线与平 面 平面与平面的位置关系 综合考查空间想象能力 推理论证能力和运算求 解能力 试题在突出对空间想象能力考查的同时 关注对平行 垂直的探究 关注对条件和结论不完备情形下开放性问题的探究 高考命题特点 立体几何在高考中占据重要的地位 通过分析近几年的高考情况 可以发现对 立体几何问题的考查已经突破了传统的框架 在命题风格上 正逐步由封闭性 向灵活性 开放性转变 因此 如何进一步把握复习的重点 提高复习效率 从而快速地突破立体几何难点是高考复习过程中必须认真考虑的问题 近几年 高考对立体几何的考查特点主要表现在以下几个方面 1 从命题形式来看 涉及立体几何内容的命题形式最为多变 除保留传统的 四选一 的选择题型外 还尝试开发了 多选填空 完型填空 等题型 并且这种命题形式正在不断完善和翻新 解答题则设计成几个小问题 此类考 题往往以多面体为依托 第一小问考查线线 线面 面面的位置关系 后面几 问考查空间角 空间距离 面积 体积等知识 其解题思路也都是 作证 求 强调作图 证明和计算相结合 2 从内容上来看 主要考查 直线和平面的各种位置关系的判定和性质 这 类试题一般难度不大 多为选择题和填空题 计算角的问题 试题中常见的 是异面直线所成的角 直线与平面所成的角 求距离 试题中常见的是点与 点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 直线与直线的距离 直线 到平面的距离 要特别注意解决此类问题的转化方法 求简单几何体的侧面 积和表面积问题 解此类问题时除套用特殊几何体的侧面积和表面积公式外 还可将侧面展开 转化为求平面图形的面积问题 体积问题 要注意解题技 巧 如等积变换 割补思想的应用 三视图 要能辨认空间几何体的三视图 高考中三视图常与表面积 体积相结合 3 从能力上来看 着重考查空间想象能力 即对空间几何体的观察分析和抽象 的能力 要求 四会 会画图 根据题设条件画出适合题意的图形或画 出自己想作的辅助线 面 作出的图形要直观 虚实分明 会识图 根据 题目给出的图形 想象出立体的形状和有关线面的位置关系 会析图 对 图形进行必要的分解 组合 会用图 对图形或其某部分进行平移 翻折 旋转 展开或实行割补术 高考动向透视 空间几何体的结构 三视图 直观图 本部分在新课标高考中的考查重点是以三视图为命题背景来研究空间几何体的 结构特点和求解几何体的表面积和体积 备考中 要熟悉一些典型的几何体 如 三棱柱 长 正 方体 三棱锥等 的三视图 近年的新课标高考的命题重点和热 点依然是以选择题 填空题的方式考查以下两个方面 几何体的三视图与直 观图的认识 通过三视图和几何体的结合 考查几何体的表面积和体积 示例 1 2010 广东 如图 ABC 为正三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3AA BB CC AB 则多面体 ABCA B C 的正视图 也称主视图 3 2 是 解析 画三视图时 由内到外 CC 为虚线 且虚线所在直线应垂直平分 AB 故选 D 答案 D 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式 空间几何体的三视 图可以使我们很好地把握空间几何体的性质 由空间几何体可以画出它的三视 图 同样由三视图可以想象出空间几何体的形状 两者之间可以相互转化 空间几何体的计算问题 本部分是新课标高考考查的重点内容 常以几何体的表面积和体积的计算以及 几何体的外接球 内切球的知识为主要命题点进行考查 在备考中要牢记一些 典型几何体的表面积和体积的计算公式 以及几何体的棱长与它的内切球 外 接球的半径之间的转换关系 示例 2 2011 辽宁 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB ASC BSC 30 则棱锥 SABC 的体积为 3 A 3 B 2 C D 1 333 解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上 作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D 设 SD x 则 DC 4 x 此时所求棱锥即分割成两个棱锥 SABD 和 CABD 在 SAD 和 SBD 中 由已知条件可得 AD BD x 又因为 SC 为 3 3 直径 所以 SBC SAC 90 所以 DCB DCA 60 在 BDC 中 BD 4 x 所以x 4 x 所以 x 3 AD BD 所以 ABD 为 3 3 333 正三角形 所以 V S ABD 4 故选 C 1 33 答案 C 本题考查空间想象能力 逻辑推理能力和运算能力 本题的难点在于 对三棱锥 SABC 的结构特征的分析判断 其中的体积分割法是求解体积问题时 经常使用的方法 训练 2011 陕西 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 ABD 折起 使 BDC 90 1 证明 平面 ADB 平面 BDC 2 若 BD 1 求三棱锥 DABC 的表面积 1 证明 折起前 AD 是 BC 边上的高 当 ABD 折起后 AD DC AD BD 又 DB DC D AD 平面 BDC AD 平面 ABD 平面 ABD 平面 BDC 2 解 由 1 知 DA DB DC DA DB DA DC 1 DB DC AB BC CA 2 从而 S DAB S DBC S DCA 1 1 1 2 1 2 S ABC sin 60 1 222 3 2 三棱锥 DABC 的表面积 S 3 1 2 3 2 3 3 2 空间的线面位置关系 对于直线与平面的位置关系 高考中主要考查平面的基本性质 考查空间的线 线 线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用平行 垂直的判定定理与 性质进行推理论证 一般会以选择题或解答题的形式进行考查 解题的策略 结合图形进行平行与垂直的推理证明 由线线平行或垂直推证出线面平行或垂 直 再由线面平行或垂直证明面面平行或垂直 如果是选择题还可以依据条件 举出反例否定 示例 3 2011 扬州模拟 在四棱锥 PABCD 中 AB AD CD AD PA 平 面 ABCD PA AD CD 2AB 2 M 为 PC 的中点 1 求证 BM 平面 PAD 2 平面 PAD 内是否存在一点 N 使 MN 平面 PBD 若存在 确定点 N 的位 置 若不存在 请说明理由 1 证明 如图 取 PD 中点 E 连接 EM AE EM 綉 CD 而 AB 綉 CD 1 2 1 2 EM 綉 AB 四边形 ABME 是平行四边形 BM AE AE 平面 ADP BM 平面 ADP BM 平面 PAD 2 解 PA 平面 