高中数学向量专题 概念+例题

高中数学向量专题高中数学向量专题 学习目标学习目标 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 掌握向量的加法和减法 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件 2 掌握平面两点间的距离公式 掌握线段的定比分点和中点坐标公式 并能熟练运用 掌握平移公式 掌握平面 向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 3 了解平面向量的基本原理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 向量是高中数学的新增内容 作为数形结合的有力工具 它的应用极其广泛 在复数 平几 解几 立几 物理 等知识中均有涉及 本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上 突出了向量的工具作用 利用向量的思想方法解决问题是 本章特点的一个方面 向量本身具有数与形结合的双重身份 这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造 了条件 通过本章学习 继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 知识点知识点 1 向量的定义 既有方向 又有大小的量叫做向量 它一般用有向线段表示 表示从点 A 到 B 的向量 即 A 为起点 B 为终点AB 的向量 也可以用字母 a a b b c c 等表示 印刷用黑体 a a b b c c 书写用 注意 长度 面积 体积 质量abc 等为数量 位移 速度 力等为向量 2 向量的模 所谓向量的大小 就是向量的长度 或称模 记作 或者 向量不能比较大小 但向量的模ABABABa 可以比较大小 3 零向量与单位向量 长度为 0 的向量称为零向量 用表示 向量的方向是不定的 或者说任何方向都是00 向量的方向 因此向量有两个特征 一长度为 0 二是方向不定 长度为 1 的向量称为单位向量 00 4 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向量 特别规定零向量与任一向量都平行 因此 零向量与零向量也可以平行 根 据平行向量的定义可知 共线的两向量也可以称为平行向量 例如与也是一对平行向量 ABBA 由于任何一组平行向量都可移到同一直线上 故平行向量也叫做共线向量 例如 若四边形 ABCD 是平行四边形 则向量与是一组共线向量 向量与也是一组共线向量 ABCDADBC 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量与向量相等 记作 零向量与零向量相等 任意两个aba b 相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 重点难点重点难点 通过本节学习 应该掌握 1 理解向量 零向量 单位向量 相等向量的概念 2 掌握向量的几何表示 会用 字母表示向量 3 了解平行向量的概念及表示法 了解共线向量的概念 例例 1 1 判断下列各命题是否正确 1 若 则 aba b 2 若 A B C D 是不共线的四点 则 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件 ABDC 3 若 则 a b bcac 4 两向量 相等的充要条件是ab 5 是向量 的必要不充分条件 aba b 6 的充要条件是 A 与 C 重合 B 与 D 重合 AB CD 解 解 1 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 2 正确 且 ABDCABDCABDC 又 A B C D 是不共线的四点 四边形 ABCD 是平行四边形 反之 若四边形 ABCD 是平行四边形则 DC 且与方向相同 因此ABABDC ABDC 3 正确 a b 的长度相等且方向相同 ab 又 bc 的长度相等且方向相同 bc 的长度相等且方向相同 故 acac 4 不正确 当 但方向相反 即使 也不能得到 故ababa b 不是 的充要条件 a b 5 正确 这是因为 但 所以 是 的必要不充分条件 b a a ba b ababab 6 不正确 这是因为 时 应有 及由 A 到 B 与由 C 到 D 的方向相同 但不一定要有AB CDABCD A 与 C 重合 B 与 D 重合 说明 针对上述结论 1 4 5 我们应该清醒的认识到 两非零向 相等的充要条件应是 的abab 方向相同且模相等 针对结论 3 我们应该理解向量相等是可传递的 结论 6 不正确 告诉我们平面向量与相等 并不要求它们有相同的起点与终点 当然如果我们将相等的两ab 向量的起点平移到同一点 则这时它们的终点必重合 例例 2 2 如图所示 ABC 中 三边长 AB BC AC 均不相等 E F D 是 AC AB BC 的中点 1 写出与共线的向量 EF 2 写出与的模大小相等的向量 EF 3 写出与相等的向量 EF 解 解 1 E F 分别是 AC AB 的中点 EF BC 从而 与共线的向量 包括 EF FEBDDBDCCDBCCB 2 E F D 分别是 AC AB BC 的中点 EF BC BD DC BC 2 1 2 1 又 AB BC AC 均不相等 从而 与的模大小相等的向量是 EFFEBDDBDCCD 3 与相等的向量 包括 EFDBCD 例例 3 3 判断下列命题真假 1 