2019年上海市春季高考数学试卷

2019 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 12 题 满分题 满分 54 分 第分 第 1 6 题每题题每题 4 分 第分 第 7 12 题每题题每题 5 分 分 1 4 分 已知集合 2 3 4 5 则 1A 5 3B 6 AB 2 4 分 计算 2 2 231 lim 41 n nn nn 3 4 分 不等式的解集为 1 5x 4 4 分 函数的反函数为 2 0 f xxx 5 4 分 设 为虚数单位 则的值为 i365zii z 6 4 分 已知 当方程有无穷多解时 的值为 2 221 4 xy xa ya a 7 5 分 在的展开式中 常数项等于 6 1 x x 8 5 分 在中 且 则 ABC 3AC 3sin2sinAB 1 cos 4 C AB 9 5 分 首届中国国际进口博览会在上海举行 某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者 活动 其中甲连续参加 2 天 其他人各参加 1 天 则不同的安排方法有 种 结果用 数值表示 10 5 分 如图 已知正方形 其中 函数交于点 函OABC 1 OAa a 2 3yx BCP 数交于点 当最小时 则的值为 1 2 yx ABQ AQCP a 11 5 分 在椭圆上任意一点 与关于轴对称 若有 则 22 1 42 xy PQPx 12 1FP F P A 与的夹角范围为 1 FP 2 F Q 12 5 分 已知集合 存在正数 使得对任意 At 1 4tt 9 t 0A 都有 则 的值是 aA A a t 二 选择题 本大题共二 选择题 本大题共 4 题 每题题 每题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 下列函数中 值域为 的是 0 A B C D 2xy 1 2 yx tanyx cosyx 14 5 分 已知 则 是 的 abR 22 ab ab A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 15 5 分 已知平面 两两垂直 直线 满足 abc 则直线 不可能满足以下哪种关系 a b c abc A 两两垂直B 两两平行C 两两相交D 两两异面 16 5 分 以 为圆心的两圆均过 与轴正半轴分别交于 1 a0 2 a0 1 0 y 1 y 且满足 则点的轨迹是 0 2 y0 12 0lnylny 12 11 aa A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 题 共题 共 14 14 14 16 18 76 分 分 17 14 分 如图 在正三棱锥中 PABC 2 3PAPBPCABBCAC 1 若的中点为 的中点为 求与的夹角 PBMBCNACMN 2 求的体积 PABC 18 14 分 已知数列 前项和为 n a 1 3a n n S 1 若为等差数列 且 求 n a 4 15a n S 2 若为等比数列 且 求公比的取值范围 n alim12 n n S q 19 14 分 改革开放 40 年 我国卫生事业取得巨大成就 卫生总费用增长了数十倍 卫 生总费用包括个人现在支出 社会支出 政府支出 如表为 2012 年年我国卫生2015 货用中个人现金支出 社会支出和政府支出的费用 单位 亿元 和在卫生总费用中的 占比 个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出年份卫生总费 用 亿 元 绝对数 亿元 占卫生总费用 比重 绝对数 亿元 占卫 生 总 费 用 比 重 绝对数 亿 元 占卫 生 总 费 用 比 重 201228119 009656 3234 3410030 7035 67 8431 98 29 99 201331668 9510729 3433 8811393 7935 98 9545 81 30 14 201435312 4011295 4131 9913437 7538 05 10579 23 29 96 201540974 6411992 6529 2716506 7140 29 12475 28 30 45 数据来源于国家统计年鉴 1 指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变 化趋势 2 设表示 1978 年 第年卫生总费用与年份 之间拟合函数研1t nt 6 4420 0 1136 357876 6053 1 t f t e 究函数的单调性 并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份 f t 20 16 分 已知抛物线方程 为焦点 为抛物线准线上一点 为线段 2 4yx FPQ 与抛物线的交点 定义 PF PF d P FQ 1 当时 求 8 1 3 P d P 2 证明 存在常数 使得 a2 d PPFa 3 为抛物线准线上三点 且 判断与的关 1 P 2 P 3 P 1223 PPP P 13 d Pd P 2 2 d P 系 21 18 分 已知等差数列的公差 数列满足 集合 n a 0d n bsin nn ba n Sx xb nN 1 若 求集合 1 2 0 3 ad S 2 若 求使得集合恰好有两个元素 1 2 a dS 3 若集合恰好有三个元素 是不超过 7 的正整数 求的所有可能的S n Tn bb TT 值 2019 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 12 题 满分题 满分 54 分 第分 第 1 6 题每题题每题 4 分 第分 第 7 12 题每题题每题 5 分 分 1 4 分 已知集合 2 3 4 5 则 1A 5 3B 6 AB 35 解答 解 集合 2 3 4 1A 5 5 3B 6 3AB 5 故答案为 35 2 4 分 计算 2 2 2 231 