八年级讲义-反比例函数(教师版)

中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 1 环环 球球 雅雅 思思 教教 育育 学学 科科 教教 师师 讲讲 义义 讲义编号 副校长 组长签字 签字日期 学学 员员 编编 号号 年年 级级 八 课课 时时 数数 3 课时 学学 员员 姓姓 名名 TR 版 辅辅 导导 科科 目目 数学 学学 科科 教教 师师 孟彦 课课 题题17 1 反比例函数 授课日期及时段授课日期及时段 教教 学学 目目 的的 重重 难难 点点 教教 学学 内内 容容 基础知识巩固基础知识巩固 1 定义 一般地 形如 为常数 的函数称为反比例函数 还可以写成 x k y kok x k y kxy 1 2 反比例函数解析式的特征 等号左边是函数 等号右边是一个分式 分子是不为零的常数 也叫做比例系数 分母中含有自变量 ykkx 且指数为 1 比例系数0 k 自变量的取值为一切非零实数 x 函数的取值是一切非零实数 y 3 反比例函数的图像 图像的画法 描点法 列表 应以 O 为中心 沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数 描点 有小到大的顺序 连线 从左到右光滑的曲线 反比例函数的图像是双曲线 为常数 中自变量 函数值 所以双曲线是不经过 x k y k0 k0 x0 y 原点 断开的两个分支 延伸部分逐渐靠近坐标轴 但是永远不与坐标轴相交 反比例函数的图像是是轴对称图形 对称轴是或 xy xy 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 2 反比例函数 中比例系数的几何意义是 过双曲线 上任意引轴轴的垂线 x k y 0 kk x k y 0 kxy 所得矩形面积为 k 4 反比例函数性质如下表 的取值k图像所在象限函数的增减性 ok 一 三象限在每个象限内 值随的增大而减小yx ok 二 四象限在每个象限内 值随的增大而增大yx 5 反比例函数解析式的确定 利用待定系数法 只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k 6 反比例关系 与 反比例函数 成反比例的关系式不一定是反比例函数 但是反比例函数中的两个变量 x k y 必成反比例关系 反比例函数的意义 1 下列函数中 是反比例函数的是 A y x 1 B y C y D 2 2 8 xx2 1 x y 答案答案 C 2 已知某气体的质量为 5 kg 则其密度 kg m3 与体积 V m3 之间的关系式为 是 V 的 函数 答案 答案 V 0 反比例 V 5 3 什么是算术中的反比例定义 答案答案 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的积一定 这两种量 就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 4 一张一百元的新版人民币把它换成 50 元的人民币 可得几张 换成 10 元的人民币可得几张 依次换成 5 元 2 元 1 元的人民币 各可得几张 换得的张数 y 与面值 x 之间有怎样的关系呢 请同学们填表 换成的面值 x 元 502010521 换成的张数 y 张 1 用含有 x 的代数式表示 y 2 换成的面值 x 会怎样变化呢 变量 y 是 x 的函数吗 为什么 解析解析 填表的过程中可总结出换得的张数 y 与面值 x 之间的关系是 y 并且面值 x 变化时 换成的张数 y 随之 x 100 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 3 变化 且对于任一个 x 都有唯一的 y 与之对应 所以变量 y 是 x 的函数 反比例函数的图像和性质 1 什么是反比例函数 答案答案 一般地 形如 y k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 x k 2 判断下面哪些式子表示 y 是 x 的反比例函数 为什么 1 xy 2 y 5 x 3 y 4 y a 为常数且 a 0 3 1 x5 2 x a2 答案答案 1 3 4 是反比例函数 因为 1 3 4 是形如 y k 是常数 k 0 的函数 2 不是反比例函数 因为 2 不是 x k 形如 y k 是常数 k 0 的函数 x k 3 已知反比例函数 y 的图象经过点 2 