上海高二上数学知识点

第七章第七章 数列数列 一 等差数列 等比数列一 等差数列 等比数列 1 1 公式表 公式表 等差数列等比数列 定义常数 为 1 daaPAa nnn 常数 为 1 q a a PGa n n n 通项公式 n 1 d n k d n a 1 a k adn d 1 a kn k n n qaqaa 1 1 求和公式 n d an d d nn na aan s n n 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna s n n n 中项公式A 推广 2 2 ba n a mnmn aa 推广 abG 2 mnmnn aaa 2 1 若 m n p q 则 qpnm aaaa 若 m n p q 则 qpnm aaaa 2 若成 A P 其中 则 n kNkn 也为 A P n k a 若成等差数列 其中 则 n kNkn 成等比数列 n k a 3 成等差数列 nnnnn sssss 232 成等比数列 nnnnn sssss 232 性质 4 1 1 nm nm aa n aa d nmn 1 1 a a q nn m nmn a a q nm 2 判断和证明数列是等差 等比 数列常有三种方法 判断和证明数列是等差 等比 数列常有三种方法 1 定义法 对于 n 2 的任意自然数 验证为同一常数 1 1 n n nn a a aa 2 通项公式法 3 中项公式法 验证都成立 21 2 nnn aaaNnaaa nnn 2 2 1 4 若 an 为等差数列 则 为等比数列 a 0 且 a 1 n a a 若 an 为正数等比数列 则 logaan 为等差数列 a 0 且 a 1 3 在等差数列 在等差数列 中 中 有关有关 Sn 的最值问题 的最值问题 n a 1 当 0 d 0 时 满足的项数 m 使得取最大值 1 a 0 0 1m m a a m s 2 当0 时 满足的项数 m 使得取最小值 在解含绝对值的数列最值 1 a 0 0 1m m a a m s 问题时 注意转化思想应用 二 求数列通项的方法总结二 求数列通项的方法总结 1 公式法 变形后用公式 公式法 变形后用公式 2 累加法 累加法 3 累乘法 累乘法 4 待定系数法 待定系数法 5 5 运用 运用 S Sn n与与 a an n的关系的关系 6 对数变换法 对数变换法 7 迭代法 迭代法 8 数学归纳法 数学归纳法 9 换元法 换元法 10 倒数 倒数 三 求数列前三 求数列前 n n 项和的方法总结项和的方法总结 利用常用求和公式求和利用常用求和公式求和 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 错位相减法求和错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 倒序相加法求和倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 分组法求和分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 裂项法求和裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通 项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项公式分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 合并法求和合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列 的和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 利用数列的通项求和利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通 项揭示的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 四 数列的极限四 数列的极限 1 1 概念 概念 一般地 在无限增大的变化过程中 如果无穷数列中的无限趋近于一个常n n a n a 数 A 那么 A 叫做数列的极限 或叫做数列收敛于 A n a n a 1 有穷数列一定不存在极限 无穷数列 不一定 极限 2 数列是否有极限与数列前面的有限项 无关 3 如果一个数列有极限 那么它的极限是一个 确定 的常数 2 运算法则运算法则 如果an A bn B 那么 lim n lim n 1 an bn A B lim n 2 an bn A B lim n 3 B 0 lim n n n b a B A an与bn存在是 an bn an bn 存在的 充分非必要 条件 lim n lim n lim n lim n 3 几个重要极限 几个重要极限 C C 常数列的极限就是这个常数 lim n 设 a 0 则特别地 0 1 lim n n 设 q 1 1 则qn 0 或不存在 lim n 1lim 1 n n qq 1 q n n qq lim 1 若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列 1 1 1 qaqaqa n q a ss n n 1 lim 1 第八章第八章 平面向量平面向量 一 一 向量的坐标表示向量的坐标表示 如果点 A 的坐标 记作 x yOA a a x y 模长 22 axy 二 二 坐标运算坐标运算 a 1122 x ybxyR 加减 1212 abxxyy 1212 abxxyy 数乘 11 axy 数量积 2121 yyxxba 1800 0 0 cos bababa 向量数量积的运算律 交换律 abba bababa 分配律 cbcacba 三 三 向量平行与垂直向量平行与垂直 向量平行的充要条件 其中为非零实数 a b ab 1221 x yx y 向量垂直的充要条件 a ba b 0 x1x2 y1y2 0 四 四 定比分点公式定比分点公式 已知是直线 上的任一点 且 是直线 1 P 11222 x yP xyl 12 1PPPPR P 上的一点 令 则 这个公式叫做线段的定比分点公式 12 PP P x y 12 12 1 1 xx x yy y 12 PP 特别的时 为线段的中点 此时 叫做线段的中点公式 1 P 12 PP 12 12 2 2 xx x yy y 12 PP 五 五 三角形重心坐标公式三角形重心坐标公式 设 的三个顶点坐标分别为 G 为 的重心 ABC 112233 A x yB xyC xyABC 则 123 123 3 3 G G xxx x yyy y 六 六 平面向量分解定理平面向量分解定理 如果是平面内的两个不平行向量 那么对于这一平面内的任意向量 有且只有一 21 e ea 对实数 使 我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量 21 2211 eea 21 e e 的一组基 注意 注意 1 基底不共线 2 将任一向量在给出基底的条件下进行分解 a 21 e e 3 基底给定时 分解形式唯一 是被 唯一确定的数量 21 a 21 e e 特别 若 则是三点 P A B 共线的充要条件 OP 12 OAOB 12 1 注意 起点相同 系数和是 1 第九章第九章 矩阵与行列式矩阵与行列式 一 一 矩阵矩阵 1 1 矩阵的基本概念 矩阵的基本概念 由方程组的系数组成的矩形数表 即 矩阵 叫做方程组的系数矩阵 由方程组的系数和常数项组成的矩形数表 叫做方程组的增广矩阵 若矩阵有行 列 则该矩阵可记做 Amn m n A 我们把对角线元素为 1 其余元素均为 0 的方矩阵 叫做单位矩阵 例如 10 01 2 2 矩阵的变换规则 矩阵的变换规则 1 互换矩阵的两行 2 把某一行同乘 除 以一个非零的数 3 某一行乘以一个非零的数 再加到另一行 3 3 矩阵的运算 矩阵的运算 矩阵的运算包括 矩阵加法 矩阵减法 实数与矩阵的乘积 矩阵乘积 矩阵的和 差 1 当两个矩阵 A B 的维数相同时 将它们各位置上的元素相加 减 所得到的矩阵 称为矩阵 A B 的和 差 记作 A B A B 2 运算律 加法运算律 A B B A 加法结合律 A B C A B C 矩阵与实数的积 1 设为任意实数 把矩阵 A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵 A 与实数 的乘积矩阵 记作 A 2 运算律 为实数 分配律 BABA AAA 结合律 AAA 矩阵的乘积 1 一般地 设 A 是阶矩阵 B 是阶矩阵 设 C 为矩阵 km nk nm 如果矩阵 C 中第 i 行第 j 列元素是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵 B 的第 j 个列向量 ij C 的数量积 那么 C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积 记作 C AB 2 运算律 分配律 ACABCBA CABAACB 结合律 BABAAB BCACAB BAAB 二 二 行列式行列式 1 对角线法则对角线法则 11 1 22 1 22 b b a a ba b a 2 二元一次方程组的解 其中 x y