南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学

高三数学试题第 1 页 共 4 页 南京市 盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数 学 2018 01 注意事项 注意事项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部 分 本试卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 考试号写在答题卡内 试题的答案写在答题 卡上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题卡 参考公式 柱体体积公式 V Sh 其中 S 柱体的底面积 为柱体的高 h 一一 填填空空题题 本本大大题题共共14 小小题题 每每小小题题5 分分 共共计计 70 分分 请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡上上的的相相应应位位 置置上上 1 已知集合 A x x x 4 0 B 0 1 5 则 A B 2 设复数 z a i a R i 为虚数单位 若 1 i z 为纯虚数 则 a 的值为 3 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间 现从该县小学六年级 4000 名学生 中随机抽取 100 名学生进行问卷调查 所得数据均在区间 50 100 上 其频率分布直方 图如图所示 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 70 80 单位 分钟 内的学生人数为 4 执行如图所示的伪代码 若 x 0 则输出的 y 的值为 5 口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球 球的编号分别为 1 2 3 4 若从袋中一次随 机摸出 2 个球 则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 6 在平面直角坐标系 xOy 中 若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲线 1 的右焦点重合 x2 4 y2 5 则实数 p 的值为 7 设函数 y ex a 的值域为 A 若 A 0 则实数 a 的取值范围是 1 ex 8 已知 均为锐角 且满足 tan 1 tan 1 2 则 的值为 9 若函数 y sin x 在区间 0 2 上单调递增 则实数 的取值范围是 Read x If x 0 Then y lnx Else y ex End If Print y 第 4 题 时间 分钟 频率 组距 100 第 3 题 506070 8090 0 005 0 010 0 020 a 0 035 高三数学试题第 2 页 共 4 页 10 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 an 的前 2017 项中的奇数项和为 2018 则 S2017的值为 11 设函数 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x 若函数 y f x m x 3 x 0 x 3 3 x 1 x 3 有四个不同的零点 则实数 m 的取值范围是 12 在平面直角坐标系 xOy 中 若直线 y k x 3 上存在一点 P 圆 x2 y 1 2 1 上存 3 在一点 Q 满足 3 则实数 k 的最小值为 OP OQ 13 如图是蜂巢结构图的一部分 正六边形的边长均为 1 正六边形的 顶点称为 晶格点 若 A B C D 四点均位于图中的 晶格点 处 且 A B 的位置如图所示 则 的最大值为 AB CD 14 若不等式 ksin2B sinAsinC 19sinBsinC 对任意 ABC 都成立 则实 数 k 的最小值为 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB 点 M N 分别是 AB A1B1的中 点 1 求证 BN 平面 A1MC 2 若 A1M AB1 求证 AB1 A1C 16 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 c b 5 2 1 若 C 2B 求 cosB 的值 2 若 求 cos B 的值 AB AC CA CB 4 A B 第 13 题 A B C A1 B1 C1 M N 第 15 题 高三数学试题第 3 页 共 4 页 17 本小题满分 14 分 有一矩形硬纸板材料 厚度忽略不计 一边 AB 长为 6 分米 