新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

推理与证明推理与证明 知识归纳总结知识归纳总结 第一部分第一部分 合情推理合情推理 学习目标 学习目标 了解合情推理的含义 易混点 理解归纳推理和类比推理的含义 并能运用它进行简单的推理 重点 难点 了解合情推理在数学发展中的作用 难点 一 知识归纳 一 知识归纳 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类 归纳推理 1 归纳推理归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征 的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简言之 归纳推理是由部 分到整体 由个别到一般的推理 2 归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤 第一步 通过观察个别情况发现某些相同的性质 第二步 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题 猜想 思考探究 1 归纳推理的结论一定正确吗 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 是否属归纳推理 题型题型 1 1 用归纳推理发现规律用归纳推理发现规律 1 观察 对7152 11 5 516 52 11 331932 11 于任意正实数 试写出使成立的一个条件可以是 a b2 11ab 点拨 前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22 故22 ba 2 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂 巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢 第二个图 有 7 个蜂巢 第三个图有 19 个蜂巢 按此规律 以 表示第幅图的蜂巢总数 则 f nn 4 f f n 推 理 与 证 明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 数学归纳 法 解题思路 找出的关系式 1 nfnf 解析 1261 3 61 2 1 1 fff37181261 4 f 133 1 6181261 2 nnnnf 总结 处理 递推型 问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1 类比推理类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对 象也具有这些特征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤 第一步 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 第二步 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 思考探究 1 类比推理的结论能作为定理应用吗 2 1 圆有切线 切线与圆只交于一点 切点到圆心的距离等于半径 由此结论如何类比到球 体 2 平面内不共线的三点确定一个圆 由此结论如何类比得到空间的结论 题型题型 2 2 用类比推理猜想新的命题用类比推理猜想新的命题 例 已知正三角形内切圆的半径是高的 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论 1 3 是 解题思路 从方法的类比入手 解析 原问题的解法为等面积法 即 类比问题的解法应为hrarahS 3 1 2 1 3 2 1 等体积法 即正四面体的内切球的半径是高hrSrShV 4 1 3 1 4 3 1 4 1 总结 1 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 2 类比推理常见的情形有 平面向空间类比 低维向高维类比 等差数列与等比数列类 比 实数集的性质向复数集的性质类比 圆锥曲线间的类比等 合情推理 1 定义定义 归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进 行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 简言之 合情推理就是 合乎情理的推理 2 推理的过程推理的过程 从具体问题出 发 观察 分析 比较 联 想 归纳 类 比 提出猜想 思考探究 1 归纳推理与类比推理有何区别与联系 1 归纳推理是由部分到整体 从特殊到一般的推理 通常归纳的个体数目越多 越具有代 表性 那么推广的一般性命题也会越可靠 它是一种发现一般性规律的重要方法 2 类比推理是从特殊到特殊的推理 是寻找事物之间的共同或相似性质 类比的性质相似 性越多 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关 从而类比得出的结论就越可靠 第二部分第二部分 演绎推理演绎推理 学习目标 学习目标 理解演绎推理的含义 重点 掌握演绎推理的模式 会利用三段论进行简单推理 重点 难点 合情推理与演绎推理之间的区别与联系 一 知识归纳 一 知识归纳 演绎推理的含义 1 演绎推理是从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 演绎推理又叫逻辑推理 2 演绎推理的特点是由一般到特殊的推理 思考探究 演绎推理的结论一定正确吗 演绎推理的模式 1 演绎推理的模式采用演绎推理的模式采用 三段论三段论 1 大前提 已知的一般原理 M 是 P 2 小前提 所研究的特殊情况 S 是 M 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 S 是 P 2 从集合的角度看演绎推理从集合的角度看演绎推理 1 大前提 x M 且 x 具有性质 P 2 小前提 y S 且 SM 3 结论 y 具有性质 P 演绎推理与合情推理 合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系 1 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特说的推 理 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在大 前提 小前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 第三部分第三部分 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 学习目标 学习目标 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 知识归纳 知识归纳 三种证明方法 综合法 分析法 反证法 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法 在数学解题中 分析法是从数学题的待 证结论或需求问题出发 一步一步地探索下去 最后达到题设的已知条件 综合法则是从 数学题的已知条件出发 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证结论或需求问题 对于解答 证明来说 分析法表现为执果索因 综合法表现为由果导因 它们是寻求解题思路的两种 基本思考方法 应用十分广泛 反证法 它是一种间接的证明方法 用这种方法证明一个命题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 根据假设进行推理 直到推理中导出矛盾为止 3 断言假设不成立 4 肯定原命题的结论成立 用反证法证明一个命题的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 结论 重难点 在函数 三角变换 不等式 立体几何 解析几何等不同的数学问题中 选择好 证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点 1 综合法 在锐角三角形中 求证 ABCCBACBAcoscoscossinsinsin 解析 为锐角三角形 ABC BABA 22 在上是增函数 xysin 2 0 BBAcos 2 sin sin 同理可得 CBcossin ACcossin CBACBAcoscoscossinsinsin 考点 2 分析法 已知 求证0 bababa 解析 要证 只需证baba 22 baba 即 只需证 即证baabba 2abb ab 显然成立 因此成立ab baba 总结 注意分析法的 格式 是 要证 只需证 而不是 因为 所以 考点 3 反证法 已知 证明方程没有负数根 1 1 2 a x x axf x 0 xf 解题思路 正难则反 选择反证法 因涉及方程的根 可从范围方面寻找矛盾 解析 假设是的负数根 则且且 0 x0 xf0 0 x1 0 x 1 2 0 0 0 x x ax 解得 这与矛盾 1 1 2 010 0 0 0 x x ax2 2 1 0 x0 0 x 故方程没有负数根0 xf 总结 否定性命题从正面突破往往比较困难 故用反证法比较多 第四部分第四部分 数学归纳法数学归纳法 学习目标 学习目标 1 了解数学归纳法的原理 理解数学归纳法的一般步骤 2 掌握数学归纳法证明问题的方法 能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题 3 能通过 归纳 猜想 证明 处理问题 知识归纳 知识归纳 数学归纳法的定义 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数 n 都成立时 可以用以 下两个步骤 1 证明当 n n0时命题成立 2 假设当 n k 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 且 0 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立 这种证明方法 称为数学归纳法 1 1 数学归纳法的本质 无穷的归纳 有限的演绎 递推关系 2 2 数学归纳法步骤 1 递推奠基 当 n 取第一个值 n0结论正确 2 递推归纳 假设当 n k k N 且 k n0 时结论正确 归纳 假设 证明当 n k 1 时结论也正确 归纳证明 由 1 2 可知 命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确 例 1 已知 n 是正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设 n k 且为偶数 时命题2 k 为真 则还需证明 A n k 1 时命题成立 B n k 2 时命题成立 C n 2k 2 时命题成立 D n 2 k 2 时命题成立 解析 因 n 是正偶数 故只需证等式对所有偶数都成立 因 k 的下一个偶数是 k 2 故选 B 总结 用数学归纳法证明时 要注意观察几个方面 1 n 的范围以及递推的起点 2 观察首末两项的次数 或其它 确定 n k 时命题的形式 3 从和的 kf 1 kf kf 差异 寻找由 k 到 k 1 递推中 左边要加 乘 上的式子 例 2 用数学归纳法证明不等式 2 1 2 1 1 3221 nnn 解析 1 当 n 1 时 左 右 2 不等式成立 2 2 假设当 n k 时等式成立 即 2 1 2 1 1 3221 kkk 则 2 1 1 2 1 2 1 1 3221 2 kkkkkkk 0 2 2