立体模型及其展开图

立體模型及其展開圖 MP Lab 在數學新課標教學中的應用之一 韋輝樑 2004 年 8 月 前言 在北京師範大學出版社根據教育部制訂的 全日制義務教育 數學課程標準出版 的 數學 七年級上冊教材中 第一章 豐富的圖形世界 共 29 頁 編幅不多 但教 材的編輯與以往教材的編輯有很大的不同 首先 編者考慮到學生在小學畢業之後 又經過一個漫長的暑假 進入了一個嶄 新的中學學習旅程 開學之初要讓學生收拾心情投入學習 這時不要立即編排十分動 腦的理論知識的學習 而要把激發學生的學習興趣放在第一位 教材以一幅現代城市 的照片 由柱形的高大建築物 弧形的高架路橋 圓形的交通樞杻 把同學們從日常 生活中引領進入了一個豐富的圖形世界 開始了中學階段的幾何之旅 全章書沒有傳統的定義 公式 定理 證明 習題 而是連舊帶新地讓學生認識 平面圖形 立體圖形 包括多邊形 圓柱 棱柱 圓錐 棱錐 圓台 棱台 旋轉體 以及正多面體等眾多圖形的概念 同時介紹各種研究圖形的方法 如視圖 展開圖 圖形的分割和變換等 編幅不多 但內容卻十分豐富 展開圖 是傳統教材中所沒有的 展開圖 是研究空間圖形的方法之一 也有 著藝術設計 模型設計的現實應用意義 由展開圖到立體圖形 反之 由立體圖形到 展開圖有一個廣闊的想像空間 教材有意留下這個想像空間去培養學生的空間想像能 力 這體現了新教材著重提高學生數學素質的思路 同時也體現了從 學習知識 到 學 習方法 的轉軌 MP Lab 是一個拼圖實驗室 有作圖 拼圖 圖形分割 圖形變換的強大功能 可 以非常好的效果配合新課標教材的教學 本文介紹 MP Lab 在 展開圖 上的教學應 用 並提出 立體模型展開圖設計項目活動 的建議 以供參考 一 教材內容 教材第一節介紹了 生活中的立體圖形 包括圓柱 圓錐 正方體 長方體 棱 柱和球 教材第二節介紹了棱柱的棱 頂點和面 舉例畫出棱柱的展開圖 並說明將展開圖 折疊後可以圍成一個棱柱 教材舉出不同的展開圖 讓學生想像 這些展開圖可以或不可以圍成怎樣的棱柱 展開圖 的內容十分豐富 又很有藝術設計價值 但囿於課堂時間緊迫 雖然教 材留有很大的想像空間和拓展空間 但卻缺少讓學生想像的時間 故適合作為項目作 業 Project 將課堂學習延續到課外完成 如果允許學生與父母 兄姐一道探討 還可 促進親子教育和家校合作 二 在 MP Lab 上進行立體模型展開圖的設計 讓學生親自動手 設計並畫出展開圖 再動手折疊成立體圖形 可以進一步檢驗自 己的設計 增強學生的空間想像能力 訓練手工操作技巧 培養設計的興趣和能力 下面是一些設計的例 在 MP Lab 上作出展開圖 是輕而易舉的事 關鍵是想像 只要想像得到 便能輕易作出 課堂上 教師可以先即席示範作圖 邊作圖 邊講解 自己的思考過程 同時用事先折疊好的立體模型加以解說 例如下面的長方體 四棱柱 及其展開圖 講解時要附帶介紹貼邊的用處以及不同的展開方法可以有不同的展開圖 例 1 正六棱柱 提示 請自行另加貼邊 以便粘合 例 2 不等邊五棱柱 提示 1 注意展開圖中長方形的寬度要與上下底面 五邊形對應邊的長度相待 這可用測量法或比 較法達成 2 請自行另加貼邊 以便粘合 例 3 正五棱錐之一 提示 1 先畫一個大的正五邊形 2 然後用小刀切割出一個五角星 如左圖 3 將多餘部分拿走 再加貼邊 注意貼邊的形狀 想想為甚麼 例 4 正五棱錐之二 提示 1 展開圖不是唯一的 2 之二的展問圖較之一的展開圖較易折疊和粘貼 例 5 正四面體 提示 1 先作一個正三角形 2 然後用軸對稱作圖法 作出另外三個正三角形 3 最後加貼邊 例 6 正六面體 立方體 提示 1 利用格線作出正方形 2 貼邊位置與折疊粘合操作的方便性有關 3 左圖的貼邊位置不一定是最好的 請自行研究 並與同學交流心得 例 7 正八面體 提示 1 先作一個正三角形 2 然後用軸對稱作圖法 作出另外的正三角形 3 最後加貼邊 例 8 正 12 面體 提示 1 先作一個正五邊形 2 然後用軸對稱作圖法 作出另外的正五邊形 3 最後加貼邊 例 9 正 20 面體 提示 1 先作一個正三角形 2 然後用軸對稱作圖法 作出另外的正三角形 3 最後加貼邊 例 10 半圓柱 提示 1 先作一訪長為 4 的正方形 2 再作一個半徑為 2 的圓 用小刀切割成兩個半圓 拼成如左圖的左部 3 用測量方法 測出半圓的周長 4 作左圖右部的矩形 其寬度 半圓周長 4 