3 则在每一象限内 y 随 x 的增大而 x k 答案答案 减小 典型例题分析典型例题分析 反比例函数的意义 1 下列函数中哪些是正比例函数 哪些是反比例函数 1 y 3x 1 2 y 2x2 3 y 4 y 5 y 3x 6 y 7 y 8 y x 1 3 2x x 1 x3 1 x2 3 解析解析 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 形如 y k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函 x k 数 答案答案 正比例函数有 4 5 反比例函数有 3 6 7 8 2 已知函数 y 3xm 7是正比例函数 则 m 已知函数 y 3xm 7是反比例函数 则 m 解析解析 由正比例函数和反比例函数定义可得 当 m 7 1 即 m 8 时 函数 y 3xm 7是正比例函数 当 m 7 1 即 m 6 时 函数 y 3xm 7是反比例函数 答案答案 8 6 3 一个矩形的面积是 20 cm2 相邻的两条边长为 x cm 和 y cm 那么变量 y 是 x 的函数吗 是反比例函数吗 为什么 解析解析 根据矩形面积公式得 20 xy 所以求得 y 那么变量 y 是 x 的反比例函数 x 20 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 4 4 已知点 A 2 3 在反比例函数 y 的图象上 则 a x a 解析解析 点 A 2 3 在反比例函数 y 的图象上表示当 x 2 时 y 3 所以求得 a 6 x a 答案答案 6 5 某村有耕地 346 2 公顷 人口数量 n 逐年发生变化 那么该村人均占有耕地面积 m 公顷 人 是全村人口数量 n 的函数吗 是反比例函数吗 为什么 解析解析 人均耕地 n 0 所以是函数关系 且符合反比例函数定义 n 2 346 6 y 是 x 的反比例函数 下表给出了 x 与 y 的一些值 x 2 1 2 1 2 1 13 y 3 2 2 1 1 写出这个反比例函数的表达式 2 根据函数表达式完成上表 解解 1 设 y 把 x 1 y 2 代入得 k 2 y x k x 2 2 依次代入已知的 x 值求 y 值 或代入已知的 y 值求 x 值 从左到右依次为 x 3 y 1 y 4 y 4 y 2 x 2 y 3 2 7 已知 y y1 y2 y1与 x 成反比例 y2与 x 2 成正比例 并且当 x 3 时 y 5 x 1 时 y 1 求 y 与 x 之间的函数关系 式 解解 设 y1 y2 k2 x 2 y k2 x 2 x k1 x k1 当 x 3 时 y 3 2 5 即 5 2 1 3 k k 2 1 3 k k 当 x 1 时 y 1 2 1 即 k1 k2 1 k1 3 k2 4 y 4 x 2 2 1 1 k k x 3 反比例函数的图像和性质 1 如果反比例函数 y 的图象经过点 3 4 那么 k 的值是 x k 解析 解析 将 3 4 的坐标代入 y 得 k 12 答案 答案 12 x k 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 5 2 如图 某闭合电路中 电源的电压为定值 电流 I A 与电阻 R 成反比例 右图表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间关 系的图象 则用电阻 R 表示电流 I 的函数关系式为 解析 解析 设 I 将 3 2 代入即得 k 6 答案答案 I R k R 6 3 函数 y k 0 的图象如图所示 那么函数 y kx k 的图象大致是 x k 解解 y 在二 四象限 所以 k 0 则 y kx k 向左倾斜 与 y 轴交于正半轴 答案答案 C x k 4 下图给出了反比例函数 y 和 y 的图象 你知道哪一个是 y 的图象吗 x3 2 x3 2 x3 2 解析解析 反比例函数 y 的图象在第一 三象限 而反比例函数 y 的图象在第二 四象限 答案答案 2 x3 2 x3 2 5 已知反比例函数 y 当 m 时 其图象的两个分支在第一 三象限内 当 m 时 x m23 其图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 解析解析 若使反比例函数 y 的图象的两个分支在第一 三象限内 需使 3m 2 0 即 若使反比例 x m23 3 2 m 