ABCD PA AB 而 AB AD PA AD A AB 平面 PAD AB PD PA AD E 是 PD 的中点 PD AE AB AD A PD 平面 ABME 作 MN BE 交 AE 于点 N MN 平面 PBD 易知 BME MEN 而 BM AE EM CD 1 2 1 2 由 得 EN AN EN EM EM BM EM 2 BM 1 2 2 2 2 2 即点 N 为 AE 的中点 在立体几何的平行关系问题中 中点 是经常使用的一个特殊点 通过找 中点 连 中点 即可出现平行线 而线线平行是平行关系的根 本 在垂直关系的证明中 线线垂直是问题的核心 可以根据已知图形通过计 算证明线线垂直 也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直 其中要特别重视 平面与平面垂直的性质定理 空间角的计算 高考中立体几何的计算主要有两个方面 即空间几何体的表面积 体积的计算 空间角与距离的计算 其中空间角的计算是高考考查考生逻辑推理能力 空间 想象能力和运算求解能力的重点 这类试题如果是在选择题或者填空题中出现 则考查简单的空间角的计算 如果是在解答题中出现 则往往是试题的一个组 成部分 示例 4 2011 湖南 如图 在圆锥 PO 中 已知 PO O 的直径 AB 2 点 C 在上 且 2AB CAB 30 D 为 AC 的中点 1 证明 AC 平面 POD 2 求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值 1 证明 如图 因为 OA OC D 是 AC 的中点 所以 AC OD 又 PO 底面 O AC 底面 O 所以 AC PO 而 OD PO 是平面 POD 内的 两条相交直线 所以 AC 平面 POD 2 解 由 1 知 AC 平面 POD 又 AC 平面 PAC 所以平面 POD 平面 PAC 在平面 POD 中 如图 过 O 作 OH PD 于 H 则 OH 平面 PAC 连接 CH 则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影 所以 OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角 在 Rt ODA 中 OD OA sin 30 1 2 在 Rt POD 中 OH PO OD PO2 OD2 2 1 2 2 1 4 2 3 在 Rt OHC 中 sin OCH OH OC 2 3 故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为 2 3 本题考查垂直关系的证明 线面角的求解及逻辑推理能力 空间想象 能力和运算求解能力 试题的难点是第二问的线面角 其中作出线面角是解题 的关键 作线面角就是找直线上的点在平面内的射影 一个根本的方法就是通 过两个平面互相垂直的性质定理得出点在平面上的射影 空间距离的计算 高考试题中直接考查距离求解的不多 但距离是立体几何的重要内容之一 在 计算空间几何体的体积 空间角时 往往需要计算距离 距离问题的关键是 垂直 通过作垂线把求解的距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计 算 距离问题也与逻辑推理 空间想象密不可分 是立体几何考查逻辑推理能 力和空间想象能力的深化 示例 5 2011 重庆 高为的四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形 2 点 S A B C D 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A B C D 10 2 2 3 2 3 22 解析 设题中的球的球心为 O 球心 O 与顶点 S 在底面 ABCD 上的射影分别是 O1 E 连接 OA OB OC OD OS 则有 OA OB OC OD OS 1 点 O1是底面正方形 ABCD 的中心 OO1 SE 且 OO1 OA2 O1A2 SE 在直角梯形 OO1ES 中 作 OF SE 于点 F 则四边形 12 2 2 2 2 22 OO1EF 是矩形 EF OO1 SF SE EF 在 Rt SOF 中 2 22 2 2 2 2 OF2 OS2 SF2 1 2 即 O1E 在 Rt SO1E 中 2 2 1 2 2 2 SO1 选 A O1E2 SE2 2 2 2 2 2 10 2 答案 A 本小题主要考查了考生的空间想象能力以及如何有效地利用已知条件 恰当地将空间问题平面化 从而借助于平面几何知识解决相关问题 训练 2011 北京 如图 在四面体 PABC 中 PC AB PA BC 点 D E F G 分别是棱 AP AC BC PB 的中点 1 求证 DE 平面 BCP 2 求证 四边形 DEFG 为矩形 3 是否存在点 Q 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等 说明理由 1 证明 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE 平面 BCP 所以 DE 平面 BCP 2 证明 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 3 解 存在点 Q 满足条件 理由如下 如图 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 由 2 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG EG 1 2 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 ME EN NG MG MN 与 2 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线交点为 EG 的中点 Q 且 QM QN EG 1 2 所以 Q 为满足条件的点 空间向量及其运算 高考对空间向量的考查主要在立体几何的解答题中进行 试题的一般设计模式 是先进行一个线面位置关系的证明 再设计一个求解空间角或距离的问题 第 一个问题的意图是考查考生使用综合几何法进行逻辑推理的能力 对于空间角 或距离的求解 虽然也可以使用综合几何法解决 但命题者的意图显然不是如 此 其真正的意图是考查考生使用空间向量的方法解决立体几何问题的能力 示例 6 2011 湖北高考 如图 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 4 E 是 BC 的中点 动点 F 在侧棱 CC1上 且不与点 C 重合 1 当 CF 1 时 求