另一边足够长 现从中截 取矩形 ABCD 如图甲所示 再剪去图中阴影部分 用剩下的部分恰好能折卷成一个 底面是弓形的柱体包装盒 如图乙所示 重叠部分忽略不计 其中 OEMF 是以 O 为圆 心 EOF 120 的扇形 且弧 分别与边 BC AD 相切于点 M N EF GH 1 当 BE 长为 1 分米时 求折卷成的包装盒的容积 2 当 BE 的长是多少分米时 折卷成的包装盒的容积最大 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 1 a b 0 的下顶点为 B 点 x2 a2 y2 b2 M N 是椭圆上异于点 B 的动点 直线 BM BN 分别与 x 轴交于点 P Q 且点 Q 是线 段 OP 的中点 当点 N 运动到点 处时 点 Q 的坐标为 0 3 3 2 2 3 3 1 求椭圆 C 的标准方程 2 设直线 MN 交 y 轴于点 D 当点 M N 均在 y 轴右侧 且 2时 求直线 BM DN NM 的方程 x y O B N M P Q D 第 18 题 A D C B E G F O M H 第 17 题 甲 N EF G H 第 17 题 乙 M N 高三数学试题第 4 页 共 4 页 19 本小题满分 16 分 设数列 an 满足 an2 an 1an 1 a2 a1 2 其中 n 2 且 n N 为常数 1 若 an 是等差数列 且公差 d 0 求 的值 2 若 a1 1 a2 2 a3 4 且存在 r 3 7 使得 m an n r 对任意的 n N 都成 立 求 m 的最小值 3 若 0 且数列 an 不是常数列 如果存在正整数 T 使得 an T an对任意的 n N 均成立 求满足条件的所有数列 an 中 T 的最小值 20 本小题满分 16 分 设函数 f x lnx g x ax c a b c R b x 1 当 c 0 时 若函数 f x 与 g x 的图象在 x 1 处有相同的切线 求 a b 的值 2 当 b 3 a 时 若对任意 x0 1 和任意 a 0 3 总存在不相等的正实数 x1 x2 使得 g x1 g x2 f x0 求 c 的最小值 3 当 a 1 时 设函数 y f x 与 y g x 的图象交于 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 两 点 求证 x1x2 x2 b x1x2 x1 南京市 盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 高三数学试题第 5 页 共 4 页 数学附加题 2018 01 注意事项 注意事项 1 附加题供选修物理考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 2 答题前 考生务必将自己的姓名 学校 考试号写在答题卡内 试题的答案写在答 题卡上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题卡 21 选做题选做题 本题包括本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在答题相应的区域内四小题 请选定其中两小题 并在答题相应的区域内 作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 A 选修 4 1 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 已知 AB 为 O 的直径 直线 DE 与 O 相切于点 E AD 垂直 DE 于点 D 若 DE 4 求切点 E 到直线 AB 的距离 B 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 M 求圆 x2 y2 1 在矩阵 M 对应的变换作用下所得的曲线方程 2 0 0 1 C 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 直线 cos 1 与曲线 r r 0 相切 求 r 的值 3 D 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知实数 x y 满足 x2 3y2 1 求当 x y 取最大值时 x 的值 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答分 请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 AB E D O 第 21 A 高三数学试题第 6 页 共 4 页 22 本小题满分 10 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形 