第八讲-根与系数的关系及其应用

第八讲第八讲 根与系数的关系及其应用根与系数的关系及其应用 如果一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 那么 反过来 如果 x1 x2满足 x1 x2 p x1x2 q 则 x1 x2是一元二次方程 x2 px q 0 的两个根 一元二次方程的韦达定理 揭示了根与系数的一种必 然联系 利用这个关系 我们可以解决诸如已知一根求另一根 求根的 代数式的值 构造方程 证明等式和不等式等问题 它是中学数学中的 一个有用的工具 1 1 已知一个根 求另一个根 已知一个根 求另一个根 利用韦达定理 我们可以通过方程的一个根 求出另一个根 例例 1 1 方程 1998x 2 1997 1999x 1 0 的大根为 a 方程 x2 1998x 1999 0 的小根为 b 求 a b 的值 解解 先求出 a b 由观察知 1 是方程 1998x 2 1997 1999x 1 0 的根 于是由韦达 又从观察知 1 也是方程 x2 1998x 1999 0 的根 此方程的另一根 为 1999 从而 b 1999 所以 a b 1 1999 2000 例例 2 2 设 a 是给定的非零实数 解方程 解解 由观察易知 x1 a 是方程的根 又原方程等价于 2 2 求根的代数式的值 求根的代数式的值 在求根的代数式的值的问题中 要灵活运用乘法公式和代数式的恒 等变形技巧 例例 3 3 已知二次方程 x2 3x 1 0 的两根为 求 3 3 3 4 3 3 解解 由韦达定理知 3 1 3 3 3 2 2 2 3 3 9 3 18 4 3 3 2 2 2 例例 4 4 设方程 4x2 2x 3 0 的两个根是 和 求 4 2 2 的值 解解 因为 是方程 4x2 2x 3 0 的根 所以 4 2 2 3 0 即 4 2 2 3 4 2 2 2 3 2 2 3 4 例例 5 5 已知 分别是方程 x2 x 1 0 的两个根 求 2 5 5 3的 值 解解 由于 分别是方程 x2 x 1 0 的根 所以 2 1 0 2 1 0 即 2 1 2 1 5 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 1 2 5 3 3 2 1 2 1 2 1 所以 2 5 5 3 2 5 3 5 2 1 10 11 21 说明说明 此解法的关键在于利用 是方程的根 从而可以把它们 的幂指数降次 最后都降到一次 这种方法很重要 例例 6 6 设一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个实根的和为 s1 平方和为 s2 立方和为 s3 求 as3 bs2 cs1的值 解解 设 x1 x2是方程的两个实根 于是 所以 as3 bs2 cs1 0 说明说明 本题最 自然 的解法是分别用 a b c 来表示 s1 s2 s3 然后再求 as3 bs2 cs1的值 当然这样做运算量很大 且容易出错 下 面我们再介绍一种更为 本质 的解法 另解另解 因为 x1 x2是方程的两个实根 所以 同理 将上面两式相加便得 as3 bs2 cs1 0 3 3 与两根之比有关的问题 与两根之比有关的问题 例例 7 7 如果方程 ax2 bx c 0 a 0 的根之比等于常数 k 则系数 a b c 必满足 kb2 k 1 2ac 证证 设方程的两根为 x1 x2 且 x1 kx2 由韦达定理 由此两式消去 x2得 即 kb2 k 1 2ac 例例 8 8 已知 x1 x2是一元二次方程 4x2 3m 5 x 6m2 0 解解 首先 3m 5 2 96m2 0 方程有两个实数根 由韦达定理知 从上面两式中消去 k 便得 即 m2 6m 5 0 所以 m1 1 m2 5 4 4 求作新的二次方程 求作新的二次方程 例例 9 9 已知方程 2x2 9x 8 0 求作一个二次方程 使它的一个根为原 方程两根和的倒数 另一根为原方程两根差的平方 解解 设 x1 x2为方程 2x2 9x 8 0 的两根 则 设所求方程为 x2 px q 0 它的两根为 x 1 x 2 据题意有 故 所以 求作的方程是 36x2 161x 34 0 例例 1010 设 x2 px q 0 的两实数根为 1 求以 3 3为两根的一元二次方程 2 若以 3 3为根的一元二次方程仍是 x2 px q 0 求所有这样 的一元二次方程 解解 1 由韦达定理知 p q 所以 3 3 2 3 p p2 3q 3 3 3 q3 所以 以 3 3为两根的一元二次方程为 x2 p p2 3q x q3 0 2 由 1 及题设知 由 得 q 0 1 若 q 0 代入 得 p 0 1 若 q 1 代入 以 符合要求的方程为 x2 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 1 0 5 5 证明等式和不等式 证明等式和不等式 利用韦达定理可以证明一些等式和不等式 这常常还要用判别式来 配合 例例 1111 已知实数 x y z 满足 x 6 y z2 xy 9 求证 x y 证证 因为 x y 6 xy z2 9 所以 x y 是二次方程 t2 6t z2 9 0 的两个实根 于是这方程的判别式 36 4 z2 9 4z2 0 即 z2 0 因 z 为实数 显然应有 z2 0 要此两式同时成立 只有 z 0 从而 0 故上述关于 t 的二次方程有等根 即 x y 例例 1212 若 a b c 都是实数 且 a b c 0 abc 1 证证 由 a b c 0 及 abc 1 可知 a b c 中有一个正数 两个负数 不妨设 a 是正数 由题意得 于是根据韦达定理知 b c 是方程 的两个根 又 b c 是实数 因此上述方程的判别式 因为 a 0 所以 a3 4 0 a3 4 例例 1313 知 x1 x2是方程 4ax2 4ax a 4 0 的两个实根 解解 1 显然 a 0 由 16a2 16a a 4 0 得 a 0 由韦达定理知 所以 所以 a 9 这与 a 0 矛盾 故不存在 a 使 2 利用韦达定理 所以 a 4 16 即 a 4 1 2 4 8 16 结合 a 0 得 a 2 3 5 6 8 12 20 练习八练习八 1 选择 1 若 x0是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 则判别式 b2 4ac 与平方式 M 2ax0 b 2的关系是 A M B M C M D 不确定 2 方程 x2 px 1997 0 恰有两个正整数根 x1 x2 则 A 4 B 8 C 6 D 0 为 A 3 B 11 C 3 或 11 D 11 2 填空 1 如果方程 x2 px q 0 的一根为另一根的 2 倍 那么 p q 满足的 关系式是 2 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 没有实数根 甲由于看 错了二次项系数 误求得两根为 2 和 4 乙由于看错了某一项系数的符 号 1993 5a2 9a4 4 已知 a 是方程 x2 5x 1 0 的一个根 那么 a4 a 4 的