多媒体教室投影设备的布置数学建模

1 多媒体教室投影设备的布置多媒体教室投影设备的布置 摘要摘要 本文通过求解光照强度和空间距离的巧妙联系 解决了多媒体投影屏幕的 最佳布置问题 目的在于使投影屏幕与黑板的重叠面积最小的的情况下满足更 多的学生能看见投影屏幕上的内容 此模型的优点在于通过光照强度空间距离的关系 把投影屏幕的安放问题 转化为光照强度和空间距离的线性规划问题 通过对投影灯的机理进行分析 将投影仪的线光源离散化为点光源 分别 求出个点光源在屏幕上产生的光照强度 再对其进行叠加 可求解出投影灯泡 线光源在投影屏幕上各点产生的光照强度 通过查资料可得出人眼能看清物体所接受的光照强度与人眼到光源的距离 的关系 即可以求解出在满足看清物体的条件下 光源距观察者的距离范围 在满足位置条件约束情况下 可以通过改变投影屏幕的位置来满足其距离范围 通过几何关系又可转化为投影屏幕与反射光进入人眼的光照强度的关系 再由 线性规划即可求出投影最佳安放位置 在最佳安放位置下此时重叠面积最小 投影屏幕右侧距离门墙壁为 znbrw b 为满足线性条件下求出的最优解 投影屏幕下端与黑板槽平齐 y j 通过 z y 的值即可求出投影屏幕的最佳安放的位置 黑板与投影屏幕的重叠面积 sqwbu 说明 b 为位置条件约束下最远学生 B 距离投影屏幕上 C 的水平距离 r 为投影屏幕水平宽度 已知 w 为投影屏幕上光源 C 点到投影屏幕左侧距离 q 左侧靠窗位置到黑板右侧水平距离 已知 n 为左侧靠窗一列到另侧墙壁的距离 已知 u 黑板的高度 已知 j 黑板槽距离地面的高度 已知 关键词 线光源 光照强度 最佳安放位置关键词 线光源 光照强度 最佳安放位置 2 问题的提出问题的提出 多媒体电化教学在现代教学中有着举足轻重的作用 文华学院对多媒体电 化教学历来十分重视 在所有的教室均安装了电化教学投影设备 这为我校多 媒体教学的全面展开提供了方便 但是 电化教学投影设备在使用中也暴露了不少的问题 其中最为突出的 是投影设备的布置并不合理 具体情况如下 1 投影屏幕放下后挡住了大部分黑板 给教师能给使用的黑板面积十分有 限 这不利于教师的 黑板结合多媒体教学 2 不少坐在左右两边和后排的学生反映 看不清屏幕上的内容 3 南边或西边有窗的教室 太阳光极易照在多媒体屏幕上 使得投影清晰 度降低 模型的假设模型的假设 1 光线从光源传播到人眼不考虑其色散 折射 吸收等一切能量的损失 2 人眼接收的光强与观察距离为一次线性函数 其比例系数为 K 3 计算观察者到光源距离时假设其座位由前往后坐 且中间不留空位置 4 不考虑人眼视力差别等个人因素 模型的建立模型的建立 人眼收接收的光照强度 I 与人眼到光源的距离 A 的平方成反比 其比 例关系为 2 E Ik A 其中 E 为光源的光照强度 比例系数 K 可通过相关资料查询 由于人眼看清楚物体时所接受的光照强度有一定的范围 其范围由观察者到光 源的距离决定 因此通过建立不等式可以求解出最远学生如果要看清楚投影屏 幕上的字时距离投影屏幕的距离 x 当 x 不在条件距离内时 可通过改变投影 屏幕的位置来满足条件 假设此时最远的学生恰好能看清屏幕上的字 即 B 学生能看清屏幕上 C 点 的字 此时应为移动屏幕水平和竖直的高度会遮挡住一定的黑板的面积 此面 积即为最小遮挡面积 3 图二图二 模型的求解模型的求解 各符号的意义 点光源的发光效率 为一常数 E 点光源 i 发射的光线在 b 点产生的光强 点光源发射的光通量 p 单位长度线光源的功率 P 线光源的功率 I 点光源的发光强度 L 线光源的长度 光线与测试屏的夹角 1 线光源的功率 由于线光源是均匀分布的 因此我们将其看成由许多功率相同的点光源组 成 那么可将线光源分为若干个长度为的小段 每段视为一个点光源 假设dl 单位长度线光源的功率为 p 则每个点光源的功率为 pdl 由此可得 线光源的功率 2 2 l l pdlP 2 点光源 i 在某点 b 附近产生的光照度 ib E 某点的光照度与射到这点附近单位面积上的光通量数值成正比 即 ds d E 4 而点光源单位时间内发射的总光通量为 故其发光强度pdl 容易导出从点光源 i 发出立体角为的光束以角度 射到与其距离为 r d 的一点 b 附近产生光斑的面积为 ib ib dr ds cos 2 由此可知点光源在与其距离为 r 的表面产生的光照度是 22 4 coscos ib ib ib ib ib r pdl r I ds Id ds d E 即 2 4 cos ib ib ib r pdl E 3 测试屏上任意一点 b 的光强 对于点光源发射的光线经过旋转抛物面反射后到达测试屏的情况 因为不 考虑反射衰减 所以我们可将其看作是这个点所成的虚像发射的光线 同样可 以用上面给出的光照度公式进行计算 那么点光源 i 对于测试屏上一点 b 的光强的影响是这个光源直射光在 b 点 产生的光照度及反射光对 b 点产生的光照度之和 则 b 点的光强为线光 ib E ib