AC 与 BD 交于点 O OP 底面 ABCD 点 M 为 PC 中点 AC 4 BD 2 OP 4 1 求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值 2 求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值 23 本小题满分 10 分 已知 n N nf n C C 2 C C r CC n CC 0 n 1 n 1 n 2 n r 1 n r n n 1 n n n 1 求 f 1 f 2 f 3 的值 2 试猜想 f n 的表达式 用一个组合数表示 并证明你的猜想 南京市 盐城市南京市 盐城市 20182018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 M AB C D O P 第 22 题 高三数学试题第 7 页 共 4 页 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2018 01 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果 后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 计分 计 70 分分 1 1 2 1 3 1200 4 1 5 6 6 2 3 7 2 8 9 0 10 4034 11 1 12 13 24 3 4 1 4 9 43 14 100 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 6 小题 计小题 计 90 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内 15 证明 证明 1 因为 ABC A1B1C1是直三棱柱 所以 AB A1B1 且 AB A1B1 又因为点 M N 分别是 AB A1B1的中点 所以 MB A1N 且 MB A1N 所以四边形 A1NBM 是平行四边形 从而 A1M BN 4 分 又 BN 平面 A1MC A1M 平面 A1MC 所以 BN 平面 A1MC 6 分 2 因为 ABC A1B1C1是直三棱柱 所以 AA1 平面 ABC 而 CM 平面 ABC 所以 AA1 CM 又 CA CB 且 M 是 AB 的中点 所以 CM AB 又 AB AA1 A AB AA1 平面 ABB1A1 所以 CM 平面 ABB1A1 8 分 又 AB1 平面 ABB1A1 所以 CM AB1 10 分 A B C A1 B1 C1 M N 第 15 题 高三数学试题第 8 页 共 4 页 又 AB1 A1M A1M CM 平面 A1MC A1M CM M 所以 AB1 平面 A1MC 12 分 又 A1C 平面 A1MC 所以 AB1 A1C 14 分 16 解 解 1 因为 c b 则由正弦定理 得 5 2 sinC sinB 2 分 5 2 又因为 C 2B 所以 sin2B sinB 即 2sinBcosB sinB 5 2 5 2 4 分 又 B 是 ABC 的内角 所以 sinB 0 故 cosB 5 4 6 分 2 因为 所以 cbcosA bacosC 则由余弦定理 AB AC CA CB 得 b2 c2 a2 b2 a2 c2 得 a c 10 分 从而 cosB a2 c2 b2 2ac 12 分 c2 c2 f 2 r 5 c 2 2c2 3 5 又 0 B 所以 sinB 1 cos2B 4 5 从而 cos B cosBcos sinBsin 4 4 4 3 5 2 2 4 5 2 2 2 10 14 分 17 解 解 1 在图甲中 连接 MO 交 EF 于点 T 设 OE OF OM R 在 Rt OET 中 因为 EOT EOF 60 1 2 所以 OT R 则 MT OM OT 1 2 R 2 从而 BE MT R 即 R 2BE 2 2 分 1 2 故所得柱体的底面积 S S扇形 OEF S OEF R2 R2sin120 4 分 1 3 1 2 4 33 又所得柱体的高 EG 4 T A D C B E G F O M N H 高三数学试题第 9 页 共 4 页 所以 V S EG 4 16 33 答 当 BE 长为 1 分米时 折卷成的包装盒的容积 为 4 立方分米 16 33 6 分 2 设 BE x 则 R 2x 所以所得柱体的底面积 S S扇形 OEF S OEF R2 R2sin120 x2 1 3 1 2 4 33 又所得柱体的高 EG 6 2x 所以 V S EG 2 x3 3x2 其中 0 x 3 8 33 10 分 令 f x x3 3x2 x 0 3 则由 f x 3x2 6x 3x x 2 0 解得 x 2 12 分 