高考数学（精讲+精练+精析）专题12_2 离散型随机变量的分布列、均值与方差试题 理（含解析）.doc

专题2 离散型随机变量的分布列、均值与方差（理科）【三年高考】1.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .【答案】2【2016高考新课标1卷】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求,确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？【解析】（）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；.所以的分布列为16171819202122（）由（）知,故的最小值为19.3【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】（）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为 （）记续保人本年度的保费为，则的分布列为，因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为.4【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【解析】()记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”.由题意， 由事件的独立性与互斥性， ,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. ()由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 , , , ,.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望.5【2016高考天津理数】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 【解析】：由已知，有所以，事件发生的概率为.随机变量的所有可能取值为，.所以，随机变量分布列为随机变量的数学期望.6. 【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望7.【2015高考山东，理19】若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.【解析】（I）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（II）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为 ，随机变量X的取值为：0，-1，1，因此 , ,所以X的分布列为X0-11P因此 8.【2015高考天津，理16】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.9.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.，所以X的分布列为：因此，X的期望为.10. 【2014浙江高考理第12题】随机变量的取值为0,1,2，若，则_.答案：解析：设时的概率为，则，解得，故11. 【2014高考全国1第18题】 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，.（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以12. 【2014高考四川第16题】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】（1）.所以的分布列为X-2001020100（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.（3）由（1）得：，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 概率与统计问题是每年高考考试的重点，离散型随机变量的分布列、均值与方差问题是高考经常考的知识点，且本部分题多为解答题.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题，解答题往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，第二问主要考查分布列、均值与方差问题，特别是离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的重点，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力根据这几年高考试题预测2017年高考，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合【2017年高考考点定位】本节主要有离散型随机变量的分布列，超几何分布，数学期望，方差等基本公式的应用，试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题. 最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%，且本部分题多为中低档题.从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性.【考点1】离散型随机变量的分布列【备考知识梳理】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示(2)离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为01其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布其中称为成功概率(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称分布列为超几何分布列.01m(3)设离散型随机变量可能取得值为，取每一个值 ()的概率为，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列分布列的两个性质：，；.【规律方法技巧】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率而超几何分布就是此类问题中的一种(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题 【考点针对训练】1【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知从地到地共有两条路径和，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过和所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别为下图（1）和（2）。现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从地到地。（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到地，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到地的人数，针对（1）的选择方案，求的分布列和数学期望。【解析】（1）用表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到地”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到地”，。由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得，故甲应选择，故乙应选择（2）用分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到地，由（1）知，又由题意知，相互独立，的分布列为X012P0.040.420.54。2.【2016届河北沧州市高三4月调研】一袋子中有10个大小相同标有数字的小球，其中4个小球标有数字1,3个小球标有数字2,2个小球标有数字3,1个小球标有数字4。从袋子中任取3个小球。（）求所取的3个小球中所标有数字恰有两个相同的概率；（）表示所取的3个小球所标数字的最大值，求的分布列与数学期望。【考点2】离散型随机变量的期望与方差【备考知识梳理】1均值若离散型随机变量X的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X的分布列为则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差若，其中为常数，则也是随机变量，且若服从两点分布，则若，则【规律方法技巧】.1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出3. 六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3) (4)如果相互独立，则(5) (6) 4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算【考点针对训练】1. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p（p0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）1.75，则p的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2017届江西省新余一中、宜春一中高三7月联考】下图为某校语言类专业名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知分数段的学员数为21人（）求该专业毕业总人数和分数段内的人数；（）现欲将分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）（）在（）的结论下，设随机变量表示名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望（）表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，所以的取值可以为：当时，；当时，；当时，所以的分布列为012所以随机变量的数学期望为【应试技巧点拨】1解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题2.求离散型随机变量分布列的步骤：要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.3几种常见的分布列的求法取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.射击问题：若是一人连续射击，且限制在次射击中发生次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.二年模拟1. 【2016学年江西省于都三中第三次月考】已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X）=7，求D（X）= Xa59P0103b【答案】【解析】由E（X）=7，则；，。 又得；2. 【2016届湖南省高考冲刺卷】交通指数是指交通拥堵指数简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通：基本畅通：轻度拥堵：中度拥堵：严重拥堵. 在晚高峰时段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：（1）在这个路段中, 轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这个路段中随机抽出个路段, 用表示抽取的中度拥堵的路段的个数, 求的分布列及数学期望.【解析】（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是个,中度拥堵的路段个数是.（2）的可能取值为, ,.所以的分布列为.3. 