平行向量一定方向相同 2 共线向量一定相等 3 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量 4 不相等的向量 则一定不平行 5 非零向量的单位向量是 a a 解 解 1 假命题 还可以方向相反 2 假命题 共线向量仅方向相同或相反 大小不一定相等 3 真命题 因为向量与起点位置无关 4 假命题 因为若 方向相同 但只要 则 a babab 5 真命题 任一非零向量 的单位向量为 a a a 例例 4 4 如图 已知 四边形 ABCD 中 N M 分别是 AD BC 的中点 又 ABDC 求证 CNMA 证明 证明 ABDC AB DC 且 AB DC 从而 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC N M 分别是 AD BC 的中点 AN AD MC BC 2 1 2 1 AN MC 又 AN MC 四边形 AMCN 是平行四边形 于是得 AM NC AM NC 又由图可知 与的方向一致 CNMA CNMA 难题巧解点拔难题巧解点拔 例例 1 1 如图 已知四边形 ABCD 是矩形 O 是两对角线 AC 与 BD 的交点 设点集 M A B C D O 向量的集合 T 任 P Q M 且 P Q 不重合 试求集合 T 的子集个数 PQ 分析 分析 要确定向量为元素的集合 T 有多少个子集 就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量 解 解 以矩形 ABCD 的四顶点及它的对角线交点 O 五点中的任一点为起点 其余四点中的一点为终点的向量共有 20 个 但是这 20 个向量不是各不相等的 我们下面将这 20 个向量一一列举出来 AO OCOA CODOOBBO ODACCABDDBADBCDA CBABDCBA 它们中有 12 个向量是各不相等的 故 T 是一个 12 元集 所以 T 有 212个子集 CD 说明 说明 在上述解题过程中 我们一定要根据集合元素的互异性 算出 T 中的元素个数为 12 而不是 20 这样才能得 到正确的结果 例例 2 2 已知 如图 点 D 在 ABC 的边 BC 上 且与 B C 不重合 E F 分别在 AB AC 上 DFEA 1 求证 BDE DCF 2 求当 D 在什么位置时 四边形 AEDF 的面积可以取到最大值 证明 证明 1 DFEA DF AE DF EA 从而 得 四边形 AEDF 是平行四边形 DE AF DE AF 由 DE AF 可得 BDE C 由 DF AE 可得 B FDC BDE DCF 2 设 BC a AC b AB c BD x 则 DC a x BDE DCF CD BD DF BE FC ED 从而 设比为 k1 x BE xa DF 设比为 k2 x ED xa FC 由 BE DF c ED FC b 可得 xk1 a x k1 c k1 a c xk2 a x k2 b k2 a b DF a x a c DE x a b 由点 F 作 FT AB 垂足为 T 由锐角三角函数 FT AF sinA x sinA a b S AEDF DF FT a x x sinA a c a b ax x2 sinA 2 a bc x 2 sinA sinA 2 a bc 4 2 a 2 a 4 bc 当且仅当 x 时 等号成立 2 a 答 D 是 BC 边的中点时 S AEDF取到最大值 例例 3 3 如图 A1 A2 A8是 O 上的八个等分点 则在以 A1 A2 A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的 向量中 模等于半径的向量有多少个 模等于半径倍的向量有多少个 2 分析 分析 1 由于 A1 A2 A8是 O 上的八个等分点 所以八边形 A1A2 A8是正八边形 正八边形的边及对角线长均 与 O 的半径不相等 所以模等于半径的向量只可能是与 i 1 2 8 两类 i OAOAi 2 O 内接正方形的边长是半径的倍 所以我们应考虑与圆心 O 形成 90 圆心角的两点为端点的向量个数 2 解 解 1 模等于半径的向量只有两类 一类是 i 1 2 8 共 8 个 另一类是 i 1 2 8 也有 8 i OAOAi 个 两类合计 16 个 2 以 A1 A2 A8为顶点的 O 的内接正方形有两个 一是正方形 A1A3A5A7 另一个是正方形 A2A4A6A8 在题中 所述的向量中 只有这两个正方形的边 看成有向线段 每一边对应两个向量 的长度为半径的倍 所以模为半径2 倍的向量共有 4 2 2 16 个 2 说明 说明 1 在模等于半径的向量个数的计算中 要计算与 i 1 2 8 两类 一般我们易想到 i OAOAi i OA i 1 2 8 这 8 个 而易遗漏 i 1 2 8 这 8 个 OAi 2 圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量 例如边 A1A3对应向量与 因此与 1 一样 在解题2 31A A 42A A 过程中主要要防止漏算 认为满足条件的向量个数为 8 是错误的 命题趋势分析命题趋势分析 本节着重考查对向量的概念的理解 高考中将会以选择题 填空题形式命题 典型热点考题典型热点考题 例例 1 1 给出下列 3 个命题 1 单位向量都相等 2 单位向量都共线 3 共线的单位向量必相等 其中真命题的 个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 分析 分析 