列表如下 x 0 2 2 2 3 f x 0 f x 极大值 所以当 x 2 时 f x 取得最大值 答 当 BE 的长为 2 分米时 折卷成的包装盒的容积最大 14 分 18 解 解 1 由 N Q 0 得直线 NQ 的方程为 3 3 2 2 3 3 y x 2 分 3 23 令 x 0 得点 B 的坐标为 0 3 所以椭圆的方程为 1 x2 a2 y2 3 4 分 将点 N 的坐标 代入 得 1 解得 a2 4 3 3 2 r 3 2 a2 f r 3 2 2 3 所以椭圆 C 的标准方程为 1 8 分 x2 4 y2 3 2 方法一方法一 设直线 BM 的斜率为 k k 0 则直线 BM 的方程为 y kx 3 在 y kx 中 令 y 0 得 xP 而点 Q 是线段 OP 的中点 所以 xQ 3 3 k 3 2k 所以直线 BN 的斜率 kBN kBQ 2k 10 分 0 r 3 3 2k 0 高三数学试题第 10 页 共 4 页 联立 消去 y 得 3 4k2 x2 8kx 0 解得 xM y kx 3 x2 4 y2 3 1 3 8 3k 3 4k2 用 2k 代 k 得 xN 16 3k 3 16k2 12 分 又 2 所以 xN 2 xM xN 得 2xM 3xN DN NM 14 分 故 2 3 又 k 0 解得 k 8 3k 3 4k2 16 3k 3 16k2 6 2 所以直线 BM 的方程为 y x 6 23 16 分 方法二 方法二 设点 M N 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由 B 0 得直线 BM 的方程为 y x 3 y1 3 x13 令 y 0 得 xP 3x1 y1 3 同理 得 xQ 3x2 y2 3 而点 Q 是线段 OP 的中点 所以 xP 2xQ 故 2 3x1 y1 3 3x2 y2 3 10 分 又 2 所以 x2 2 x1 x2 得 x2 x1 0 从而 DN NM 2 3 1 y1 3 4 3 y2 3 解得 y2 y1 12 分 4 3 3 3 将代入到椭圆 C 的方程中 得 1 x2 2 3x1 y2 4 3y1 3 3 x12 9 4y1 r 3 2 27 又 x12 4 1 所以 y12 3 1 14 分 4 1 f y12 3 9 4y1 r 3 2 27 即y12 2y1 0 33 解得 y1 舍 或 y1 又 x1 0 所以点 M 的坐标为 M 3 3 3 4 2 3 3 3 故直线 BM 的方程为 高三数学试题第 11 页 共 4 页 y x 16 分 6 23 19 解 解 1 由题意 可得 an2 an d an d d2 化简得 1 d2 0 又 d 0 所以 1 4 分 2 将 a1 1 a2 2 a3 4 代入条件 可得 4 1 4 解得 0 所以 an2 an 1an 1 所以数列 an 是首项为 1 公比 q 2 的等比数列 所以 an 2n 1 6 分 欲存在 r 3 7 使得 m 2n 1 n r 即 r n m 2n 1对任意 n N 都成立 则 7 n m 2n 1 所以 m 对任意 n N 都成立 n 7 2n 1 8 分 令 bn 则 bn 1 bn n 7 2n 1 n 6 2n n 7 2n 1 8 n 2n 所以当 n 8 时 bn 1 bn 当 n 8 时 b9 b8 当 n 8 时 bn 1 bn 所以 bn的最大值为 b9 b8 所以 m 的最小值为 1 128 1 128 10 分 3 因为数列 an 不是常数列 所以 T 2 若 T 2 则 an 1 an恒成立 从而 a3 a1 a4 a2 所以 a22 a12 a2 a1 2 a12 a22 a2 a1 2 所以 a2 a1 2 0 又 0 所以 a2 a1 可得 an 是常数列 这与已知条件矛盾 所以 T 2 不合题意 12 分 若 T 3 取 an k N 满足 an 3 an恒成 1 n 3k 2 2 n 3k 1 3 n 3k 立 14 分 由 a22 a1a3 a2 a1 2 可得此时 7 则条件式变为 an2 an 1an 1 7 由 22 1 3 7 知 a3k 12 a3k 2a3k a2 a1 2 由 3 2 2 1 7 知 a3k2 a3k 1a3k 1 a2 a1 2 由 12 3 2 7 知 a3k 12 a3ka3k 2 a2 a1 2 所以 数列 适合题意 所以 T 的最小值为 3 16 分 注 写一个数列 an 时 需满足 a1 a2 a3 0 且 a1 a2 20 解 解 1 由 f x lnx 得 f 1 0 又 f x 所以 f 1 1 1 x 当 c 0 时 g x ax 所以 g x a 所以 g 1 b x b x2 a b 2 分 因为函数 f x 与 g x 的图象在 x 1 处有相同的切线 高三数学试题第 12 页 共 4 页 