lim 41 n nn nn 解答 解 2 2 2 2 31 2 231 limlim2 41 41 1 nn nn nn nn nn 故答案为 2 3 4 分 不等式的解集为 1 5x 6 4 解答 解 由得 即 1 5x 515x 64x 故答案为 6 4 4 4 分 函数的反函数为 2 0 f xxx 1 0 fxx x 解答 解 由解得 2 0 yxx xy 1 0 fxx x 故答案为 1 f 0 xx x 5 4 分 设 为虚数单位 则的值为 i365zii z 解答 解 由 得 即 365zii 366zi 22zi 22 222 2zz 故答案为 2 2 6 4 分 已知 当方程有无穷多解时 的值为 2 221 4 xy xa ya a2 解答 解 由题意 可知 方程有无穷多解 可对 得 2 442xy 再与 式比较 可得 2a 故答案为 2 7 5 分 在的展开式中 常数项等于 15 6 1 x x 解答 解 展开式的通项为令得 6 1 x x 36 2 16 r r r TC x 39 0 2 r 2r 故展开式的常数项为第 3 项 2 6 15C 故答案为 15 8 5 分 在中 且 则 ABC 3AC 3sin2sinAB 1 cos 4 C AB 10 解答 解 3sin2sinAB 由正弦定理可得 32BCAC 由 可得 3AC 2BC 1 cos 4 C 由余弦定理可得 222 132 4232 AB 解得 10AB 故答案为 10 9 5 分 首届中国国际进口博览会在上海举行 某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者 活动 其中甲连续参加 2 天 其他人各参加 1 天 则不同的安排方法有 24 种 结果 用数值表示 解答 解 在五天里 连续的 2 天 一共有 4 种 剩下的 3 人排列 故有种 3 3 424A 故答案为 24 10 5 分 如图 已知正方形 其中 函数交于点 函OABC 1 OAa a 2 3yx BCP 数交于点 当最小时 则的值为 1 2 yx ABQ AQCP a3 解答 解 由题意得 点坐标为 点坐标为 P 3 a aQ 1 a a 11 2 33 a AQCP a 当且仅当时 取最小值 3a 故答案为 3 11 5 分 在椭圆上任意一点 与关于轴对称 若有 则 22 1 42 xy PQPx 12 1FP F P A 与的夹角范围为 1 FP 2 F Q 1 arccos 3 解答 解 设 则点 P x yQ xy 椭圆的焦点坐标为 22 1 42 xy 2 0 20 12 1FP F P A 22 21xy 结合 22 1 42 xy 可得 2 1y 2 故与的夹角满足 1 FP 2 F Q 222 12 22 2222 12 2238 cos3 1 22 2 8 FP F Qxyy yy FP F Qxyx A A 1 3 故 1 arccos 3 故答案为 1 arccos 3 12 5 分 已知集合 存在正数 使得对任意 At 1 4tt 9 t 0A 都有 则 的值是 1 或 aA A a t3 解答 解 当时 当 时 则 0t at 1 t 4t a 9 t 当 时 则 4at 9 t t a 1 t 即当时 当时 即 at 9t a 9at t a 9 t t 当时 当时 即 1at 4t a 4at 1t a 1 4 tt 解得 9 1 4 t ttt 1t 当时 当 时 则 104tt at 1 t t a 1 t 当 则 4at 9 t 4t a 9 t 即当时 当时 即 at 1t a 1at t a 1 t t 即当时 当时 即 4at 9t a 9at 4t a 4 9 tt 解得 1 4 9 t ttt 3t 当时 同理可得无解 90t 综上 的值为 1 或 t3 故答案为 1 或 3 二 选择题 本大题共二 选择题 本大题共 4 题 每题题 每题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 下列函数中 值域为 的是 0 A B C D 2xy 1 2 yx tanyx cosyx 解答 解 的值域为 故错A2xy 0 A 的定义域为 值域也是 故正确 Byx 0 0 B 的值域为 故错Ctanyx C 的值域为 故错 Dcosyx 1 1 D 故选 B 14 5 分 已知 则 是 的 abR 22 ab ab A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 解答 解 等价 得 22 ab 22 ab ab 是 的充要条件 22 ab ab 故选 C 15 5 分 已知平面 两两垂直 直线 满足 abc 则直线 不可能满足以下哪种关系 a b c abc A 两两垂直B 两两平行C 两两相交D 两两异面 解答 解 如图 1 可得 可能两两垂直 abc 如图 2 可得 可能两两相交 abc 如图 3 可得 可能两两异面 abc 故选 B 16 5 分 以 为圆心的两圆均过 与轴正半轴分别交于 1 a0 2 a0 1 0 y 1 y 且满足 则点的轨迹是 0 2 y0 12 0lnylny 12 11 aa A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 解答 解 因为 则 22 1111 1 raay 2 11 12ya 同理可得 2 22 12ya 又因为 12 0lnylny 所以 12 1y y 则 12 12 12 1aa 即 1212 2a aaa 则 12 11 2 aa 设 则为直线 1 2 1 1 x a y a 2xy 故选 A 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 题 共题 共 14 14 14 16 18 76 分 分 17 14 分 如图 在正三棱锥中 PABC 2 3PAPBPCABBCAC 1 若的中点为 的中点为 求与的夹角 PBMBCNACMN 2 求的体积 PABC 