解三角形难题汇编

1 1 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边 b c 且满足 若点 O 是 ABC 外一点 AOB 0 sin B sin A 1 cos B cos A OA 2OB 2 则平面四边形 OACB 面积的最大值是 A B 8 5 3 4 4 5 3 4 C 3 D 4 5 2 A 由已知得 sin A B sin A sin C sin A c a 又 b c 等边三角形 ABC AB2 5 4cos SOACB 1 2sin 1 2 AB2 sin cos 2sin 2 选 A 3 43 5 3 4 3 5 4 3 5 4 3 8 5 3 4 2 如图 在 ABC 中 已知 AB 4 AC 3 BAC 60 点 D E 分 别是边 AB AC 上的点 且 DE 2 则的最小值等于 S四边形BCED S ABC 设 AD x AE y 0 x 4 0 y 3 则因为 DE2 x2 y2 2xycos 2 3 60 所以 x2 y2 xy 4 从而 4 2xy xy xy 当且仅当 x y 2 时等号成立 所以 1 1 1 1 S四边形BCED S ABC S ADE S ABC 1 2xysin 60 1 2 3 4sin 60 xy 12 4 12 2 3 3 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 B C 且 7a2 b2 c2 4 则 ABC 面积的最大值为 3 由 B C 得 b c 代入 7a2 b2 c2 4得 5 53 2 7a2 2b2 4 即 2b2 4 7a2 33 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 2ab a 2b 所以 sin C 1 cos2C 4b2 a2 2b 8 3 15a2 2b 则 ABC 的面积 S absin C ab a 1 2 1 2 8 3 15a2 2b 1 4 8 3 15a2 1 4 a2 8 3 15a2 1 4 1 1515a2 8 3 15a2 1 4 1 15 15a2 8 3 15a2 2 4 当且仅当 15a2 8 15a2取等号 此时 a2 1 4 1 153 5 53 4 3 15 所以 ABC 的面积的最大值为 5 5 4 如图 ABC 中 sin ABC AB 2 点 D 在线段 AC 上 且 1 2 3 3 AD 2DC BD 4 3 3 1 求 BC 的长 2 求 DBC 的面积 解 1 因为 sin ABC 1 2 3 3 所以 cos ABC 1 2 1 3 1 3 ABC 中 设 BC a AC 3b 3 则由余弦定理可得 9b2 a2 4 4a 3 在 ABD 和 DBC 中 由余弦定理可得 cos ADB 4b2 16 3 4 16 3 3 b cos BDC b2 16 3 a2 8 3 3 b 因为 cos ADB cos BDC 所以有 4b2 16 3 4 16 3 3 b b2 16 3 a2 8 3 3 b 所以 3b2 a2 6 由 可得 a 3 b 1 即 BC 3 2 由 1 得 ABC 的面积为 2 3 2 所以 DBC 的面积为 1 2 2 2 32 2 2 3 5 已知 O 0 0 A cos sin B cos sin C cos sin 若 k 2 k 0 0 k 2 则 cos 的最大值是 OA OB OC 6 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 3cosC cosB 3c a b 1 求的值 sinC sinA 2 若 B 为钝角 b 10 求 a 的取值范围 4 解析 1 由正弦定理 设 k a sinA b sinB c sinC 则 3c a b 3ksinC ksinA ksinB 3sinC sinA sinB 所以 cosA 3cosC cosB 3sinC sinA sinB 即 cosA 3cosC sinB 3sinC sinA cosB 化简可得 sin A B 3sin B C 又 A B C 所以 sinC 3sinA 因此 3 sinC sinA 2 由 3 得 c 3a sinC sinA 由题意知Error Error 又 b 10 所以 a 5 210 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 b2 c2 a2 bc 且 b a 则 ABC 不可能是 33 A 等腰三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 答案 D 解析 由 cosA 可得 A 又由 b a 可得 b2 c2 a2 2bc 3 2 63 2sinB 可得 sinB 得 B 或 B 若 B 则 ABC 为 b a sinB sinA3 3 2 3 2 3 3 直角三角形 若 B C A 则 ABC 为钝角三角形且为等腰三角形 2 3 6 由此可知 ABC 不可能为锐角三角形 故应选 D 8 在 ABC 中 3 则 ABC 面积的最大值为 AC AB AC AB 5 A B 21 3 21 4 C D 3 21 221 答案 B 解析 设角 A B C 所对的边分别为 a b c 3 bccosA a 3 又 cosA 1 AC AB AC AB b2 c2 a2 2bc 1 cosA 0 sinA ABC 的面积 9 2bc 3cosA 2 2 5 21 5 S bcsinA tanA 故 ABC 面积的最大值为 1 2 3 2 3 2 21 2 3 21 4 3 21 4 9 已知在 ABC 中 C 2A cosA 且 2 27 3 4 BA CB 1 求 cosB 的值 2 求 AC 的长度 解析 1 C 2A cosC cos2A 2cos2A 1 1 8 sinC sinA 3 7 8 7 4 cosB cos A C sinAsinC cosAcosC 7 4 3 7