E 源上所有点对其产生的光照度的叠加 有 dl r r p EEE l l ib ib ib ib l l ibibb 2 2 2 2 2 2 coscos 4 将 b 点的光强公式进行如下变形 dl r p dl r p dl r r p E l l iB iB l l iB iB l l iB iB iB iB B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 4 cos 4 coscos 4 可以看出 b 点的光强是线光源上所有的点光源直射光产生的照度的积分及放 射光产生的照度的积分之和 因此我们可分别求出各个点光源的直射光和各个 点光源的反射光对测试屏上任一点的照度产生的影响 然后将它们进行叠加 就得到线光源对测试屏一点的照度的影响 1 直射光的处理 对于直射光 由于点光源的位置确定 因此可用上面推导的光强计算公式 算出在测试屏上直射产生的光强 即2 4 cos ib ib ib r pdl E 那么线光源所有 的直射光对测试屏上某点 b 产生的照度为 对于这个积分的 dl r p l l iB iB 2 2 2 cos 4 计算 我们可以取一个较小的dl 将线光源分为 n 段 将每段视为一个点 l dl 5 光源 然后用求出它在 b 点产生的光强 再将这 n 个光 2 4 cos ib ib ib r pdl E 强叠加 就得到了线光源直射光在这点产生的光强 n iib ib b r pdl E 1 2 4 cos 直射 由此可以得到线光源在测试屏上的直射光光强分布 2 反射光的处理 对于反射光 由于我们不知道点光源所成虚像的位置 因此反射光在 B C 两点的入射角度及虚像与 B C 两点的距离都不容易求 这样用平方反比定律求 光照度不是很方便 因此我们用光通转移法求解反射光对 B C 两点的光照度 光通转移法的原理 如图一 是基于照射到一块反射面上的光通量 在不 考虑反射损耗的话 将完全照射到所对应的测试屏上 由此我们可以算出照射 到测试屏上的光通量为 4 cos cos 2 p r rr II 其中 入射线与面元法线的夹角 入射线与光轴的夹角的变化量 抛物线旋转角度的变化量 那么照射到测试屏上的照度 S 是测试屏上对应的 s p s E 4 cos 面积 由照度计算公式 对于给定位置的点光源 我们以较小的步长变化 就可以得到测试屏上对应区间的光照度分布 取一个较小的 将线dl 光源分为 n 段 每段可视为一个点光源 然后用 s p s E 4 cos 求 l dl 出它在测试屏上产生的光强分布 将这 n 个点光源的光强分布叠加 就近似得 到线光源反射光在测试屏产生的光强分布 这样就求出了投影灯在投影屏幕上个点的光照强度为 6 1 查出投影仪灯泡的相关参数 即可求出投影仪灯泡在屏幕上各点的光照强度 符号说明符号说明 B 在位置条件约束下距离投影屏幕最远的学生 C 投影屏幕上的光源 已知 a B 学生距离黑板墙壁的垂直距离 b B 学生距离投影屏幕上 C 的水平距离 h C 点距离地面的高度 已知 w C 点到投影屏幕左侧距离 已知 m 最后排学生到屏幕的垂直距离 已知 n 靠窗位置到门口墙壁的距离 已知 r 投影屏幕的水平宽 已知 e 投影屏幕的竖直高 已知 p 黑板槽距离地面的高度 已知 o 投影屏幕与黑板右侧的重叠宽度 u 投影屏幕与黑板的重叠高度 已知 q 靠窗位置到黑板右侧水平距离 已知 f 人眼可看清物体的最小光强 已知 t 人眼可看清物体的最大光强 已知 x 最远学生距到屏幕的距离 s 投影屏幕遮挡黑板的面积 于 可得 2 E fIkt A kEkE A ft 由图可得 可得 222 xabh 222 bxah 可得 oqwb 222 oqwxah 可得 目标函数 so u 222 sqwxahu 则需满足以下条件 1 0am 2 0brn 3 hej 4 kEkE x ft 7 以上数据均为非负数 5 问题的解决问题的解决 目标函数中只有 a x 是未知量 则此问题最终可转 222 sqwxahu 化为函数 s 求最小值的问题 运用数学软件即可求出 s a b 此时只要如下布置投影屏幕即可解决 1 2 问题 投影屏幕右侧距离门墙壁为 znbrw 投影屏幕下端与黑板槽平齐 yj 说明 n 为教室左侧靠窗一排位置到右侧墙壁的距离 b 为在线性条件范围内求解的最优解 r 为投影屏幕的宽 w 为投影屏幕上光源 C 点到投影屏幕左侧距离 如图 3 3 所示 图图 3 3 模型的补充模型的补充 至于第三个问题 可以通过拉上窗帘等人为因数解决 并不受客观条件约束 因而在此不予考虑 模型的进一步讨论模型的进一步讨论 1 在本模型中 我们认为灯丝的发光强度是均匀分布的 但在实际中灯丝 的温度是两端低中间高 因此它的光强也应是两端弱中间强 我们可认为温度 的分布近似是一个等腰三角形 如下图所示 8 因此将线光源分段后 我们不能把每段光源视为功率相同 而要根据它的 发光强度来计算其功率 然后去计算它在测试屏上的