函数复习大纲

函数复习大纲 一 集合 映射与函数 1 集合及其主要概念 2 对应与映射的概念 1 对应及其分类 2 映射 3 一一映射 4 逆映射 3 函数的定义 1 初中定义 2 高中定义 三要素 两大要素 核心 3 函数的表示方法 4 函数的图象 定义 画法 作用 4 分段函数 5 复合函数 二 函数的定义域 1 定义及求法 2 主要题型 1 已知 f x 的表达式求 f x 的定义域 2 已知 f x 的定义域求 f g x 的定义域 3 已知 f x 的表达式求 f g x 的定义域 4 已知 f g x 的定义域 求 f x 的定义域 5 已知 f g x 的定义域 求 f h x 的定义域 6 已知 f x 的表达式求 f x 的反函数的定义域 7 已知 f x 满足的条件求 f x 的定义域 8 求已知函数的生成函数的定义域 9 含参数的函数的定义域 要讨论 10 已知 f x 的定义域 求参数的范围 11 实际问题的定义域 三 函数的解析表达式的求法 1 直译法 2 待定系数法 3 换元法 4 配凑法 5 参数法 四 函数的值域 极值与最值 1 值域 极值与最值的定义 2 求值域的步骤 3 求值域的工具 基本初等函数的值域及代数式恒等变形的手段 4 求值域的基本方法 1 观察分析法 2 恒等变形化归法 3 换元法 4 图像法 5 判别式法 6 其它方法 反函数法 单调函数法 几何法 平均值法 求导法 五 函数的单调性 1 定义及其三种表述方法 2 证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤 1 定义法 2 图像法 3 利用有关定理 反函数 复合函数 奇偶函数的单调性 3 求函数的单调区间的方法与步骤 4 函数单调性的应用 六 函数的奇偶性 1 定义及其三种表述方法 2 函数奇偶性的四种情况 3 证明或判定函数奇偶性的方法与步骤 1 定义法 2 图像法 3 分段函数的奇偶性 七 函数的周期性 八 函数的图象与性质 1 函数的性质与其图像的特点对应表 2 函数图像的初等变换 九 反函数 定义 求法 性质 十 指数与对数 1 指数与对数的概念 2 指数与对数的运算法则 3 对数换底公式 4 指数方程与对数方程的解法 十一 基本初等函数的性质与图象 十二 函数的应用 应用题及其解法 1 审题 2 把实际问题抽象为数学问题 3 解决该数学问题 4 还原到实际问题 5 作答 附 几点说明 一 本提纲是为复习函数的同学提供一个线索 其中的任意一条内容都是可 以展开来写的 例如 函数的单调性 1 定义及其三种表述方法 设有函数 y f x X M 1 文字表述 如果在某个区间里 y 随着 x 的增大而增大 则称 y 是该区间上的增函数 该区间称为该函数的递增区间 如果在某个区间里 y 随着 x 的增大而减小 则称 y 是该区间上的减函数 该区间称为该函数的递减区间 递增区间和递减区间统称为函数的单调区间 在定义域上的增函数和减函数称为单调函 数 2 数学语言表述 如果对于任意的 x1 x2 a b 包含于 M 若当 x1 x2 时 有 y1 y2 即 f x1 f x2 则称 f x 在 a b 上递增 称 y 是 该区间上的增函数 a b 称为 y f x 的单调增区间 若当 x1y2 即 f x1 f x2 则称 f x 在 a b 上递减 称 y 是该区间上的减函数 a b 称为 y f x 的单调减区间 3 图象语言表述 如果在定义域的某个区间里 函数的图像从左到右上升 则函数在该区间是增函数 如果在定义域的某个区间里 函数的图像从左到右下降 则函数在该区间是减函数 2 定义的剖析 1 单调性是函数随自变量的变化而变化的局部特性 是函数的一个的局部性质 在不同 的局部 单 调性可能不同 也可能相同 2 在每个局部的单调性不同时 整体上必定没有单调性 3 每个局部的单调性都相同时 整体上可能有相同的单调性 4 每个局部的单调性都相同时 整体上也可能没有单调性 5 整体上没有单调性时 可能在任意的局部都没有单调性 6 整体上有单调性时 则任意局部都有相同的单调性 7 必须注意 x1 x2 的任意性 只要有一个反例 即可证明该区间不是函数的单调区间 3 证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤 1 定义法 取值 作差 或作商 变形 化积或配方 判断 2 等价定义法 判断 f x2 f x1 x2 x1 的符号 3 图像法 4 利用有关定理 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 奇函数在对称区间上具有相同的单调性 偶函数在对称区间上具有相反的单调性 复合函数的单调性判定法则 同增异减 已知单调性的函数的和 差 积 商的单调性 4 求函数的单调区间的方法与步骤 1 求出函数的定义域 2 将定义域划分为若干个区间 3 判定在各个区间上的单调性 4 确定函数的单调区间 5 函数单调性的应用 1 比大小 根据欲比大小的两个数的结构确定拟利用的函数 