所以即解得 f 1 g 1 f 1 g 1 a b 1 a b 0 a 1 2 b 1 2 4 分 2 方法一方法一 当 x0 1 时 则 f x0 0 又 b 3 a 设 t f x0 则题意可转化为方程 ax c t t 0 在 0 上有相异两实根 x1 x2 3 a x 6 分 即关于 x 的方程 ax2 c t x 3 a 0 t 0 在 0 上有相异两实根 x1 x2 所以得 0 a 3 c t 2 4a 3 a 0 x1 x2 c t a 0 x1x2 3 a a 0 0 a 3 c t 2 4a 3 a c t 0 所以 c 2 t 对任意 t 0 恒成 a 3 a 立 8 分 因为 0 a 3 所以 2 2 3 当且仅当 a 时取等号 a 3 a a 3 a 2 3 2 又 t 0 所以 2 t 的取值范围是 3 所以 c 3 a 3 a 故 c 的最小值为 3 10 分 方法二 方法二 由 b 3 a 且 0 a 3 得 g x a 0 得 x 3 a x2 ax2 3 a x2 3 a a 或 x 舍 3 a a 则函数 g x 在 0 上递减 在 上递增 3 a a 3 a a 又对任意 x0 1 f x0 为 0 上的任意一个值 若存在不相等的正实数 x1 x2 使得 g x1 g x2 f x0 则 g x 的最小值小于或等于 0 即 g 2 c 0 3 a aa 3 a 6 分 即 c 2对任意 a 0 3 恒成立 a 3 a 又 2 a 3 a 3 所以 a 3 a c 3 8 分 当 c 3 对任意 a 0 3 x0 1 方程 g x f x0 0 化为 ax 3 f x0 0 即 ax2 3 f x0 x 3 a 0 3 a x 关于 x 的方程 的 3 f x0 2 4a 3 a 3 f x0 2 4 a 3 a 2 2 3 f x0 2 9 高三数学试题第 13 页 共 4 页 因为 x0 1 所以 f x0 lnx0 0 所以 0 所以方程 有两个不相等的实数解 x1 x2 又 x1 x2 0 x1x2 0 f x0 3 a 3 a a 所以 x1 x2为两个正实数解 所以 c 的最小值为 3 10 分 3 当 a 1 时 因为函数 f x 与 g x 的图象交于 A B 两点 所以两式相减 得 lnx1 x1 b x1 c lnx2 x2 b x2 c b x1x2 1 12 分 lnx2 lnx1 x2 x1 要证明 x1x2 x2 b x1x2 x1 即证 x1x2 x2 x1x2 1 x1x2 x1 lnx2 lnx1 x2 x1 即证 即证 1 x2 lnx2 lnx1 x2 x1 1 x1 1 ln 1 14 分 x1 x2 x2 x1 x2 x1 令 t 则 t 1 此时即证 1 lnt t 1 x2 x1 1 t 令 x lnt 1 所以 t 0 所以当 t 1 时 函数 t 单调递增 1 t 1 t 1 t2 t 1 t2 又 1 0 所以 t lnt 1 0 即 1 lnt 成立 1 t 1 t 再令 m t lnt t 1 所以 m t 1 0 所以当 t 1 时 函数 m t 单调递 1 t 1 t t 减 又 m 1 0 所以 m t lnt t 1 0 即 lnt t 1 也成立 综上所述 实数 x1 x2满足 x1x2 x2 b x1x2 x1 16 分 高三数学试题第 14 页 共 4 页 南京市 盐城市南京市 盐城市 20182018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2018 01 21 选做题选做题 在在 A B C D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 小题 每小题小题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 请在分 请在 答题卡指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 答题卡指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 解 解 如图 连接 AE OE 过 E 作 EF AB 交 AB 于 F 因为直线 DE 与 O 相切于点 E 所以 DE OE 又因为 AD 垂直 DE 于 D 所以 AD OE 所以 DAE OEA 在 O中 OE OA 所以 OEA OAE 5 分 由 得 DAE OAE 即 DAE FAE 又 ADE AFE AE AE 所以 ADE AFE 所以 DE FE 又 DE 4 所以 FE 4 即 E 到直径 AB 的距离为 4 10 分 B 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 解 设 P x0 y0 是圆 