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 6 函数 y 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 需使 3m 2 0 即 x m23 3 2 m 答案答案 3 2 3 2 6 直线 y 2x 与双曲线 y 的一个交点坐标为 2 4 则它们的另一个交点坐标是 x k 解析解析 因为点 2 4 在双曲线 y 上 所以 4 得 k 8 则它与 y 2x 组成方程组解得或 x k 2 k 2 8 xy x y 4y 2 x 所以另一个交点坐标是 2 4 答案答案 2 4 4 y 2 x 重点知识巩固重点知识巩固 例 1 如果函数的图像是双曲线 且在第二 四象限内 那么的值是多少 22 2 kk kxy 解析 有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 即 又在第二 四象限内 x k y 0 kkxy 1 0 k 则可以求出的值0 k 答案 由反比例函数的定义 得 解得 0 122 2 k kk 0 2 1 1 k kk或 1 k 时函数为1 k 22 2 kk kxy x y 1 例 2 在反比例函数的图像上有三点 若则下列各式 x y 1 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 321 0 xxx 正确的是 A B C D 213 yyy 123 yyy 321 yyy 231 yyy 解析 可直接以数的角度比较大小 也可用图像法 还可取特殊值法 解法一 由题意得 1 1 1 x y 2 2 1 x y 3 3 1 x y 所以选 A 321 0 xxx 213 yyy 解法二 用图像法 在直角坐标系中作出的图像 x y 1 描出三个点 满足观察图像直接得到选 A 321 0 xxx 213 yyy 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 7 解法三 用特殊值法 213321321321 1 1 2 1 1 1 2 0yyyyyyxxxxxx 令 例 3 如果一次函数相交于点 那么该直线与双曲线 的图像与反比例函数 x mn ymnmxy 3 02 2 1 的另一个交点为 解析 1 2 13 2 2 1 2 2 13 n m mn nm x x mn ynmxy解得 相交于与双曲线直线 2 2 1 1 1 1 12 1 12 2 2 1 1 y x y x x y xy x yxy 得 解方程组双曲线为直线为 11 另一个点为 例 4 如图 在中 点是直线与双曲线在第一象限的交点 且 则的AOBRt Amxy x m y 2 AOB Sm 值是 图 解 因为直线与双曲线过点 设点的坐标为 mxy x m y AA AA yx 则有 所以 A AAA x m ymxy AAy xm 又点在第一象限 所以 A AAAA yyABxxOB 所以 而已知 myxABOBS AAAOB 2 1 2 1 2 1 2 AOB S 课后强化练习课后强化练习 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 8 反比例函数的意义 1 下列关系式中 哪个等式表示 y 是 x 的反比例函数 A y B y C y D 2xy 1 x k 2 x B 12 1 x 解析解析 选项 A 中的 k 没说明是否为 0 选项 B 中的 x 出现了二次 选项 C 中 y 是 2x 1 的反比例函数 D 符合反比例 函数定义 故选 D 答案答案 D 2 下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有 当路程 s 一定时 汽车行驶的平均速度 v 与行驶时间 t 之间的关系 当电压 U 一定时 电路中的电阻 R 与通过的电流强度 I 之间的函数关系 当矩形面积 S 一定时 矩形的两边 a 与 b 之间的函数关系 当受力 F 一定时 物体所受到的压强 p 与受力面积 S 之间的函数关系 A B C D 解析解析 v R a p 答案答案 D t s I U b S S F 3 下列函数表达式中 x 均表示自变量 那么哪些是反比例函数 如果是 请在括号内填上 k 的值 如果不是 请填上 不是 1 y 2 y x 5 x 4 0 3 y 4 xy 2 2 x 5 y 6 y x x 5 7 y 2x 1 解析解析 