把已知的两个数作为该函数的两个函数值并确定相应的自变量值及其所在区间 确定该函数在该区间上的单调性 根据自变量的大小确定函数值的大小 即已知的两个数的大小 解题过程中应注意充分利用图像 有时需要选择适当的中介数完成任务 有时需要利用函数的奇偶性转换区间 有时需要利用函数的周期性转换区间 2 求函数的值域或最值 闭区间上的单调函数的值域即为两端点函数值所确定的区间 二 其中的任一条又都可以举出实例来进行说明 我觉得这些工作最好由学生自己动手补全 这对于系统 牢固的掌握知识 培养通过解题总结解题方法的能力很有好处 只知道没完 没了的做题而不善于总结经验是不能很快提高的原因之一 三 高中数学的其他部分内容的复习大纲也已基本形成 即将陆续贴出 解析几何复习大纲 一 坐标方法 1 平面坐标系及其基本问题 1 数轴 直线坐标系 2 平面直角坐标系 3 定比分点的坐标 4 两点间的距离公式 5 极坐标系 6 直角坐标系与极坐标系的互化 2 曲线与方程 1 曲线的概念 2 方程的概念 3 曲线与方程的关系 4 方程的曲线的求法 描点法 研究性质法 工具法 实际画法 5 方程的曲线与函数的图象的关系 6 曲线的方程的求法 直译法 待定系数法 含曲线系法 消参法 7 两条曲线的交点 8 曲线的分解 9 曲线系的方程 含有参数的曲线方程 10 曲线的极坐标方程 11 直角坐标方程与极坐标方程的互化 12 曲线的参数方程 13 参数方程与普通方程的互化 3 坐标变换 1 什麽是坐标变换 2 坐标变换的作用 3 坐标变换的类型 4 坐标轴的平移 移轴公式 5 平移变换的方法 配方法与待定系数法 6 平移变换下曲线方程的变化规律 7 曲线的平移 4 对称问题的解法 1 中心对称与轴对称的定义 2 曲线的对称曲线与曲线本身的对称性 3 中心对称问题的解法 4 轴对称问题的解法 5 对称曲线的求法 5 解析法证明几何题的步骤 1 适当建立坐标系 2 把已知条件坐标化 3 用坐标方法证明结论的代数形式 4 还原为几何结论 6 充分必要条件 1 四种命题及其相互关系 2 充分必要条件的定义 3 充要条件的判定与证明 4 充要条件的探求 二 直线的方程 详见直线基本概念一览表 1 直线的方程的定义 2 直线的倾斜角与斜率 3 直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 参数式 极坐标式 4 直线方程的求法 5 直线系的方程 三 两条直线的位置关系 详见点与直线 直线与直线位置关系表 1 两条直线平行的充要条件 2 两条直线垂直的充要条件 3 两条直线所成的角 4 两条直线的交点 5 点到直线的距离 6 平行线间的距离 四 圆的方程 详见表 1 圆的定义 2 圆的方程的求法 3 圆的方程的各种形式 最简式 标准式 一般式 直径式 参数式 极坐标式 4 圆系的方程 五 点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系 详见表 1 点圆关系的判定方法 1 点的坐标与圆的方程的关系 2 点到圆心的距离与圆的半径的关系 2 直线与圆的位置关系的判定方法 1 直线的方程与圆的方程组成的方程组的解的情况 2 圆心到直线的距离与圆的半径的关系 3 平面几何有关定理的应用 4 图解法 3 圆与圆的位置关系的判定方法 1 两圆的方程组成的方程组的解的情况 2 圆心距与两圆半径的和或差的关系 3 平面几何有关定理的应用 4 图解法 4 典型问题 1 二元二次方程表示圆的必要条件 2 过圆上一点的切线的方程 3 过圆外一点的圆的切线的方程 4 过圆外一点的两条切线的夹角 5 两圆的公切线的方程 6 相交圆的公共弦所在直线的方程 7 直线与圆的交点弦长 8 相交圆的公共弦长 9 过圆外一点的圆的切线的长 10 两圆的公切线的长 11 直线与圆的交点 园与圆的交点 12 最值问题 六 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 的基础知识 详见表 1 圆锥曲线的定义 2 圆锥曲线的画法 3 圆锥曲线的性质 1 几何量 不变量 决定了曲线的大小与形状 是曲线本身所固有的性质 它与坐标系的选择无关 2 坐标量 位置量 决定了曲线在坐标系中的位置 在不同的坐标系中一 般的要发生变化 4 直线与圆锥曲线的位置关系 详见讲义 5 典型问题 1 求圆锥曲线的方程 2 求圆锥曲线的性质 几何量和位置量 3 求动点轨迹问题的方法 A 轨迹的定义 B 求轨迹的步骤 1 求轨迹的方程 2 认方程所表示的曲线 即动点的轨迹 注意轨迹的纯粹性与完备性 曲线的范围 应根据题目的具体要求说明轨迹的名称形状位置等 4 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 5 交点弦问题 6 与弦中点有关的问题 7 最值问题 解析几何中的最值问题通常有以下两种解法 1 从图形出发 根据几何性质分析和判断目标量取最大或最小时曲线间的特殊位 置关系 把问题转化为在特定位置下某个几何量的计算问题 2 从方程出发 分析 选定变化过程中的自变量和目标量 建