解答 解 1 分别为 的中点 M NPBBC MNPC 则为与所成角 PCA ACMN 在中 由 PAC 2PAPC 3AC 可得 222 33 cos 24223 PCACPA PCA PC AC A 与的夹角为 AC MN 3 arccos 4 2 过作底面垂线 垂直为 则为底面三角形的中心 POO 连接并延长 交于 则 AOBCN 3 2 AN 2 1 3 AOAN 22 213PO 1133 33 3224 P ABC V 18 14 分 已知数列 前项和为 n a 1 3a n n S 1 若为等差数列 且 求 n a 4 15a n S 2 若为等比数列 且 求公比的取值范围 n alim12 n n S q 解答 解 1 41 33315aadd 4d 2 1 342 2 n n n Snnn 2 存在 3 1 1 n n q S q lim n n S 11q 存在 且 lim n n S 11q 0q 3 1 3 limlim 11 n n nn q S qq 或 3 12 1q 3 4 q 10q 3 0 4 q 公比的取值范围为 q 1 0 0 3 4 19 14 分 改革开放 40 年 我国卫生事业取得巨大成就 卫生总费用增长了数十倍 卫 生总费用包括个人现在支出 社会支出 政府支出 如表为 2012 年年我国卫生2015 货用中个人现金支出 社会支出和政府支出的费用 单位 亿元 和在卫生总费用中的 占比 个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出年份卫生总费 用 亿 元 绝对数 亿元 占卫生总费用 比重 绝对数 亿元 占卫 生 总 费 用 比 重 绝对数 亿 元 占卫 生 总 费 用 比 重 201228119 009656 3234 3410030 7035 67 8431 98 29 99 201331668 9510729 3433 8811393 7935 98 9545 81 30 14 201435312 4011295 4131 9913437 7538 05 10579 23 29 96 201540974 6411992 6529 2716506 7140 29 12475 28 30 45 数据来源于国家统计年鉴 1 指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变 化趋势 2 设表示 1978 年 第年卫生总费用与年份 之间拟合函数研1t nt 6 4420 0 1136 357876 6053 1 t f t e 究函数的单调性 并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份 f t 解答 解 1 由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少 社会支出占比逐渐增多 2 是减函数 且 6 4420 0 1136t ye 6 4420 0 1136 0 t ye 在上单调递增 6 4420 0 1136 357876 6053 1 t f t e N 令 解得 6 4420 0 1136 357876 6053 120000 1 t e 50 68t 当时 我国卫生总费用超过 12 万亿 51t 预测我国到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿 20 16 分 已知抛物线方程 为焦点 为抛物线准线上一点 为线段 2 4yx FPQ 与抛物线的交点 定义 PF PF d P FQ 1 当时 求 8 1 3 P d P 2 证明 存在常数 使得 a2 d PPFa 3 为抛物线准线上三点 且 判断与的关 1 P 2 P 3 P 1223 PPP P 13 d Pd P 2 2 d P 系 解答 解 1 抛物线方程的焦点 2 4yx 1 0 F 8 1 3 P 的方程为 代入抛物线的方程 解得 8 4 3 23 PF k PF 4 1 3 yx 1 4 Q x 抛物线的准线方程为 可得 1x 2 6410 2 93 PF 15 1 44 QF 8 3 PF d P QF 2 证明 当时 1 0 P 2 2222ad PPF 设 则 1 P Py 0 P y 1PF xmy 2 P my 联立和 可得 1xmy 2 4yx 2 440ymy 2 2 41616 22 1 2 Q mm ymm 2 2 2 22 1 2 212 22 1 P P Q ym d PPFm y ym mmm A 22 12 1 22 mmm mm A 则存在常数 使得 a2 d PPFa 3 设 则 11 1 Py 22 1 Py 33 1 Py 222 132132132 2 4 2 442 4d Pd pd PPFPFP Fyyy 22222213 131313 442 444 16 2 yy yyyyyy 由 222222 13131313 44 16 2 4428yyyyyyy y 222222 1313131313 4 4 4 4 84 0yyy yyyy yyy 则 132 2 d Pd Pd P 21 18 分 已知等差数列的公差 数列满足 集合 n a 0d n bsin nn ba n Sx xb nN 1 若 求集合 1 2 0 3 ad S 2 若 求使得集合恰好有两个元素 1 2 a dS 3 若集合恰好有三个元素 是不超过 7 的正整数 求的所有可能的S n Tn bb TT 值 解答 解 1 等差数列的公差 数列满足 集合 n a 0d n bsin nn ba n Sx xb nN 当 1 2 0 3 ad 集合 0 3 2 S 3 2 2 数列满足 集合恰好有两个元素 如 1 2 a n bsin nn ba n Sx xb nN 图 根据三角函数线 等差数列的终边落在轴的正负半轴上时 集合恰好有两个元 n ayS 素 此时 d 终边落在上 要使得集合恰好有两个元素 可以使 的终边关于轴对称 1 aOAS 2 a 3 ay 如