x2 y2 1 上任意一点 则 x02 y02 1 设点 P x0 y0 在矩阵 M 对应的变换作用下所得的点为 Q x y 则 x y 2 0 0 1 x0 y0 2x0 y0 即 即 x 2x0 y y0 x0 1 2x y0 y 5 分 代入 x02 y02 1 得 y2 1 即为所求的曲线方程 x2 4 10 分 C 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 解 以极点 O 为原点 极轴 Ox 为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 由 cos 1 得 cos cos sin sin 1 3 3 3 得直线的直角坐标方程为 x y 2 0 3 5 分 AB E D FO 第 21 A 高三数学试题第 15 页 共 4 页 曲线 r 的直角坐标方程为圆 x2 y2 r2 所以圆心到直线的距离为 d 1 1 0 3 0 2 12 r 3 2 因为直线 cos 1 与曲线 r r 0 相切 所以 r d 即 r 1 3 10 分 D 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 解 解 由柯西不等式 得 x2 y 2 12 2 x 1 y 2 3 3 33 3 3 即 x2 3y2 x y 2 4 3 而 x2 3y2 1 所以 x y 2 所以 4 3 x y 5 分 2 3 3 2 3 3 由即所以当且仅当 x y 时 x y max x 1 3y 3 3 x y 2 3 3 x 3 2 y 3 6 3 2 3 6 2 3 3 所以当 x y 取最大值时 x 的值为 x 10 分 3 2 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 分 22 解 解 1 因为 ABCD 是菱形 所以 AC BD 因为 OP 底面 ABCD 所以以 O 为原点 直线 OA OB OP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示空间直角坐标系 则 A 2 0 0 B 0 1 0 P 0 0 4 C 2 0 0 M 1 0 2 所以 2 0 4 1 1 2 10 AP BM AP BM 2 AP 5 BM 6 则 cos AP BM AP BM AP BM 10 2 5 6 30 6 故异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 5 分 30 6 2 2 1 0 1 1 2 AB BM 设平面 ABM 的一个法向量为 n x y z M AB C D O P 第 22 题 x y z 高三数学试题第 16 页 共 4 页 则得 令 x 2 得 y 4 z 3 n n AB 0 n n BM 0 2x y 0 x y 2z 0 所以平面 ABM 的一个法向量为 n 2 4 3 又平面 PAC 的一个法向量为 0 1 0 所以 n 4 n 1 OB OB 29 OB 则 cos n OB n OB n OB 4 29 29 故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为 4 29 29 10 分 23 解 解 1 由条件 n N nf n C C 2 C 0 n 1 n C r CC n CC 1 n 2 n r 1 n r n n 1 n n n 在 中令 n 1 得 f 1 C C 1 1 分 0 1 1 1 在 中令 n 2 得 2f 2 C C 2 C C 6 得 f 2 0 2 1 2 1 2 2 2 3 2 分 在 中令 n 3 得 3f 3 C C 2 C C 3 C C 30 得 f 3 10 0 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 分 2 猜想 f n C 或 f n n 2n 1 C 5 分 n 1 2n 1 欲证猜想成立 只要证等式 n C C C 2 C C r CC n CC 成 n 2n 1 0 n 1 n 1 n 2 n r 1 n r n n 1 n n n 立 方法一 方法一 当 n 1 时 等式显然成立 当 n 2 时 因为 rC n nC 7 分 r n r n r n r n r 1 n r n 1 r 1 n r r 1 n 1 故 r CC r C C n CC r 1 n r n r n r 1 n r 1 n 1 r 1 n 故只需证明 n C nCC n CC n CC n CC n 2n 1 0 n 1 0 n 1 n 1 1 n r 1 n 1 r 1 n n 1 n 1 n 1 n 即证 C CC CC CC CC n 2n 1 0 n 1 0 n 1 n 1