由反比例函数定义 形如 y k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 可知 1 2 4 6 7 是反比例函数 其 x k k 值分别为 5 0 4 2 5 2 答案答案 1 5 2 0 4 3 不是 4 2 5 不是 6 5 7 2 4 若 y 与 x 成正比例 z 与 y 成反比例 则 x 与 z 之间成 关系 解析解析 令 y k1x k1 0 z k2 0 所以 z 即 x 因为 k1 0 k2 0 所以 0 所以 x 是 z 的反比例函数 y k2 xk k 1 2 zk k 1 2 1 2 k k 答案答案 反比例 5 已知 y 与 2x 1 成反比例 且 x 1 时 y 2 那么当 x 0 时 y 解析解析 因为 y 与 2x 1 成反比例 可设 y 由 x 1 时 y 2 得 k 6 即函数解析式为 y 所以当 x 0 12 x k 12 6 x 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 9 时 y 6 答案答案 6 6 已知函数 y m 2 x m 3是反比例函数 求 m 的值 解解 由反比例函数的定义 得解得 m 2 0 2 13 m m 7 已知 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x 成反比例 并且 x 1 时 y 0 x 2 时 y 3 求函数的解析式 解解 y1与 x 成正比例 y2与 x 成反比例 设 y1 k1x y2 k1 0 k2 0 又 y y1 y2 k1x x k2 x k2 当 x 1 时 y 0 x 2 时 y 3 解得 这个函数的解析式为 y 2x 3 2 1 2 0 21 21 kk kk 2 2 2 1 k k x 2 8 在某一电路中 保持电压 U 伏特 不变 电流 I 安培 与电阻 R 欧姆 成反比例 当电阻 R 5 时 电流 I 2 安培 1 求 I 与 R 之间的函数关系式 2 当电流 I 0 5 安培时 求电阻 R 的值 解解 1 I 当 R 5 I 2 时 2 得 U 10 I 与 R 之间的函数关系式为 I R U 5 U R 10 2 当 I 0 5 时 0 5 R 20 R 10 反比例函数的图像和性质 1 若点 2 y1 1 y2 2 y3 都在反比例函数 y 的图象上 则有 x 1 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y1 y2 D y2 y1 y3 解析解析 因为 y 在第四象限内随 x 的增大 y 增大 又知道 1 2 所以 y2 y3 而 2 y1 在第二象限 故 y1 0 所以 x 1 y1 y3 y2 答案答案 B 2 已知一个矩形的面积为 24 cm2 其长为 y cm 宽为 x cm 则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是 解析解析 根据矩形面积公式得 y 其中 k 24 0 x 0 所以函数关系的图象大致是答案 D 的图象 x 24 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 10 答案答案 D 3 已知函数 y 的图象过点 A 6 1 则下列点中不在该函数图象上的点是 x k A 2 3 B 1 6 C 1 6 D 2 3 解析解析 将点 A 6 1 代入 y 得 k 6 再将四个选择项点坐标代入解析式验证 两坐标之积不为 6 的即不在图象 x k 上 答案答案 B 4 已知 k 0 则函数 y kx y 的图象大致是下图中的 x k 解析解析 当 k 0 时正比例函数 y kx 的图象经过原点和一 三象限 而反比例函数 y 的图象在二 四象限 所 x k 以选 C 选项 A 的正比例函数 y kx 的图象经过原点和二 四象限 则 k 0 选项 B 的反比例函数 y 的图象在 x k 一 三象限 则 k 0 即 k 0 选项 D 的错误和选项 A B 的错误一样 答案答案 C 5 反比例函数 y k 0 在第一象限的图象如图所示 点 M 是图象上一点 MP 垂直 x 轴于点 P 如果 MOP 的面积 x k 为 1 那么 k 的值是 解析解析 MOP 的面积等于OP PM 1 如果设点 M 的坐标为 x1 y1 因为反比例函数 y k 0 的图象在第一象 2 1 x k 限 所以 OP x1 x1 PM y1 y1