浙江省温州地区2015年初中数学竞赛能力评估检测试卷

温州地区 2015 年初中数学竞赛能力评估检测试卷 检测范围 初中数学竞赛大纲要求所有内容 一 单项选择题 本大题分 2 小题 每题 5 分 共 10 分 1 关于x的方程 x2 2 m x有3个互不相同的解 则mmax为 A B C D 2 9 4 3 4 9 2 7 2 已知的两条中线的长分别为5 10 若第三条中线的长也是整数 则ABC 第三条中线长的最大值为 A 7 B 8 C 14 D 15 二 填空题 本大题分 16 小题 每空 5 分 共 90 分 3 已知在平面直角坐标系xOy中 O为坐标原点 线段AB的两个端点A 0 2 B 1 0 分别在y轴和x轴的正半轴上 点C为线段AB的 中点 现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90 得到 线段BD 抛物线y ax2 bx c a 0 经过点D 若该抛物 线y ax2 bx c a 0 经过点E 1 1 点Q在抛物线上 且满足 QOB与 BCD互余 若符合条件的Q点的个 数是4个 则a的取值范围为 4 圣诞老人有44个礼物 分别装在8个袋子中 袋子中礼物的个数各不相同 最多的有9个 现要从中选出一些袋子 将其中的所有礼物恰好平均分给8个 同学 每个同学至少分得一个礼物 那么共有 种不同的选择 5 方程xyz xy xz yz x y z 2012的非负整数解有 组 6 已知在平面直角坐标系中有如下36条直线 y 18x 17 y 17x 16 y 2x 1 y x y x y 2x 1 y 17x 16 y 18x 17 那么由这些直线相交所构成 的交点有 7 如图 反比例函数的图象经过点 1 x k y 22 点A是该图象第一象限分支上的动点 连结AO并延 长交另一支于点B 以AB为斜边作等腰直角三角形 ABC 顶点C在第四象限 AC与x轴交于点P 连 结BP 在点A运动过程中 当BP平分 ABC时 点C的坐标是 8 如图 抛物线与y轴交于点 0 2 acaxy A 与x轴交于点B C两点 点C在x轴正半轴 上 为等腰直角三角形 且面积为4 ABC 现将抛物线沿BA方向平移 平移后的抛物线 经过点C时 与轴的另一交点为E 其顶点x 为F 对称轴与x轴的交点为H 现将一足够大 的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF 上 一直角边始终过点E 另一直角边与y轴 相交于点P 若存在这样的点Q 使以点 P Q E为顶点的三角形与全等 则点Q的坐标为 POE 9 在中 AB 10 AD是BC边上的高 已知AD BD 点H O分别是ABC 的垂心和外心 则HO的最小长度为 ABC 第 7 题 第 8 题 第 3 题 10 方程x3 Ax2 Bx C 0的系数A B C为整数 A 10 B 10 C 2 已知 任意三个人中有两人买有同一种类的商品 没有三个人买有同一种类的商品 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品 但没有买同一种类的商品 则n的最大值是 当n最大时 这n个人 一共最少买了 种商品 三 分析解答题 本大题分 5 小题 分值依次为 12 分 10 分 8 分 10 分 10 分 共 50 分 21 12分分 全国初中数学竞赛共有14道题 5道选择题 5道填空题 4道解答题 满分150分 其中选择题和填空题每题答对得7分 答错得0分 没有其他分 值 解答题每题20分 步骤分只能是0 5 10 15 20分 没有其他分值 则所有可能得到的不同分值共有多少个 第 7 题 22 10分分 如图 在平行四边形中 为对角线ABCDE 上一点 且满足 的延长线BDECDACB AC 与的外接圆交于点 证明 ABD F DFEAFB 23 8分分 在中 已知 ABC BAC 70 P为三角形内一点 ABC PAB 40 PBA 20 证明 PA PB PC 24 10分分 某公司的工作人员每周都要工作5天连续休息2天 而公司要求每周 从周一至周四 每天都有25人上班 从周五至周日 每天都有30人上班 那 么该公司至少需要多少名工作人员 若最少n个工作人员的工号1 n 请按 工号编出人员的排班表 第 22 题 F C A B D E 25 10 分分 设是整数 如果存在整数 x y z 满足 则称n 333 3nxyzxyz 具有性质 在 1 5 2013 2014 这四个数中 哪些数具有性质 哪些数nPP 不具有性质 并说明理由 P 参 考 答 案 一 单项选择题 本大题分 2 小题 每题 5 分 共 10 分 题目 12 答案答案 C C 二 填空题 本大题分 16 小题 每空 5 分 共 90 分 3 4 31 5 27 6 326 4 154 3 1 aa或 7 8 6 3 10 12 2 2 2126 146144 9 10 270 11 90 12 5 3 1 13 158 14 45 15 36 16 766 17 1003 18 2 19 21 2001 20 10 20 三 分析解答题 本大题分 5 小题 分值依次为 12 分 10 分 8 分 10 分 10 分 共 50 分 21 12 分分 解 4 分 6 分 2 分 12 分 22 10 分分 解 2 分 3 分 2 分 3 分 10 分 证明 由是平行四边形及已知条件知 2 分 ABCDECDACBDAF 又 A B F D 四点共圆 BDCABDAFD 5 分 ECD DAF 7 分 EDCDAB DFAFAF 又 EDFBDFBAF EDF BAF 故 10 分 DFEAFB 23 8 分分 解 解法多种 酌情给分 24 10 分分 解 暂无解答 征求答案 25 10 分分 解 取 可得 所以 11x 0yz 333 11003 1 0 0 具有性质 取 可得 所以 5 具有性P2xy 1z 333 52213 2 2 1 质 5 分 为了一般地判断哪些数具有性质 记 PP 333 3f x y zxyzxyz 则 33 3 3f x y zxyzxy xyxyz 3 3 3 xyzxy z xyzxy xyz 3 3 xyzxyz xyyzzx 222 xyz xyzxyyzzx 222 1 2 xyzxyyzzx 即 4 分 f x y z 222 1 2 xyzxyyzzx 不妨设 如果 即 则有xyz 1 0 1xyyzxz 1 xzyz 如果 即 则有 31f x y zz 0 1 1xyyzxz 1xyz 如果 即 则有 32f x y zz 1 1 2xyyzxz 2 1xzyz 由此可知 形如或或 为整数 的数都具有 9 1 f x y zz 31k 32k 9kk 性质 因此 1 5 和 2014 都具有性质 8 分 PP 若 2013