本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识 增加了考点 加大了难度 因为不同 的单位向量有不同的方向 所以 1 和 2 较易判断是假命题 因为共线的单位向量有可能方向相反 它们不一定相等 所以 3 也是假命题 选 A 例例 2 2 如图 四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形 1 与向量相等的向量有 2 若 3 则向量的模等于 ABABEC 分析 分析 本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力 是容易题 由条件 可得 且EDAB 所以 于是 E D C 三点共线 故 2 6 DCABEDDCECEDDCAB 答 1 2 6EDDC 例例 3 3 下列命题中 正确的是 A B ab a bab ab C D 0 0a b aba a 解 解 由向量的定义知 向量既有大小 也有方向 由向量具有方向性可排除 A B 零向量 数字 0 是两个不同的 概念 零向量是不等于数字 0 的 应排除 D 应选 C 例例 4 4 下列四个命题 若 0 则 0 若 则 或 若与是平行向量 aaaba babab 则 若 则 正确命题个数是 aba 0a 0 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 分析 是忽略了 0 与不同 由于 0 但不能写成 0 0a a 00 是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了 两个向量的模相等 只能说明它们的长度相同 并不意味它们 的方向相同或相反 是对两个向量平行的意义理解不透 两个向量平行 只是这两个向量的方向相同或相反 而它们的模不一定相 等 正确 故选 A 强化练习 强化练习 一 选择题 1 下列命题中的假命题是 A 向量与的长度相等ABBA B 两个相等向量若起点相同 则终点必相同 C 只有零向量的模等于 0 D 共线的单位向量都相等 2 如图 在圆 O 中 向量 是 OBOCAO A 有相同起点的向量 B 单位向量 C 相等的向量D 模相等的向量 3 如图 ABC 中 DE BC 则其中共线向量有 A 一组B 二组C 三组D 四组 4 若是任一非零向量 是单位向量 下列各式ab 0 1 其中正确的有 ababab a a b A B C D 5 四边形 ABCD 中 若向量与是共线向量 则四边形 ABCD ABCD A 是平行四边形B 是梯形 C 是平行四边形或梯形D 不是平行四边形 也不是梯形 6 把平面上所有单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点所构成的图形是 A 一条线段B 一个圆面 C 圆上的一群弧立点D 一个圆 7 若 是两个不平行的非零向量 并且 则向量等于 abacbcc A B C D 不存在0abc 8 命题 p 与是方向相同的非零向量 命题 q 与是两平行向量 则命题 p 是命题 q 的 abab A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 二 判断题二 判断题 1 向量与是两平行向量 ABBA 2 若是单位向量 也是单位向量 则 aba b 3 长度为 1 且方向向东的向量是单位向量 长度为 1 而方向为北偏东 30 的向量就不是单位向量 4 与任一向量都平行的向量为向量 0 5 若 则 A B C D 四点构成平行四边形 ABDC 6 两向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点也相同 7 设 O 是正三角形 ABC 的中心 则向量的长度是长度的倍 ABOA3 8 已知四边形 ABCD 是菱形 则 是菱形 ABCD 为正方形的充要条件 ACBD 9 在坐标平面上 以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆 10 凡模相等且平行的两向量均相等 三 填空题三 填空题 1 已知 为非零向量 且与不共线 若 则与必定 abcabcacb 2 已知 4 8 AOB 60 则 OAABAB 3 如图 已知 O 是正六边形的中心 则在图中所标出的各向量中 模等于该正六边形边长的向量共有 个 4 如图所示 四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行四边形 则 与向量共线的向量有 AB 若 1 5 则 ABCE 5 已知四边形 ABCD 中 且 则四边形 ABCD 的形状是 AB 2 1 DCADBC 四 解答题四 解答题 1 如图 在 ABC 中 已知 向量 求证 ADDB DFBEDEAF 2 在直角坐标系中 将所有与 y 轴共线的单位向量的起点移到 x 轴上 其终点的集合构成什么图形 素质优化训练素质优化训练 1 已知 是任意两个向量 下列条件 与的方向相反 或 aba bababa 0b 0 与都是单位向量 其中 哪些是向量与共线的充分不必要条件 abab 2 已知 ABCD 是等腰梯形 AB DC 下列各式 ABDCADBCACBDAB DCABCD 正确的式子的序号是 3 不相等的向量和 有可能是平行向量吗 若不可能 请说明理由 若有可能 请把各种可能的情形一一列ab 出 4 下列各组量是不是向量 如果是向量 说明这些向量之间有什么关系 1 两个三角形的面积 S1 S2 2 桌面上两个物体各自受到的重力 F1 F2 3 某人向河对岸游泳的速度 v1与水流的速度 v2 4 浮在水面上的物体受到的重力