【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）由以上统计数据填写下面22列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”? 附：临界值表（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望【解析】（1）根据22列联表中的数据，得的观测值为，在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0,1,2,3 ； ； 的分布列为：所以4.【2016届广东省湛江市普通高考测试题（二）】某校数学文化节同时安排、两场讲座已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听讲座，其余5人选择听讲座；乙寝室2人选择听讲座，其余4人选择听讲座现从甲、乙两寝室中各任选2人（）求选出的4人均选择听讲座的概率；（）设为选出的4人中选择听讲座的人数，求的分布列和数学期望（）可能的取值为，的分布为0123的数学期望5. 【2016学年江西省于都三中第三次月考】袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分求得分的分布列和数学期望【解析】（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则 （2）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：，,，3456从而得分的数学期望6. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品（）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.【解析】（1），因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.（）由题意可知，于是，（）由题意可知的分布列为故.7. 【2016届天津市和平区高三第四次模拟】某同学需通过选拔考试进入学校的“体育队”和“文艺队”，进入这两个队成功与否是相互独立的，能同时进入这两个队的概率是，至少能进入一个队的概率是，并且能进入“体育队”的概率小于能进入“文艺队”的概率（）求该同学通过选拔进入“体育队”的概率和进入“文艺队”的概率；（）学校对于进入“体育队”的同学增加2个选修课学分，对于进入“文艺队”的同学增加1个选修课学分，求该同学获得选修课加分分数的分布列与数学期望【解析】（）依题意，有且解得8.【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】某师范院校志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中有部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业的概率为 专业性别中文英语数学体育男11女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）（）求的值；（）求选出的3名同学恰为专业互不相同的概率；（）设为选出的3名同学中“女生”的人数，求随机变量的分布列及其数学期望【解析】（）设事件：从10名学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”由题意可知，“中文专业”的学生共有人，则，解得，所以（）设事件：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同则（）由题意，的可能取值为，由题意可知，“女生”共有4人所以所以的分布列为0123所以9【2016届北京市大兴区高三4月统一练习】2015年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见下表：（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为与，方差分别为与，试比较与，与的大小；（只需写出结论）；（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率；（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望.【解析】（1），.（2）记选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”为事件，由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有个：深圳，惠州，信阳，烟台.所以.10. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若A杯都选对，则月工资定为3500；若4杯选对3杯，则月工资定为2800，否则月工资定为2100，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望【解析】（1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则，所以所求的分布列为X01234P（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，相对的概率分别为，所以，所以此员工工资的期望为2280元. 11. 【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试数学】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).【解析】（）由题意，得，解得； 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）， 而个样本小球重量的平均值为：（克），故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克； （）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为， 则.的可能取值为、， ，. 的分布列为：.（或者） 12.【2015届中国人民大学附属中学高考冲刺十】某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的（） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（） 用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望【解析】（） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为, 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，则13.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】在最近发生的飞机失联事件中，各国竭尽全力搜寻相关信息，为体现国际共产主义援助精神，中国海监某支队奉命搜寻某海域.若该海监支队共有、型两种海监船10艘，其中型船只7艘，型船只3艘.（1）现从中任选2艘海监船搜寻某该海域，求恰好有1艘型海监船的概率；（2）假设每艘型海监船的搜寻能力指数为5，每艘型海监船的搜寻能力指数为10现从这10艘海监船中随机的抽出4艘执行搜寻任务，设搜寻能力指数共为，求的分布列及期望【解析】（1）设“恰好有1艘型船”为事件，则（2）由题意得:的取值有、当 ；当；当；当所以的分布列为14.【2015届北京市西城区高三二模】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”（1）当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较，的大小关系；（2）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值（只需写出结论）（3）分析题意可知，的可能取值为的整数，计算可得时，达到最小值15.【2015届甘肃省天水市一中高三第五次高考模拟考试】某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组20,25）、第2组25,30）、第3组30,35）、第4组35,40）、第5组40,45，得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求的分布列和数学期望（3）的可能取值为，所以的分布列为：的期望为：拓展试题以及解析1.个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为，摸出白球概率为，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“次试验总得分为”（）当时，记，求的分布列及数学期望；（）当时，求的概率【解析】（）的取值为1，3，又； 故， 所以的分布列为：13所以 =1+3=； （）当时，即8次试验中，摸出红球5次，摸出白球3次，又已知，则第一次摸出红球，若第二次摸出红球，则后6次为任意摸出红球3次，摸出白球3次；若第二次摸出白球，第三次摸出红球，则后5次可任意摸出红球3次，摸出白球2次此时的概率为 【入选理由】本题主要考查概率、分布列及数学期望，独立重复试验等基础知识，考查基本的运算能力和逻辑推理能力以及转化与化归的数学思想等，本题是常规题，考查了学生获取信息、处理信息的能力，故选此题.2.人的体重是人的身体素质的重要指标之一某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组40,45)，第2组45,50)，第3组50,55)，第4组55,60)，第5组60,65，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90（）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；（）用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重若从全市高二学生中任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望【解析】（）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为，则，所以，由，解得，所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25 【入选理由】本题考查统计初步，用样本频率估计总体概率，二项分布及期望等基础知识，意在考查学生的统计思想，阅读能力以及化归转化能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力题目背景非常贴近学生生活实际，体现了新课程的理念，故选此题.3.有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收.（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.【解析】（1）根据对立事件的性质，所求概率为；（2）试玩游戏，设获利元，则的可能取值为，且； ； ；所以.显然，因此建议大家不要尝试. 【入选理由】本题考查对立事件，独立重复试验，二项分布及期望等基础知识，意在考查学生的统计思想，阅读能力以及化归转化能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力题目背景非常贴近学生生活实际，体现了新课程的理念，故选此题.4.某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如下表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元）253209IOS系统（元）431897（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量的分布列及数学期望 下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验统计量其中【解析】（1）根据题意列出列联表如下：咻得多少手机系统咻得多咻得少安卓23IOS32，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有