5 最後自行加貼邊 貼邊要剪成牙齒狀 例 11 圓柱 提示 1 先作 2 個半徑為 2 的圓 2 用測量方法 測出圓的周長 3 作矩形 其長度 圓周長 4 最後自行加貼邊 貼邊要剪成牙齒狀 例 12 圓錐 提示 1 在極座標下作半徑為 8 的圓 用小刀裁剪出 140 的扇形 平移到如左圖位置 刪除多餘部分 2 測量圖形周長 35 8 減去兩條半徑 16 得知 弧長 19 8 3 作圓 測量圓的周長 將圓縮放到周長 19 8 4 複製扇形 稍為放大 翻到底層 平移到半徑重 合 留出貼邊 5 移動圓到如左圖位置 貼邊要剪成牙齒狀 例 13 正五棱台 提示 1 先作一梯形 2 然後用軸對稱作出其餘四個梯形 作為側面 3 作兩個正五邊形 如圖左 4 加貼邊 例 14 四棱台 底面為長方形 設計之一 提示 1 展開圖可以有多種設計 2 如左圖的設計 在折疊粘合時不太方便 3 如下圖是另外的設計 例 15 四棱台 底面為長方形 設計之二和之三 此圖粘合時較設計一方便 此圖粘合時最方便 但圖形設計較複雜 例 16 圓台 提示 1 在極座標下作半徑為 8 的圓 用小刀裁剪出 140 的扇形 平移到如左圖位置 刪除多餘部分 2 測量圖形周長 35 8 減去兩條半徑 16 得知 弧長 19 8 3 作圓 測量圓的周長 將圓縮放到周長 19 8 4 複製扇形 稍為放大 翻到底層 平移到半徑重 合 留出貼邊 5 在極座標下作半徑為 4 的 140 小扇形 測量及 計算得小扇形弧長 9 9 6 用小扇形裁剪大扇形 再作周長 9 9 的小圓 7 預留貼邊 刪除多餘部 8 分 8 移動圓到如左圖位置 貼邊要剪成牙齒狀 例 17 汽車 提示 1 請自行加貼邊 2 車輪另加 例 18 禮品盒 提示 1 這是一個 4x3x2 周圍厚度為 1 的有底長方盒 2 折疊和粘合較為複雜 請小心粘貼 例 19 凹四棱柱 提示 1 這是一個中間凹陷的四棱柱 2 折疊和粘合較為複雜 請小心粘貼 例 20 凸四棱柱 提示 1 這是一個中間凸起的四棱柱 2 折疊和粘合較為複雜 請小心粘貼 例 21 中空六棱柱 提示 1 折疊和粘合要十分小心才能成功 三 思考題 一隻螞蟻要從四棱台底部的 A 點爬到頂部的 B 點 請幫助這隻螞蟻選擇一條最近的路徑 並把這條路徑 畫出來 四 立體模型展開圖設計項目活動的建議 1 目的 拓展在展開圖與立體模型之間的想像空間 培養學生空間想像能力 建立一個幾何模型藝術創作的領域 培養學生手工藝創作和實踐能力 培養學生大 想像 細心設計 精心製作 協同互助的精神品格 2 組織形式 以工作小組的形式進行協同學習和創作 小組的具體成員可以是 以學生本人為主 家庭成員參加的工作小組 著重於開展親子教育和家校合作 2 3 名學生組成的工作小組 著重於協同學習和群體合作 3 活動過程 預備 教師講解 以實物 立體模型及其展開圖 為教具 以長方體為例 講解立體模型展開圖的生成過程 以五棱錐為例 說明不同的展開方法 產生不同的展開圖 出示一個實物及幾幅展開圖 讓學生判斷實物與哪幅展開圖對應 出示一幅展開圖 讓學生描述實物模型是怎樣的 組織小組 明確任務 登記任務表格 必做任務 正多面體任選其 2 面數越大得分權重越大 選做任務 21 個例中任選其 1 難度越大得分權重越大 創作任務 最少一個 難度越大得分權重越大 例如 觀光塔模型 葡式建築模型 炮台山大炮模型 松山燈塔模型等 講解評價方式 活動 1 周時間 完成必做任務和選做任務 交作業 A B 教師講評 提示要訣 再 2 周時間 完成創作任務 交作業 教師講評 提示要訣 總結 教師圍繞 3 項目標 表揚表現優良的學生 受表揚學生準備發言稿 重新修整自己的作品 準備展覽環境及展品 舉辦小型 學生作品展 交流 舉辦小型 學生作品展 作品介紹演講會 歡迎家長參加 4 評價 評分標準 完成情況35 難度等級25 創意20 工作態度20 任務 基本評分 差 x0 8 中 x1 0 良 x1 1 優 x1 2 1 x0 8 2 x1 0 3 x1 2 1 x0 8 2 x1 0 3 x1 2 1 x0 8 2 x1 0 3 x1 2 總分 100 必做 60 選做 40 創作 50 完成情況 35 指作圖準確 工藝完美 難度等級 25 指作品複雜程度 創意 20 指自創 參照 抄襲 工作態度 20 指 創意想像 細心設計 精心製作 協同互助 評價成績可列入測驗成績 任務表 課題 立體模型及其展開圖