函数的极值及其求法9.ppt

第十节函数的极值与最值一 函数的极值及其求法 定义 使得 有 则称为的一个极大值点 或极小值点 极大值点与极小值点统称为极值点 极大值与极小值统称为极值 1 函数的极值是函数的局部性质 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 称为可疑极值点 称为的一个极大值 或极小值 注意 函数极值的求法 定理1 函数取得极值的必要条件 费马定理 定义 注意 例如 设 在点 处具有导数 且在 处取得极值 则 定理2 第一充分条件 是极值点情形 设 在点 处连续 1 若 时 而 时 则 在点 处取得极大值 2 若 时 而 时 则 在点 处取得极小值 3 若 时 的符号相同 则 在点 处无极值 求极值的步骤 不是极值点情形 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2 解 的极值 解 得驻点 不可导点 是极大值点 其极大值为 是极小值点 其极小值为 例3求函数 不存在 定理3 第二充分条件 证 同理可证 2 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 设函数f x 在点x0处具有 例4 解 图形如下 注意 的极值 解 令 得驻点 因 故为极小值 又 故需用极值的第一充分条件来判别 例5 求函数 则 1 当为偶数时 2 当为奇数时 为极值点 且 不是极值点 证 定理4 设f x 在点x0处具有n阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 点为拐点 故 1 当为偶数时 由极限的保号性 知 又 得 故在点取极大值 则在点取极小值 同理可证 2 当为奇数时 可证在点邻近两 侧异号 故在点不取极值 故 当为奇数时 可证在点邻近两侧异号 故点为拐点 设 其中a为常数 证明 时 f 0 为f x 的极小值 时 f 0 为f x 的极大值 证 时 f 0 为f x 的极小值 时 f 0 为f x 的极大值 时 例6 f 0 为f x 的极大值 函数图形的描绘 步骤 1 确定函数 的定义域 期性 2 求 并求出 及 3 列表判别增减及凹凸区间 求出极值和拐点 4 求渐近线 5 确定某些特殊点 描绘函数图形 为0和不存在 的点 并考察其对称性及周 例7 解 非奇非偶函数 且无对称性 定义域 0 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点和拐点 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 小结 极值是函数的局部性概念 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点是可疑极值点 判别法 第一充分条件 第二充分条件 注意使用条件 思考与练习 1 设 则在点a处 的导数存在 取得极大值 取得极小值 的导数不存在 B 提示 利用极限的保号性 A 不可导 B 可导 且 C 取得极大值 D 取得极小值 D 提示 利用极限的保号性 2 设 是方程 的一个解 若 且 A 取得极大值 B 取得极小值 C 在某邻域内单调增加 D 在某邻域内单调减少 提示 A 3 设 设f x 连续 且f a 是f x 的极值 问f2 a 是否是f2 x 的极值 证 则 得f2 a 是f2 x 的极小值 不妨设f a 是f x 的极小值 有 由f x 在x a处连续 得 f2 a 是f2 x 的极大值 同理可讨论f a 是f x 的极大值的情况 由极限的保号性 知 由 得 试问 为何值时 还是极小 解 由题意应有 又 取得